2.10　函数模型的应用 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型应用专题，涵盖指数、对数、幂函数及分段函数等核心考点，按“图象刻画—模型应用—建模解决”逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导（如函数图象判断两法）、真题训练（基础自练到综合探究）等环节，帮助学生系统突破实际问题解决难点。 资料以数学建模和数学运算为核心素养导向，创新采用“基础自悟—重难共研—多维探究”教学模式，如构建分段函数模型分析利润最值问题，设置A、B、C分层练习适配不同学生。通过真实情境例题（如冷却规律、噪声污染）培养直观想象，助力高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2．10　函数模型的应用 课标要求 考情分析 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． ◎考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现． ◎核心素养：直观想象、数学运算、数学建模． 幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 解析　y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A、C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 答案　D 2．在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示： x 0.50 1.09 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D. 答案　D 3．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析　在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象(图略)，由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C. 答案　C 4．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 解析　因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的日利润最大时，当日售价为150元． 答案　150 5．学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留________s(结果保留两位小数).(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系式h＝v0t－gt2，其中g＝9.8 m/s2，≈25.593) 解析　由题意知，h＝12t－×9.8t2， 令h＝2，可得12t－×9.8t2＝2，即49t2－120t＋20＝0，所以t1＋t2＝，t1t2＝，所以＝＝≈2.09. 所以排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2.09 s. 答案　2.09 考点一　用函数图象刻画变化过程　基础考点　自练自悟 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　) 解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确． 答案　A 2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 解析　水匀速流出，所以鱼缸水深h先降很快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快． 答案　B 3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 答案　D 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 考点二　已知函数模型求解实际问题　重难考点　师生共研 (1)(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．t2＝20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6 (2)(多选)新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [解析]　(1)由题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e-0.05t， 当θ＝30，则30＝10＋(θ1－10)，即＝，－0.05t1＝ln ，则t1＝20ln ， 其是关于θ1的单调递增函数． 当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28， 当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈30， 则28≤t1≤30，故B正确； 当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误； 当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误，故选BC. (2)由题意可知∈[60，90]，∈[50，60]，＝40， 对于选项A：可得－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ， 因为≥，则－＝20×lg ≥0， 即lg ≥0， 所以≥1，且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得－＝20×lg －20×lg ＝20×lg ， 因为－＝－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥， 所以≥，且p2，p3>0，可得p2≥p3， 当且仅当＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为＝20×lg ＝40，即lg ＝2， 可得＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：－＝20×lg ， 且－≤90－50＝40，则20×lg ≤40， 即lg ≤2，可得≤100，且p1，p2>0， 所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. [答案]　(1)BC　(2)ACD 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1．声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB 解析　设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2， 由题意可得f(x1)＝10×lg ＝140， 解得x1＝102， 因为＝＝108，所以x2＝10-6， 所以f＝10×lg ＝60， 所以一般说话时声音的等级约为60 dB.故选D. 答案　D 2．冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q＝Q0·e-0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式Q＝Q0·e-0.002 5t推算，经过t0年臭氧量还保留初始量的四分之一，则t0的值约为(ln 2≈0.693)(　　) A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 解析　由题意知，Q＝Q0·＝Q0， 则＝，解得t0＝－400ln ＝－400(－2ln 2)≈554(年).故选D. 答案　D 考点三　构建函数模型解决实际问题　多维探究　发散思维 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元． 依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9， 即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立， 即当x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即： 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2024年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550-x·m D．y＝(1－0.0550-x)·m (2)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭(除燃料外)的质量m的函数关系是v＝2000ln .按照这个规律，当1000M＝8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M＝4m时，火箭的最大速度为v2.则v1－v2≈(参考数据：ln ≈0.004)(　　) A．8.0 km/s B．8.4 km/s C．8.8 km/s D．9.0 km/s [解析]　(1)设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%).所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m·(95%)＝0.95·m.故选A． (2)由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是v＝2000ln ，当1000M＝8m时，有＝， 所以v1＝2000ln ＝2000ln ； 当1000M＝4m时，有＝， 所以v2＝2000ln ＝2000ln ， 可得v1－v2＝2000ln ＝2000ln ≈2000×0.004＝8(km/s).故选A． [答案]　(1)A　(2)A 指数(对数)函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 1．运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元．则这次行车的总费用的最低值是________元． 