精品解析：重庆市南开中学2026届高三5月第九次质量检测数学试题

重庆南开中学高2026届高三第九次质量检测 数学试题 2026.5 （本试卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. 当时， D. ，不等式恒成立 10. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，直线与以短轴为直径的圆O相切于点D，，则（ ） A. 直线的斜率 B. 椭圆C的离心率为 C. D. 面积为 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 当时， B. 函数图象的对称轴为 C. 函数的最小正周期为 D. 若函数的最大值为1，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知平面向量，，若，则______. 13. 甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比赛，则___________；又记事件B为甲获得比赛胜利，则__________. 14. 密码学是一种编译密写技术的科学，其中原始信息为原码，对应的保密信息为暗码，将原码转化为暗码的方式称为加密算法.现有某加密算法：通过特定的坐标转换公式，将如图所示的数字矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标.将位于第行第列的数字的坐标记作，如数字的坐标为；记函数为.该加密算法的转换公式为：，如坐标为的原码在算法下被转化为坐标为的暗码.已知某原码在算法下的暗码为“”，则该原码为________. 第列 第列 第列 第行 第行 第行 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若，求满足条件的最大正整数. 16. 已知函数且 . （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 17. 为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位数为38.5岁. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数据，完善列联表. 依据小概率值的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构成与性别有关联？ 男 女 合计 资深员工 青年员工 合计 200 500 ，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 给定如图所示的空间直角坐标系.在平面内，点在轴上，，，为中点，. （1）求； （2）在平面内，过点作函数图象的切线，切点为. (i)若点在轴负半轴上，求三棱锥体积的最大值； (ii)若，当二面角的平面角最大时，求的值. 19. 已知抛物线，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，当垂直于轴时，. （1）求的值； （2）过点作直线交抛物线于两点（两点在第一象限），记直线与直线的交点为，其中直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求证：点在定直线上； （ii）当时，设直线交直线于点，且的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2026届高三第九次质量检测 数学试题 2026.5 （本试卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，得，即. 已知， 因此，. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的公差为, 依题意， ，则. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中由余弦定理得： ，则或（舍）. 5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数 关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则 ，得. 6. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为 ， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 8. 已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】设上底面和下底面的半径分别为，则,, 点在底面的射影点为，有面 ， 则，且， 则，即圆台的高为，则圆台的母线长， 则侧面积 . 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. C. 当时， D. ，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求出的值域，可判断A选项；代入验算可判断BC选项；利用函数的单调性与奇偶性的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项， ， 因为，则，可得，所以，所以A错误； 对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，因为 ，故该函数在单调递减， 又由B知该函数为偶函数，且，即， 所以，所以D正确. 10. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，直线与以短轴为直径的圆O相切于点D，，则（ ） A. 直线的斜率 B. 椭圆C的离心率为 C. D. 面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆相切以及题意得到直线的倾斜角进而求解选项A.根据直角三角形的性质求出再根据离心率公式求解选项B.首先求出直线方程，再与椭圆方程联立，再根据弦长公式求解选项C.根据选项C以及相切的性质求解即可. 【详解】对于A选项，由题可得，所以直线的倾斜角为或，斜率；所以A正确. 对于B选项，在中，，所以，所以离心率；所以B错误. 对于C选项，设直线，联立椭圆方程得： ， ， 则. 所以，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误. 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 当时， B. 函数图象的对称轴为 C. 函数的最小正周期为 D. 若函数的最大值为1，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式可判断A；根据余弦函数的对称轴可判断B；根据积化和差结合余弦函数的周期性可判断C；根据和差化积结合余弦函数的最值可判断D. 