重庆市南开中学校2026届高三下学期5月质量检测数学试卷

高 2026 届高三年级质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ，若 ，则 A. B. 2 C. -1 D. 1 2. 命题 是命题 成立的 ( ) 条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有( )盖灯. A. 1 B. 3 C. 7 D. 192 4. 二项式 的展开式中,常数项为 A. 40 B. 80 C. 90 D. 100 5. 已知函数 的零点分别为 ,则 的大小顺序为 A. B. C. D. 6. 已知点 在单位圆的内接正方形 的边 上运动,则 的取值范围为 A. B. C. D. 7. 已知 为椭圆 的左焦点,抛物线 与椭圆 交于 两点,当 变化时, 周长的最大值为 A. 8 B. 6 C. D. 8. 已知正方体 棱长为 2,点 满足 ,点 在正方体的表面上运动,且 ,则 的轨迹长度为 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知复数 ,其中 是虚数单位,则 A. 若 B. 若 ,则 C. 若 为纯虚数,则 D. 若 ,则 10. 已知 的三个内角 的对边分别为 ,且 ,则 A. B. C. D. 11. 现有 四个不透明的袋子,每个袋子中均有标号为 的 个球, 其中 袋中全是红球, 袋中全是白球, 袋中全是黄球, 袋中全是黑球. 若甲、乙、丙、丁四人随机从四个袋中选取一个(可多人选同一个袋子), 并从中随机取出一个球, 则 A. 取出的四个球颜色互不相同的概率为 B. 取出的四个球中红球比白球恰好多 2 个的概率为 C. 当 时,取出的四个球既不同色也不同号码的概率为 D. 若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球, 则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的概率为 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 已知非零向量 满足 ，则 的夹角为_____. 13. 已知函数 在 内恰好有一个极值点,则正实数 的取值范围是_____. 14. 若曲线 和圆 存在 4 条公切线，则 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 某研究团队在商业运营数据分析中,收集了某商家一段时间内宣传投入费用与销量数据如下表,将投入经费(单位:万元)作为解释变量 ，销售量(单位:万件)作为响应变量 ，已知 与 之间呈现出线性相关关系. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 4 6 9 13 18 (1)试根据这些数据，计算样本相关系数 (结果保留三位小数)； (2)求 关于 的经验回归方程 ，并求当投入经费为 7 万元时，销售量的预测值. 参考公式: . 参考数据: 16. (15 分) 已知 的三个内角 的对边分别为 为三角形 的面积,且 . (1)判断 的形状； (2)若 为 所在平面内一动点， ， 分别位于直线 的异侧， ， ，记 ，求四边形 面积的取值范围. 17. (15 分) 已知函数 (1)讨论函数 的单调性; (2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: . 18. (17 分) 已知 为数列 的前 项和,且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若数列 满足 ，在 之间插入 ，得到新数列 ,记数列 的前 项和为 . (i) 求 ; (ii) 是否存在 ,使得 为数列 中的项,若存在,求出所有这样的 ,若不存在,说明理由. 19. (17 分) 球的体积公式可以利用微分法推导: 先将半球用平行于底面 (大圆面) 的平面将其分成等高的 部分,每一部分可近似看作圆柱,这些圆柱体积之和 就作为半球体积的近似结果,当 时, 的极限即为半球的体积, 从而得到球的体积公式. 图 19-1 中, 为过圆柱 的轴的截面, 分别为圆柱上下底面圆周上的点,且 的夹角为 . 若将直线 绕 转一周,可得双曲面 ,即过圆柱的轴的任一截面与双曲面的交线都为双曲线. 设 为 的中点,在平面 内以 为原点, 为 轴建立如图 19-1 所示的平面直角坐标系,记圆柱高为 ,底面半径为 . (1)若 . 记坐标平面 中相应的双曲线为 . (i) 求点 到直线 距离,并求双曲线 的方程; (ii) 过 作直线 平面 ,交圆柱侧面于 两点. 过双曲线 的右焦点 的直线 与双曲线 右支交于 两点,求四面体 体积的最小值. (2)若矩形 周长为 16. 将双曲面 与圆柱 上下底面围成的封闭几何体记为 ,利用微分法求 的体积最大值. 参考公式: 学科网（北京）股份有限公司 $高2026届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 个 8 9 10 11 选项 D A B B B D A C BC AD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.D【解析】a=0,62+3=4,b2=1,b=±1，恻b=(±1)°=1，选D. 2A【解析1若a>1,6>2,可得a+6>3且a6>2”,反之，可取a=,6=6,满足“a+6>3且b> 2”,但不符合“a>1,b>2”,选A. 3.甘【屏析1顶层记为m,公比g=2S,m1)-381,解得m=3,远以 1-2 4【解树11=G(2a)付广=2二若，5=0，则k=1,芦效项为=G2=80,近 B y=10 5.B【解析1)=010=立gx)=01gx=y=10,y=l,y=都关于 y=x对称，由图知：a<1<b,h(x)单调递增，若h(x)=0,可得c=1,可得： a<c<b,选B. n〔部析】如图建立业标系：可得-子-引，-子1，c个经好》， 0 -+(2++(2+图-4+6=6， 8],故选D. 7.A【解析】设AB与x轴交于M,则AM⊥：轴，设椭圆右焦点为F,AF+ AM≤AF+AF'=4,听以△FAB周长为2(AF+AM)≤8，故选A. 8.C【解析】取B1C1中点T,A1D1中点K,易证BM⊥面ABTK,则点Q的轨迹 长度为矩形ABTK的周长，BT=5,C=2×(2+5)=4+25,故选C. B 数学试题参考答案第1页{共6页) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC【解析】A.若m=0,则z=-4-2i,则z=-4+2i,A错； B.m=0,z=25,B对； 心若：为纯E数，则m-4=0, 1m2-m-2≠0， 则m=-2,C对 D.z∈R,则：m2-m-2=0,m=-1或2，D借，故选BC. 10.AD【解析】由通，d<0知4>受，所以B+6<受0<B<号-C<分inB<sinm号-G= osC同理inC<csB.所以+合>2，放可知A正喻，出，C错误： hA>牙知+c2<a2,且6<a,c<a,所以b3+c3<(b2+c2)a<a,.h正弦定理知sin3B+ sin3G<sin3A成立，战D正确，选AD ABD【解析测于A选项，四个人选出球颜色互不相同的概率为=2，A正 对于B选项，有时种情视，①红球2个，白球0个时，概宋为生))-，②红球3个， 白球1个时，概率为)广社)4网人选州的球中红球个效比白球个数多2个的满率 为名+4-s正确： 网于C选项，四个人取出的四个球颜色和号码均不同的概车为：=，C翻 对于D选项，设甲乙丙丁取出球号码分别为a,b,c,d,则所求概率转化为求a+b+c=d(1≤ a,b,c,d≤)的整数解组数，当d=3时，方程的解的组数为C,当d=4时，方程的解的组数 为，…，当d=时，方程的解的个数为(2-1，枚满足条件的取法有C+(+…+C2-= C,故所求慨率 C=元-3n+2,D正确.故选ABD. 6n3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2罗 【解析】由题2a2-2方+3a·h=0,则a·h=0,所以夹角为 1.g引 【解析l)-2 sin+引，则号<变+号≤3严可得we(合，引 数学试题参考答案第2页（共6页） 14.0<t<22+2 【解新]由=1可得由线y=x+上=，处的切线方程为y+=中(，即 2 了=+2同胺和网+=：>州物，划4 =, 1+ 令2=u则膝理可得方程心2-2+a+2=0, 42 △=2+ -8>0, 若存在四条公切线，则方程应有两个不同的止数根， .0<t<22+2 2+>0, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步曝. 15.(13分) 解：(1)因为2x=185,之号=5，=626，元=3，y=10, 2分 '1 1 所以r= 185-5×3×10 35≈0.986，m 5分 55-5×3√626-5×1026v35 2632-两828085.a0-5x3=-05.9x-05.…10分 2- 当x=7时，y=24,所以当投入经费x=7万元时，销售量的预测值为24万件.…13分 16.(15分) (1)由已知v3(a2+-c2)=4S,结合余弦定理d2+6-c2=2 abcosC和S=2 inC得： 23 abcosC=2 absinC,所以tanC=√3.·0<C<π，.C=T. …3分 又由a2tnB=2tanA结合正弦定理得，sin2 Asin BcosA=sin2 BsinAcosB. .0<A<,0<B<,..sinAcosA sinBcosB,.'.sin2A sin2B,.'.2A =2B,.'.A =B 2A +2B=T, A+B=罗，仙C=霄不盾，舍去.故A=B=C=牙，所以△ABC为等边三角形.…7分 (2)在△ABD中H余弦定理得AB=AD2+DB-2AD·DBcose=5-4cos0(0<0<π)， 所以四边形初的面积为sac-S版+5-学m+切，阳sd=0-50- 4 20-+ 4 12分 .0<日<T,- <6-号<<mj6-到s1, 33 所以四边形C的面积的取值抢用为停，2+5] 15分 数学试题参考答案第3页{共6页) 17.(15分) 斛：(1)f(x)=a-1=a-x 当a≤0时，在x∈(0，+0)时∫'(x)<0,八x)在(0，+∞)上单调递诚； 当a>0时，令f'(x)=0,得=a,当x∈(0，u)时f'(x)>0, 当x∈(a,+o)时f'(x)<0,所以f代x)在(0，a)上单调递增f(x)在(a,+∞)上单调递减。…4分 综上：当a≤0时，f代x)在(0，+）.上单调递减. 当a>0时代x)在(0，a)上单调递增(x)在(a,+)上单调递诚.…5分 (2)由(1)知，若函数f代x)有两个不等实根，则a>0,又当x0时f孔x)→-0，f1)=-1<0知， 要使函数f(x)有两个不等实根，则f(a)=alna-a>0,故a>e.…6分 因为x1<2,由 比=”r得a=-x收要证明2(x)+f”(x2)之e产 lalnxz =x2 即证明2-2+-1>-3，即证明+2( ->e, 8分 1 2 x1x2(lnx1-lnx2） 即+-2<dn(*),令=(0<6<1). X1X2 听以(*)转化为i证明当t∈(0，)时，elt-t+2二1>0成立。 10分 令g)=elr-i+子-1.则g'()-f+-2, 2 对于m()=-2+-2(0<<1),对应二次方程的△=e2-8<0,所以当0<&<1时，m()<0,故 g'(t)<0,所以函数g(t)在(0,1)上单调递减，故g(t)>g(1)=0, 即et-+21>0,故不等武2f"()+f()>e-3得证…15分 18.(17分)》 解：(1)Hm1=28,可得x(S1-8,)=2,即n心1=(m+2)8,所以有 S+1=B+2 九，…1分 是…=3手+1_aa,+1可得-an,+少，即s-n,D 82SS-1I2“-12 S …3分 2 2 当n≥2时，4.=S-S1=(0)1）_（n,1)=n,又a4=1满足，所以a.=n.…5分 2 2 (2)因为a.=n,6。=2-1. (i)记d4=a+61+6b2+…+bg,则4=2+k-1, B1=4,+4++4,+a,-21-?2+5x(5+1)-5+6=78. 1-2 2 …9分 数学试题参考答案第4页（共6页） (i)易有P1=c1=1,P2=a1+b,=2=b2,P3=a1+1+a2=4,满足条件.P4=5不满足条件.P5=7 也不洲足.下讪仅有P1,P2,P3满足.…10分 情况一：若P=d,+d,+…+d+as+1+b1+,+…+b(是≥2,0≤≤k+1), 划P.=(51)+2(1-3)-k+k+1+2-1=(系+1)+2+20-2 2 1-2 2 因为(，+】-2>0，所以P.只可能为2+”，2，…的形式 …12分 2 记fk)=2+1+4-k(k+1)易有代2)>03)>0， 而k≥4时f)=(1+1)+1+4-k(k+1)≥2(C8+,+C4+1+C经+1)+4-(k+1)>0, 所以玉+）-2<2，当，=k+1时，则2-2<P=22+玉+业-2<2不成立： 2 当≤k时，Pn<2+1+2+2=2+2不成立. 15分 情况二：若P.=d,+d,++d,=21+,少-2，当k=2时，P,=7不成立： 2 当k≥3时，21<2+1+(1)-2<2*+1+2<24+2不成. 综上，仅P,P2,P3满足条件 17分 19.(17分)》 (1)(i)作MM'垂直圆柱DO2下底面于M,作NN'垂直圆柱01O2上底面于 V',连接O,N'、O2M'、MW'、M'N得到止三棱柱OMN'-O2M'N,则点0到直 线MN距离即为有线O1O2到平面MW'NM'距离，即等边三角形△OMW'的高 B,… 2分 所以双曲线的实半轴为3.易知双曲线E过(2,2)点，所以双曲线E方程 写--1…4分 (i)设直线Sg=+5.双l线写方-1，设s0名).. x=my+/151 联6 }→(4m2-1)y2+8V15my+48=0, △=192(m2+1)>0 48 48 <0 则y+2=三4815m24m-由n-10 …6分 4m2-1≠0 i以-+41，-可-经， 则y-为-83·m+打-83，=83 14m2-1厂=4-51 ≥83，当t=1,即m=0时取“=”。 4t、57 5=片·Sa·-为≥号·2下.85=165，所以四面体s随体积最小值为165. …9分 数学试题参考答案第5页（共6页） (3)设圆社0，底面半径为，高为友，则n到直线N间饰离习，即此时双线5实半销为 2 儿过，）点，所以双曲线E方程 =1.… 3r23h2 11分 4 4 用平行于截面圆0的平面将线段00等分，则几何休@上半部分依次被分成等高的部分，每一 杯分町以近似苍成高均为的國杭做设这些平行平面与又曲线E第一象限都分从下往上依次交 于A、A2、…Ak…、Aa,则A 3+ 13分 2√3n2'2n 所以几何休0上半部分从下往上第k部分休和≈：· 31+.在3mh11+ 2 43n22n=8n 3n2 所以几何体o的体积V≈2（山+4+…+，）=2.3mn+号 (n+1)(2n+1) 8n 3n2.6 31++ 1823 当+时.v31- 2 =Sar'h 18 6, 15分 h+r+r 5 由题意4r+2h=162r+h=8,所以-5m2h_5m·(h·r、 5π· 3 1280m 6 6 81, …16分 当H仅当名-，-号刊取竿所以几创体o的休积最大值约2 3 81 …17分 法2：2+h-8-0h-7(4-） 证)=r4-》=4r-f(0）=8,3.了(）=0孙=，从而=停)-2 数学试题参考答案第6页{共6页)