解析　行车所用时间t＝ h，根据汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元， 可得行车总费用为y＝×6×＋＝＋(50≤x≤100). y＝＋≥2·＝600，当且仅当＝，即x＝70时，等号成立． 所以当x＝70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元． 答案　600 2．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为为酒后驾车，80 mg/100 mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100 mg/100 mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg 5≈0.7，lg 7≈0.85) 解析　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1－30%)x＜20，所以0.7x＜0.2. 又y＝0.7x为减函数， 所以x＞log0.70.2＝＝＝＝≈≈4.7， 所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车． 答案　4.7 A级　基础过关 1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　) A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x C．y＝x1000 D．y＝1000×2x 解析　在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B、C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A． 答案　A 2．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利(　　) A．25元 B．20.5元 C．15元 D．12.5元 解析　由题意，售价为100元，再按九折出售的售价为100×0.9元，所以，每件获利100×0.9－100＝90×－100＝12.5(元).故选D. 答案　D 3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1530只 B．1636只 C．1830只 D．1930只 解析　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)， 且当x＝2时，y＝1000， ∴1000＝klog33，解得k＝1000， ∴当x＝5时，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×≈1636. 答案　B 4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln (kx)＝ln k0＋ln (1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速率k的值约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693) A．0.105 5 B．0.106 5 C．0.116 5 D．0.115 5 解析　由题意，ln ＝ln k0＋ln (1－e-12k)⇒e-12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.693，解得k≈0.115 5. 答案　D 5．(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(　　) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A．T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1>T2 D．T3>10 000T1 解析　A选项，由题意得N(t)＝N0， 又N(t)＝N0e，故N0＝N0e，两边取对数得，ln 0.5＝－， T＝τln 2，A错误； B选项，由A可知，T与τ成正比例关系，B正确； C选项，由B可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值， 故T1<T2，C错误； D选项，T3＝τln 2＝6.475×109ln 2， T1＝τln 2＝3.558×105ln 2， 故＝>1，D正确．故选BD. 答案　BD 6．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝________． 解析　因为λ＝λ(1－3-8λ)，所以3-8λ＝＝3-2，解得λ＝. 答案　 7．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时) 解析　当0≤x≤1时，由f(x)≤0.02，得5x-2≤0.02，解得x≤2＋log50.02＝log50.5＜0，不符合题意；当x＞1时，由f(x)≤0.02，得·x≤0.02，即31-x≤0.1，解得x≥1－log30.1＝1＋log310.因为3＜1＋log310＜4，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车． 答案　4 8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m.记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y m．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m. 解析　设梯形的高为h m．由题意可知9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，整理可得BC＝－，由h≥，BC＞0，可得2≤x＜6，∴y＝BC＋2x＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立． 答案　2 9．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造休闲区域，B区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，D区域用来种植大蒜．已知B，D两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元． A B C D (1)用y(单位：平方米)表示C区域的面积，求y关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？ 解析　(1)由题意得C 区域为长、宽分别为6－2x，x的长方形，所以y＝x(6－2x)＝－2x2＋6x，x∈(0，2). (2)设阳台改造的总费用为f(x) 元， 则f(x)＝30×6(2－x)＋40x2＋20(－2x2＋6x)＋25x2＝25x2－60x＋360，x∈(0，2)， 当x＝－＝时，f(x)有最小值， f(x)min＝f＝25×2－60×＋360＝324. 所以当x＝米时，阳台改造的总费用最少，最少为324元． B级　能力提升 10．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(　　) (参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1200≈7.090 1) A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 解析　由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则＝1200， ∴1.06n＝1200， ∴n＝log1.061200＝≈121.614， ∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1200倍． 答案　A 11．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________(保留到个位)(lg 61≈1.79). 解析　由题意得，f(60)＝≈＝P， ∴k＝＝0.465， ∴f(100)＝＝≈＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462. 答案　462 12．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解析　(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元). 因此，此时公司的总收益为88万元． (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得解之得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16； 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元． C级　拓广探索 13．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm).若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析　厚度为α＝10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1－4%)n，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β＝5，则10(1－4%)n≤5⇒(1－4%)n≤，因为(1－4%)n>0，>0，所以lg (1－4%)n≤lg ⇒n lg (1－4%)≤－lg 2，因为lg (1－4%)<0，所以n≥⇒n≥＝＝＝≈16.815 6.故选D. 答案　D 14．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下表： 上市时间x/天 2 6 20 市场价y/元 102 78 120 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)；④y＝＋b(a≠0)； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在x∈(10，＋∞)使得不等式－k≤0成立，求实数k的取值范围． 