【详解】由题知 ， 对于A选项， ，所以A正确； 对于B选项，将 代入，则 ， 这是函数的对称轴需要满足的条件，所以B正确； 对于C选项， ， 所以最小正周期为，所以C错误； 对于D选项， ， 所以该函数的最大值为 ，解得，所以D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知平面向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】，因为，所以， 所以 ，解得. 13. 甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比赛，则___________；又记事件B为甲获得比赛胜利，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】四局比赛结束共有两种情况，甲获胜或乙获胜，所以， 比赛进行四局且甲获胜的概率，∴. 14. 密码学是一种编译密写技术的科学，其中原始信息为原码，对应的保密信息为暗码，将原码转化为暗码的方式称为加密算法.现有某加密算法：通过特定的坐标转换公式，将如图所示的数字矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标.将位于第行第列的数字的坐标记作，如数字的坐标为；记函数为.该加密算法的转换公式为：，如坐标为的原码在算法下被转化为坐标为的暗码.已知某原码在算法下的暗码为“”，则该原码为________. 第列 第列 第列 第行 第行 第行 【答案】 【解析】 【分析】计算出每个暗码对应的原码，即可得解. 【详解】函数为，当时，，即； 当时，，则. 由题意，暗码坐标为，设暗码对应原码的坐标为，则， 因为，若，则，矛盾， 所以①， 因为且为奇数，若，则为奇数，矛盾， 所以②， 联立①②可得，，即坐标对应的原码为； 暗码的坐标为，设暗码对应的原码的坐标为，由题意可得， 因为且为奇数，若，则 为偶数，不符合题意， 所以 ，且 ，解得，则 ， 若 ，即时， ，解得， 又因为，故不符合题意， 所以 ，则 ，解得，符合题意. 即坐标为对应的原码为； 暗码坐标是题中示例，对应原码为，所以原码为. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若，求满足条件的最大正整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过对递推式取倒数并构造形如 的等比数列模型，证明数列为等比数列。 （2）先利用第 (1) 问的结论求出的通项，再对其求和得到，最后通过放缩法解不等式，求出最大正整数. 【小问1详解】 由题得：，则，整理得 ， 又，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，所以 ， 又 ， 所以 ，则 ， 又时， ， 时， 则满足条件的最大正整数. 16. 已知函数且 . （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数在区间上的单调性，进而求解其值域； （2）求导，按照、和三种情况分类讨论，研究其单调性，根据极小值点的定义求解即可. 【小问1详解】 当时， 则， 当，，在上单调递增； 当，，在上单调递减， 所以时，最大值 ， 又 ，所以最小值为 ， 所以函数在的值域为 . 【小问2详解】 ， ①当时， 在上单调递增，不满足题意； ②当时，令，有，其中 ； 当时，， 有， ； ，，此时为极大值点，不满足题意； 当时，需要 ，解得， 有， ； ，此时为极小值点， 综上，实数的取值范围. 17. 为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位数为38.5岁. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数据，完善列联表. 依据小概率值的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构成与性别有关联？ 男 女 合计 资深员工 青年员工 合计 200 500 ，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 男 女 合计 资深员工 165 135 300 青年员工 135 65 200 合计 300 200 500 不能 【解析】 【分析】（1）先判断出中位数落在内，再根据中位数左侧的面积之和应等于 列出方程，求解即可； （2）根据频率分布直方图和等高堆积条形图得出相关数据，即可完善列联表，然后计算，对照临界值表即可判断是否有关联 【小问1详解】 女员工样本中位数为，落在内，结合频率分布直方图可得 ，解得. 【小问2详解】 已知抽取了200名女员工 ，则有300名男员工，由频率分布直方图可得 青年女员工有 名 ， 则女资深员工有 名， 由等高堆积条形图可得青年男员工有 名 ， 则男资深员工有 名，依此可画出列联表. 因为 ， 所以依据小概率值的独立性检验， 不能认为样本中员工的年龄构成与性别有关联. 18. 给定如图所示的空间直角坐标系.在平面内，点在轴上，，，为中点，. （1）求； （2）在平面内，过点作函数图象的切线，切点为. (i)若点在轴负半轴上，求三棱锥体积的最大值； (ii)若，当二面角的平面角最大时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设出的坐标，根据已知条件列方程，求得，进而求得. （2）(i)先求得切线方程，然后求得三棱锥体积的表达式，利用导数求得体积的最大值. (ii)利用向量法求得二面角的平面角的余弦值，利用换元法、导数求得平面角最大时的值. 【小问1详解】 由，故为等腰三角形，， 设，，，，， ∴，，， ∴，解得， ∴，，∴. 【小问2详解】 (i)依题意，切点，则切线斜率， ∴切线方程为：，交轴为（*）， 令，由（1）知，， ∴三棱锥底面积，高 ∴体积， 令，则，由于 ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，取得最大值为， (ii)由题意，由（*）式，， ∴，，， ∴，， 设二面角的平面角为，又由图形知，此时二面角关于平面对称，则二面角的平面角为， 设平面法向量，则， 令，则， 由，令， 平面法向量， 则， 当最大时，最小，最大， 此时， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，二面角的平面角取得最大值. 19. 已知抛物线，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，当垂直于轴时，. （1）求的值； （2）过点作直线交抛物线于两点（两点在第一象限），记直线与直线的交点为，其中直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求证：点在定直线上； （ii）当时，设直线交直线于点，且的面积为，求的值. 【答案】（1）2 （2）（i）设直线方程为 ，则直线方程为 . 设，，，. 联立，化简得，∴，∴，联立， 化简得，∴∴，所以 ， 即，整理得 ，由两点在第一象限，得，① 同理，②所以直线：，代入， 则，化简得， 同理直线BD：，联立直线，方程，并代入①，②化简整理： . 即点在定直线上. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点的坐标，再代入抛物线方程求解即可. （2）（i）根据题意设直线的方程，再与抛物线方程联立得到，再联立直线方程化简得到.（ii）首先求出直线方程，根据三角形面积求出点的纵坐标，联立直线 以及化简得到的取值. 【小问1详解】 由垂直于轴时，，不妨设，代入， 解得. 【小问2详解】 (i)略 (ii)在AC中代入，解得. 即 ，∴直线方程为： ， 由的面积 ，代入，，则， 代入EO，CD的方程组， 消去，解得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $