重庆市南开中学校2026届高三下学期5月质量检测数学试卷

高2026届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 个 8 9 10 11 选项 D A B B B D A C BC AD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.D【解析】a=0,62+3=4,b2=1,b=±1，恻b=(±1)°=1，选D. 2A【解析1若a>1,6>2,可得a+6>3且a6>2”,反之，可取a=,6=6,满足“a+6>3且b> 2”,但不符合“a>1,b>2”,选A. 3.甘【屏析1顶层记为m,公比g=2S,m1)-381,解得m=3,远以 1-2 4【解树11=G(2a)付广=2二若，5=0，则k=1,芦效项为=G2=80,近 B y=10 5.B【解析1)=010=立gx)=01gx=y=10,y=l,y=都关于 y=x对称，由图知：a<1<b,h(x)单调递增，若h(x)=0,可得c=1,可得： a<c<b,选B. n〔部析】如图建立业标系：可得-子-引，-子1，c个经好》， 0 -+(2++(2+图-4+6=6， 8],故选D. 7.A【解析】设AB与x轴交于M,则AM⊥：轴，设椭圆右焦点为F,AF+ AM≤AF+AF'=4,听以△FAB周长为2(AF+AM)≤8，故选A. 8.C【解析】取B1C1中点T,A1D1中点K,易证BM⊥面ABTK,则点Q的轨迹 长度为矩形ABTK的周长，BT=5,C=2×(2+5)=4+25,故选C. B 数学试题参考答案第1页{共6页) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC【解析】A.若m=0,则z=-4-2i,则z=-4+2i,A错； B.m=0,z=25,B对； 心若：为纯E数，则m-4=0, 1m2-m-2≠0， 则m=-2,C对 D.z∈R,则：m2-m-2=0,m=-1或2，D借，故选BC. 10.AD【解析】由通，d<0知4>受，所以B+6<受0<B<号-C<分inB<sinm号-G= osC同理inC<csB.所以+合>2，放可知A正喻，出，C错误： hA>牙知+c2<a2,且6<a,c<a,所以b3+c3<(b2+c2)a<a,.h正弦定理知sin3B+ sin3G<sin3A成立，战D正确，选AD ABD【解析测于A选项，四个人选出球颜色互不相同的概率为=2，A正 对于B选项，有时种情视，①红球2个，白球0个时，概宋为生))-，②红球3个， 白球1个时，概率为)广社)4网人选州的球中红球个效比白球个数多2个的满率 为名+4-s正确： 网于C选项，四个人取出的四个球颜色和号码均不同的概车为：=，C翻 对于D选项，设甲乙丙丁取出球号码分别为a,b,c,d,则所求概率转化为求a+b+c=d(1≤ a,b,c,d≤)的整数解组数，当d=3时，方程的解的组数为C,当d=4时，方程的解的组数 为，…，当d=时，方程的解的个数为(2-1，枚满足条件的取法有C+(+…+C2-= C,故所求慨率 C=元-3n+2,D正确.故选ABD. 6n3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2罗 【解析】由题2a2-2方+3a·h=0,则a·h=0,所以夹角为 1.g引 【解析l)-2 sin+引，则号<变+号≤3严可得we(合，引 数学试题参考答案第2页（共6页） 14.0<t<22+2 【解新]由=1可得由线y=x+上=，处的切线方程为y+=中(，即 2 了=+2同胺和网+=：>州物，划4 =, 1+ 令2=u则膝理可得方程心2-2+a+2=0, 42 △=2+ -8>0, 若存在四条公切线，则方程应有两个不同的止数根， .0<t<22+2 2+>0, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步曝. 15.(13分) 解：(1)因为2x=185,之号=5，=626，元=3，y=10, 2分 '1 1 所以r= 185-5×3×10 35≈0.986，m 5分 55-5×3√626-5×1026v35 2632-两828085.a0-5x3=-05.9x-05.…10分 2- 当x=7时，y=24,所以当投入经费x=7万元时，销售量的预测值为24万件.…13分 16.(15分) (1)由已知v3(a2+-c2)=4S,结合余弦定理d2+6-c2=2 abcosC和S=2 inC得： 23 abcosC=2 absinC,所以tanC=√3.·0<C<π，.C=T. …3分 又由a2tnB=2tanA结合正弦定理得，sin2 Asin BcosA=sin2 BsinAcosB. .0<A<,0<B<,..sinAcosA sinBcosB,.'.sin2A sin2B,.'.2A =2B,.'.A =B 2A +2B=T, A+B=罗，仙C=霄不盾，舍去.故A=B=C=牙，所以△ABC为等边三角形.…7分 (2)在△ABD中H余弦定理得AB=AD2+DB-2AD·DBcose=5-4cos0(0<0<π)， 所以四边形初的面积为sac-S版+5-学m+切，阳sd=0-50- 4 20-+ 4 12分 .0<日<T,- <6-号<<mj6-到s1, 33 所以四边形C的面积的取值抢用为停，2+5] 15分 数学试题参考答案第3页{共6页) 17.(15分) 斛：(1)f(x)=a-1=a-x 当a≤0时，在x∈(0，+0)时∫'(x)<0,八x)在(0，+∞)上单调递诚； 当a>0时，令f'(x)=0,得=a,当x∈(0，u)时f'(x)>0, 当x∈(a,+o)时f'(x)<0,所以f代x)在(0，a)上单调递增f(x)在(a,+∞)上单调递减。…4分 综上：当a≤0时，f代x)在(0，+）.上单调递减. 当a>0时代x)在(0，a)上单调递增(x)在(a,+)上单调递诚.…5分 (2)由(1)知，若函数f代x)有两个不等实根，则a>0,又当x0时f孔x)→-0，f1)=-1<0知， 要使函数f(x)有两个不等实根，则f(a)=alna-a>0,故a>e.…6分 因为x1<2,由 比=”r得a=-x收要证明2(x)+f”(x2)之e产 lalnxz =x2 即证明2-2+-1>-3，即证明+2( ->e, 8分 1 2 x1x2(lnx1-lnx2） 即+-2<dn(*),令=(0<6<1). X1X2 听以(*)转化为i证明当t∈(0，)时，elt-t+2二1>0成立。 10分 令g)=elr-i+子-1.则g'()-f+-2, 2 对于m()=-2+-2(0<<1),对应二次方程的△=e2-8<0,所以当0<&<1时，m()<0,故 g'(t)<0,所以函数g(t)在(0,1)上单调递减，故g(t)>g(1)=0, 即et-+21>0,故不等武2f"()+f()>e-3得证…15分 18.(17分)》 解：(1)Hm1=28,可得x(S1-8,)=2,即n心1=(m+2)8,所以有 S+1=B+2 九，…1分 是…=3手+1_aa,+1可得-an,+少，即s-n,D 82SS-1I2“-12 S …3分 2 2 当n≥2时，4.=S-S1=(0)1）_（n,1)=n,又a4=1满足，所以a.=n.…5分 2 2 (2)因为a.=n,6。=2-1. (i)记d4=a+61+6b2+…+bg,则4=2+k-1, B1=4,+4++4,+a,-21-?2+5x(5+1)-5+6=78. 1-2 2 …9分 数学试题参考答案第4页（共6页） (i)易有P1=c1=1,P2=a1+b,=2=b2,P3=a1+1+a2=4,满足条件.P4=5不满足条件.P5=7 也不洲足.下讪仅有P1,P2,P3满足.…10分 情况一：若P=d,+d,+…+d+as+1+b1+,+…+b(是≥2,0≤≤k+1), 划P.=(51)+2(1-3)-k+k+1+2-1=(系+1)+2+20-2 2 1-2 2 因为(，+】-2>0，所以P.只可能为2+”，2，…的形式 …12分 2 记fk)=2+1+4-k(k+1)易有代2)>03)>0， 而k≥4时f)=(1+1)+1+4-k(k+1)≥2(C8+,+C4+1+C经+1)+4-(k+1)>0, 所以玉+）-2<2，当，=k+1时，则2-2<P=22+玉+业-2<2不成立： 2 当≤k时，Pn<2+1+2+2=2+2不成立. 15分 情况二：若P.=d,+d,++d,=21+,少-2，当k=2时，P,=7不成立： 2 当k≥3时，21<2+1+(1)-2<2*+1+2<24+2不成. 综上，仅P,P2,P3满足条件 17分 19.(17分)》 (1)(i)作MM'垂直圆柱DO2下底面于M,作NN'垂直圆柱01O2上底面于 V',连接O,N'、O2M'、MW'、M'N得到止三棱柱OMN'-O2M'N,则点0到直 线MN距离即为有线O1O2到平面MW'NM'距离，即等边三角形△OMW'的高 B,… 2分 所以双曲线的实半轴为3.易知双曲线E过(2,2)点，所以双曲线E方程 写--1…4分 (i)设直线Sg=+5.双l线写方-1，设s0名).. x=my+/151 联6 }→(4m2-1)y2+8V15my+48=0, △=192(m2+1)>0 48 48 <0 则y+2=三4815m24m-由n-10 …6分 4m2-1≠0 i以-+41，-可-经， 则y-为-83·m+打-83，=83 14m2-1厂=4-51 ≥83，当t=1,即m=0时取“=”。 4t、57 5=片·Sa·-为≥号·2下.85=165，所以四面体s随体积最小值为165. …9分 数学试题参考答案第5页（共6页） (3)设圆社0，底面半径为，高为友，则n到直线N间饰离习，即此时双线5实半销为 2 儿过，）点，所以双曲线E方程 =1.… 3r23h2 11分 4 4 用平行于截面圆0的平面将线段00等分，则几何休@上半部分依次被分成等高的部分，每一 杯分町以近似苍成高均为的國杭做设这些平行平面与又曲线E第一象限都分从下往上依次交 于A、A2、…Ak…、Aa,则A 3+ 13分 2√3n2'2n 所以几何休0上半部分从下往上第k部分休和≈：· 31+.在3mh11+ 2 43n22n=8n 3n2 所以几何体o的体积V≈2（山+4+…+，）=2.3mn+号 (n+1)(2n+1) 8n 3n2.6 31++ 1823 当+时.v31- 2 =Sar'h 18 6, 15分 h+r+r 5 由题意4r+2h=162r+h=8,所以-5m2h_5m·(h·r、 5π· 3 1280m 6 6 81, …16分 当H仅当名-，-号刊取竿所以几创体o的休积最大值约2 3 81 …17分 法2：2+h-8-0h-7(4-） 证)=r4-》=4r-f(0）=8,3.了(）=0孙=，从而=停)-2 数学试题参考答案第6页{共6页)高2026届高三年级质量检测 数学试题 2026.5 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.已知集合A={0,1,4},B={1,a,b2+3},若A=B,则b= A.√2 B.2 C.-1 D.1 a+b>3 2.命题p:a>1,b>2是命题g: 成立的( )条件 (ab>2 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯 数的2倍，则塔的顶层共有( )盏灯 A.1 B.3 C.7 D.192 4二项式丘+引 的展开式中，常数项为 A.40 B.80 C.90.. D.100 5.已知函数f(x)=x·10-1,g(x)=x·lgx-1,h(x)=x号-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺 序为 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 6.已知点P在单位圆的内接正方形ABCD的边AB上运动，则P+P+P心+P的取值范围为 A.[4,8] B.[4,6] c[8 D.[6,8] 7已知F为椭圆C芹+号=1的左焦点，抛物线子-2(>0)与精圆C交于A,B两点，当p变化时， △ABF周长的最大值为 A.8 B.6 C.4+23 D.6+23 8.已知正方体ABCD-A1B,C,D,棱长为2，点M满足C,M=M元，点Q在正方体的表面上运动，且AQ1 白 B,M,则Q的轨迹长度为 A.4+45 B.45 C.4+25 D.42 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分： 9.已知复数z=(m2-4)+(m2-m-2)i,其中m∈R,i是虚数单位，则 A.若m=0,z=-4-2i B.若m=0,则1zl=2√5 C.若：为纯虚数，则m=-2 D.若z∈R,则m=2 10.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A店·AC<0,则 AA>号 B.sinB>cosC C.sin+sinc>2 D.sinB+sinC<sinA cosC'cosB 11.现有A,B,C,D四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为1,2,3，…，n(n∈N°，n≥4)的n个球， 其中A袋中全是红球，B袋中全是白球，C袋中全是黄球，D袋中全是黑球.若甲、乙、丙、丁四人随 机从四个袋中选取一个（可多人选同一个袋子），并从中随机取出一个球，则 A取出的四个球颜色互不相同的概率为号 B.取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率为 64 C当n=4时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为28 D.若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的 概率为2-3n+2 6n3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知非零向量a,b满足a=|b,(2a-b)·（a+2b)=0,则a,b的夹角为 13.已知函数x)=sinwx+5在0，）内恰好有一个极值点，则正实数w的取值范围是 14.若曲线y=x+】和圆X+Y=t(t>0)存在4条公切线，则t的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内宣传投人费用与销量数据如下表，将 投入经费（单位：万元）作为解释变量x,销售量（单位：万件）作为响应变量y,已知x与y之间呈现 出线性相关关系， x(投入经费) 1 2 3 4 5 y(销售量) 4 6 9 13 18 (1)试根据这些数据，计算样本相关系数r(结果保留三位小数)； (2)求y关于x的经验回归方程y=x+,并求当投人经费为7万元时，销售量的预测值. x:-n· 参考公式：r 6盛4-动%- ,a=y-6屁 含（名-）2 1 参考数据：2=626，V35≈5.916 16.(15分) 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为三角形△ABC的面积，且5(a2+b2-2)= 4S,a2tanB b2tanA. (1)判断△ABC的形状； (2)若D为△ABC所在平面内一动点，C,D分别位于直线AB的异侧，AD=1,BD=2,记∠ADB=0 (0<0<π)，求四边形ADBC面积的取值范围. 17.(15分) 已知函数f(x)=alnx-x(a∈R) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,f'(x)为f代x)的导函数，试证明：2f'(x)+f'(x2)>e-3. 18.(17分) 已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1,nan+1=2Sn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn=2,-l(n∈N),在a4,ax+1之间插人b1,b2,…,b(k∈N),得到新数列 {cn}:a1,b1,a2,b,b2,a3,b1,b2,b3,a4,…,ak,b1,b2,…,bg,ak+1…,记数列{cn}的前n项和为Pn (i)求P21; (i)是否存在Pn,使得Pn为数列{b}中的项，若存在，求出所有这样的Pn,若不存在，说明理由. 19.(17分) 球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面（大圆面）的平面将其分成等高的部 分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和V就作为半球体积的近似结果，当→+∞时，V 的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式 图19-1中，ABCD为过圆柱0O2的轴的截面，M,N分别为圆柱上下底面圆周上的点，且0，M,O2 的夹角为雪若将直线MW绕0,0，转一周，可得双曲面a(图19-2)，即过圆柱的轴的任一截面与 双曲面的交线都为双曲线.设0为O,O2的中点，在平面ABCD内以0为原点，0,02为y轴建立如 图19-1所示的平面直角坐标系，记圆柱高为h,底面半径为x. (1)若h=4,r=2.记坐标平面x0y中相应的双曲线为E. (i)求点O到直线MW距离，并求双曲线E的方程； (i)过O作直线GH⊥平面ABCD,交圆柱侧面于G,H两点.过双曲线E的右焦点F的直线I与 双曲线E右支交于S,T两点，求四面体STGH体积的最小值： (2)若矩形ABCD周长为16.将双曲面α与圆柱O1O2上下底面围成的封闭几何体记为w,利用微 分法求ω的体积最大值， 参考公式：12+2+…+m=nn+)(2n+1(neN…) 6 0 --B 图19-1 图19-2勘误：第5题答案为 g