解析　(1)由题表知，随着时间x的增大，y的值先减小后增大，而所给的函数①y＝ax＋b(a≠0)，③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)和④y＝＋b(a≠0)在(0，＋∞)上显然都是单调函数，不满足题意，故选择②y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)把(2，102)，(6，78)，(20，120)分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得解得 所以y＝x2－10x＋120＝(x－10)2＋70，x∈(0，＋∞). 所以当x＝10时，y有最小值，且ymin＝70. 故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令g(x)＝＝(x－10)＋，x∈(10，＋∞)， 因为存在x∈(10，＋∞)使得不等式g(x)－k≤0成立，则k≥g(x)min. 又g(x)＝(x－10)＋≥2＝2， 当且仅当(x－10)＝，即x＝10＋2时，等号成立．所以实数k的取值范围是[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．10　函数模型的应用 课标要求 考情分析 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． ◎考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现． ◎核心素养：直观想象、数学运算、数学建模． 幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． 1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 2．在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示： x 0.50 1.09 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 3．下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 4．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 5．学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留________s(结果保留两位小数).(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系式h＝v0t－gt2，其中g＝9.8 m/s2，≈25.593) 考点一　用函数图象刻画变化过程　基础考点　自练自悟 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　) 2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 考点二　已知函数模型求解实际问题　重难考点　师生共研 (1)(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．t2＝20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6 (2)(多选)新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 1．声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB 2．冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q＝Q0·e-0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式Q＝Q0·e-0.002 5t推算，经过t0年臭氧量还保留初始量的四分之一，则t0的值约为(ln 2≈0.693)(　　) A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 考点三　构建函数模型解决实际问题　多维探究　发散思维 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即： 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2024年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝0.95·m B．y＝(1－0.05)·m C．y＝0.9550-x·m D．y＝(1－0.0550-x)·m (2)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭(除燃料外)的质量m的函数关系是v＝2000ln .按照这个规律，当1000M＝8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M＝4m时，火箭的最大速度为v2.则v1－v2≈(参考数据：ln ≈0.004)(　　) A．8.0 km/s B．8.4 km/s C．8.8 km/s D．9.0 km/s 指数(对数)函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 1．运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油L，司机的工资是每小时46元．则这次行车的总费用的最低值是________元． 2．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为为酒后驾车，80 mg/100 mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100 mg/100 mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg 5≈0.7，lg 7≈0.85) A级　基础过关 1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　) A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x C．y＝x1000 D．y＝1000×2x 2．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利(　　) A．25元 B．20.5元 C．15元 D．12.5元 3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1530只 B．1636只 C．1830只 D．1930只 4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln (kx)＝ln k0＋ln (1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速率k的值约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693) A．0.105 5 B．0.106 5 C．0.116 5 D．0.115 5 5．(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(　　) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A．T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1>T2 D．T3>10 000T1 6．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝________． 7．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时) 8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m.记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y m．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m. 9．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造休闲区域，B区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，D区域用来种植大蒜．已知B，D两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元． A B C D (1)用y(单位：平方米)表示C区域的面积，求y关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？ B级　能力提升 10．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(　　) (参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1200≈7.090 1) A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 11．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________(保留到个位)(lg 61≈1.79). 12．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ C级　拓广探索 13．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm).若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 14．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下表： 上市时间x/天 2 6 20 市场价y/元 102 78 120 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)；④y＝＋b(a≠0)； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在x∈(10，＋∞)使得不等式－k≤0成立，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $