第13讲 函数的零点与方程的解 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，涵盖零点概念、存在定理、二分法及四大题型（区间判定、个数判定、参数求解、复合函数零点），按“基础回顾-题型突破-分层精练”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法归纳（如零点存在定理应用、数形结合法）、真题精讲（模拟题及月考实例）等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义以“数学思维”培养为核心，创新采用“题型归类+方法提炼”教学模式，如复合函数零点问题通过分解内外层函数、图像交点分析，培养学生逻辑推理与模型构建能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效突破。为教师提供清晰复习路径，助力学生提升解题速度与准确率，强化应考能力。

第13讲 函数的零点与方程的解 题型一 函数零点所在区间的判定 2 题型二 函数零点个数的判定 3 题型三 根据函数零点求参数 4 题型四 复合函数零点问题 6 课时精练 8 【基础回顾】 知识点1：函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点。 （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点。 （3）函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解。 知识点2：二分法 对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。 【必备知识】 若连续不断的函数f（x）是定义域上的单调函数，则f（x）至多有一个零点。 题型一 函数零点所在区间的判定 确定函数零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间（a，b）内必有零点。 （2）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断。 【例题精讲】 1．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·山东淄博·期中）下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．函数的零点所在区间是 C．函数且的图像过定点 D．函数的定义域为，则的定义域为 （多选）9．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C．函数在区间上存在零点 D．若，，，则的最小值为4 （多选）10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型二 函数零点个数的判定 求解函数零点个数的基本方法 （1）直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f（x）有多少个零点。 （2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等。 （3）图像法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数。 【例题精讲】 1．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数的图像经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （多选）8．（2026·江西上饶·二模）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A．对于，有 B．是单调函数 C．方程有无数组解 D．方程共有个不等的实数根 （多选）9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以4为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有4个零点 （多选）10．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数，则（    ）． A．， B．在上单调递增 C．是偶函数 D．函数有3个零点 题型三 根据函数零点求参数 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式确定参数（范围）。 （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围。 （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后利用数形结合法求解。 【例题精讲】 1．（2026·湖北荆门·模拟预测）设函数，若，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 （多选）9．（2026·河北沧州·二模）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高三上·甘肃张掖·月考）已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递增区间为 B．m的取值范围是 C． D．的取值范围是 题型四 复合函数零点问题 对于复合函数y＝f（g(x））的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； （2）确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui（i＝1,2,3，…，n）； （3）确定直线u＝ui（i＝1,2,3，…，n）与内层函数u＝g(x)图像的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f（g(x））的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 【例题精讲】 1．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数，且函数恰有两个零点，则整数的取值的种数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数若方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖北荆州·期末）设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 7．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·河南·期末）设函数，集合，则下列结论正确的有（    ） A．当时，中有3个元素 B．中不可能恰有1个元素 C．若中恰有2个元素，则不可能为负数 D．若（），则 （多选）9．（25-26高一上·山西大同·期末）已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数零点个数为 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上递增 （多选）10．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．有2个零点 B．的单调递减区间为 C．若，则有6个零点 D．若有7个零点，则的取值范围为 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北十堰·期末）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高二下·安徽·期中）若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知函数若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山东德州·月考）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 （多选）10．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 （多选）11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图像关于轴对称 B．若，则 C．的最小值为 D．若关于的方程有两个不同的解，则 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 13．（2026·福建厦门·二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 14．（25-26高一下·云南玉溪·期中）已知函数，若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是__________． 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 16．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知函数，， (1)若是奇函数，求a的值； (2)在（1）的前提下，证明：在上仅一个零点，且； (3)设函数，，若对，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 17．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知函数满足，满足，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的最小值； (3)若关于的方程在上有两个不同实数根，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·河北·期末）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若是的零点，证明：． 19．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的函数，定义域为 (1)当时，求函数的零点； (2)若函数有零点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的零点与方程的解 题型一 函数零点所在区间的判定 2 题型二 函数零点个数的判定 7 题型三 根据函数零点求参数 14 题型四 复合函数零点问题 22 课时精练 32 【基础回顾】 知识点1：函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点。 （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点。 （3）函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解。 知识点2：二分法 对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。 【必备知识】 若连续不断的函数f（x）是定义域上的单调函数，则f（x）至多有一个零点。 题型一 函数零点所在区间的判定 确定函数零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间（a，b）内必有零点。 （2）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断。 【例题精讲】 1．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 2．（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为奇函数求出b的值，继而求出函数的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数的零点，则整数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解. 【详解】和均为单调递增函数， 所以在上也为单调增函数， 因为， 所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上， 所以. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 7．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C （多选）8．（25-26高一上·山东淄博·期中）下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．函数的零点所在区间是 C．函数且的图像过定点 D．函数的定义域为，则的定义域为 【答案】CD 【分析】利用作差法可判断A选项；利用零点存在定理可判断B选项；利用指数函数的基本性质可判断C选项；利用抽象函数求定义域的原则可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 则， 无法判断的符号，故无法判断的符号，A错； 对于B选项，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，，故函数在区间上无零点，B错； 对于C选项，对于函数且，， 即函数的图像恒过定点，C对； 对于D选项，因为函数的定义域为，则对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，D对. 故选：CD. （多选）9．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C．函数在区间上存在零点 D．若，，，则的最小值为4 【答案】ACD 【详解】对于A，由函数的定义域为， 令，得，则函数的定义域为，故A正确； 对于B，由对一切实数x恒成立， 则，解得， 所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，故B错误； 对于C，因为函数在上连续，且， 则，根据零点存在性定理， 函数在区间上存在零点，故C正确； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，判断的正负，证明区间上存在零点，由此判断结论. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 所以在单调递增，即最多有一个零点. ，， ， 因为函数在单调递增，所以， 因为函数在区间上连续且单调递增，，， 故函数在区间上存在唯一零点， 又，， 所以区间，内存在的零点，在区间和上都没有零点， 故选：BC. 题型二 函数零点个数的判定 求解函数零点个数的基本方法 （1）直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f（x）有多少个零点。 （2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等。 （3）图像法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数。 【例题精讲】 1．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增； ，单调递减， 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 2．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，， ， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图像如下图所示， 结合图像可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图像， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图像交点个数为4，故方程有4个实数根． 4．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 5．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数的图像经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可求出的值，由可得，作出函数与的图像，数形结合可得出函数的零点个数. 【详解】根据题意，设，则，即， 所以，解得，所以， 由可得， 作出函数与的图像如图所示： 由图可知，函数与有且只有三个交点， 故函数的零点个数为. 6．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及单调性分析即可. 【详解】由，则， 所以， 所以函数关于直线对称， 由， 即， 因为是上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数最小正周期为8， 由在上单调递增，根据函数对称性知在上单调递减， 由，，， 所以当时，函数与函数大致图像为：        所以与函数交点个数为2个. 7．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】等价于函数与函数的交点个数进行求解． 【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点， 当时，有两个交点， 当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个． （多选）8．（2026·江西上饶·二模）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A．对于，有 B．是单调函数 C．方程有无数组解 D．方程共有个不等的实数根 【答案】AC 【详解】A选项：设，，其中，分别是，的整数部分，，分别是，的小数部分， 则，，所以，故A正确； B选项：当时，此时，函数为常函数，故B错误； C选项：当，，，，……均满足故C正确； D选项：由，得，则． 当时，，此时； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得； 当时，，代入原方程，得，即，不符合题意； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得， 综上，原方程共有个不同的实根，故D错误． （多选）9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以4为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有4个零点 【答案】BC 【分析】根据函数的性质求函数的周期可判断A的真假；探究与的关系判断B的真假；根据函数的周期性求函数值，判断C的真假；分别作出函数与的草图，数形结合，根据两函数图像交点的个数，判断函数的零点个数，判断D的真假. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图像关于直线对称. 所以， 所以. 所以函数是周期为8的周期函数，所以选项A错误； 因为，，所以，所以函数的图像关于点中心对称，故选项B正确； 因为函数是周期为8的周期函数，所以， ，所以，故选项C正确； 当时，，所以. 由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 作出函数与函数的图像，如图所示： 可知两个函数的图像有3个交点，因此函数有3个零点，所以选项D错误. 故选：BC （多选）10．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数，则（    ）． A．， B．在上单调递增 C．是偶函数 D．函数有3个零点 【答案】BD 【分析】根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性、偶函数的定义、函数零点的定义、数形结合思想逐一判断即可. 【详解】依题意，．作出其函数图像如下: 对于A，，，故A错误； 对于B，在上单调递增，故B正确； 对于C，设，则， 所以是奇函数，故C错误； 对于D，的零点个数即与的图像的交点个数， 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图像，如图，观察可知， 两图像有3个交点，则有3个零点，故D正确． 故选：BD    题型三 根据函数零点求参数 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式确定参数（范围）。 （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围。 （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后利用数形结合法求解。 【例题精讲】 1．（2026·湖北荆门·模拟预测）设函数，若，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别得到函数和在定义域上的零点，根据题意，结合图像，列出关系式，即可求解. 【详解】由函数， 因为在定义域上单调增且零点为， 在定义域上单调减且零点为， 故与在定义域内函数值正负相反且零点重合， 如图所示，则，所以． 故选：C 2．（25-26高三上·上海·期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得函数为偶函数，结合已知条件得出，可求出的值，可得出函数的解析式，利用基本不等式可求得函数的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾， 由于函数有且只有一个零点，则该零点必为，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为， 因为方程无解，故，即实数的取值范围是. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故A正确. 故选：A 4．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 5．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图像，条件 恰有个零点可转化为直线与的图像恰有2个交点，结合图像求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图像，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图像恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 6．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 7．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图像，数形结合得到答案. 【详解】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图像如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. （多选）8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图像，结合图像逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图像，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图像有三个不同的交点． 结合图像可得，故A不正确． 对于B，由函数的图像可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图像可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图像，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． （多选）9．（2026·河北沧州·二模）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性的性质、对勾函数的单调性、基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数在区间上单调递减，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以此时，， 要想函数在区间上有两个不同的零点， 只需， 显然选项A正确； 由，选项B不正确； 因为，所以， 因为， 所以，因此选项C正确； 由， 由， 因为，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，因此选项D正确. （多选）10．（25-26高三上·甘肃张掖·月考）已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递增区间为 B．m的取值范围是 C． D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】分析可得在各段上的单调性，根据单调性的写法，可判断A的正误；由题意可得与图像有4个交点，作出图像，即可判断B的正误；根据二次函数的对称性，可判断C的正误，化简计算，可得，根据的范围及二次函数的性质，可判断D的正误. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，， 因为函数，图像开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，且. 选项A：的单调递增区间为，，不能用“”连接，故A错误； 选项B：因为关于的方程恰有4个不同的实数根， 所以与的图像有4个交点， 作出与的图像，如图所示： 由图像可得，当时，与图像有3个交点， 当时，与图像有3个交点， 当时，与图像有4个交点，故B正确； 选项C：根据二次函数的对称性可得，关于对称， 所以，即，故C正确； 选项D：由图像可得，，，即， 所以，解得， 所以， 由图像可得，所以， 所以故D正确. 故选:BCD. 题型四 复合函数零点问题 对于复合函数y＝f（g(x））的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； （2）确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui（i＝1,2,3，…，n）； （3）确定直线u＝ui（i＝1,2,3，…，n）与内层函数u＝g(x)图像的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f（g(x））的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 【例题精讲】 1．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图像可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图像如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 2．（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数，且函数恰有两个零点，则整数的取值的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，由可得或，则直线、与函数的图像的公共点的个数为，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由可得， 当时，可得，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，所以， 所以，可得或， 所以直线、与函数的图像的公共点的个数为，如下图所示： 由图可知，解得，故整数的可能取值有、、、，共个， 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，将原方程有4个根转化为与有1个交点，与有3个交点；或者与有2个交点，与有2个交点，再结合函数的单调性及值域判断可得. 【详解】由函数，当时，单调递增，值域为； 当时，，当时，单调递减，值域为 当时，单调递增，值域为.所以当时，.如图： 又由，令，则，解得. 要使原方程有4个不同实根， ①与有1个交点，与有3个交点； 所以且，即，符合题意； ②与有2个交点，与有2个交点. 当且，即，符合题意； 当且，因为，故不存在，不符合题意； 综上所述，或 故选：B 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数若方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程，得，即或.结合函数的图像，分析方程的实数根，即可得到方程的实数根的个数，从而得到实数的取值范围. 【详解】当时，，所以，所以， 所以令，得. 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，单调递增，且. 其图像如下： 由方程，得，所以或. 因为方程有且只有2个实数根， 所以若方程有3个不同的实数根，则有且只有一个实数根. 所以或. 故选：D. 5．（25-26高一上·湖北荆州·期末）设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围． 【详解】由题设，函数的图像如下图示， 令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且， 故由图知：，即的两个零点在区间和内， 而开口向上，故，可得． 故答案为：D 6．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知函数且函数恰有6个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】通过换元将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合的图像性质，确定二次方程需有一个根大于、另一个根小于，从而求出的取值范围. 【详解】定义域为且，且对定义域内任意，满足，所以是奇函数， 当且时，，，令得， 当时，，单调减区间为；当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由奇函数对称性可知，当时，在处取得极大值， 据此得到大致图像如图 设，则即， 要使恰好有个零点，则方程需有两个根且满足每个值对应个， 由图像可知，当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解； 当时，有个解；当时，有个解. 则若恰有个零点，则方程的两个根（不妨设）， 应满足，， 设，则，解得， 故选：D. 7．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图像共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，，， 作出函数的图像如下图所示： 由图可知，直线与函数的图像有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图像有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·河南·期末）设函数，集合，则下列结论正确的有（    ） A．当时，中有3个元素 B．中不可能恰有1个元素 C．若中恰有2个元素，则不可能为负数 D．若（），则 【答案】AD 【分析】本题考查分段函数的性质．画出的大致图像.对于A，当时，，解方程后结合图像可知集合，从而判断A；对于B，令，得，此时解方程后结合图像可知集合，从而判断B；对于C，令，则有，由，解得，则，，举反例说明为负数时，中恰有2个元素，从而判断C；对于D，由于，故，至少有一个为负值，不妨设，则方程的根只有1个，为，方程有3个根，根据对应的函数解析式可得结果，可判断D． 【详解】画出的大致图像如下： 对于A，当时，，解得或0， 由函数的解析式结合图像可知，此时，2或3，故，故A正确； 对于B，，令，得， 令，解得，此时，即时，中恰有1个元素，故B错误； 对于C，若中恰有2个元素，令，则有， 由，解得，则，， 当时，，， 此时，，满足题意，此时为负数，故C错误； 对于D，由于，故，至少有一个为负值，不妨设， 则方程的根只有1个，记为， 方程有3个根，由图知，这3个根分别为， 则，，故， 又， 故，得， 则，故D正确． 故选：AD. （多选）9．（25-26高一上·山西大同·期末）已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是（   ） A．函数零点个数为 B．实数的取值范围为 C．函数无最值 D．函数在区间上递增 【答案】BC 【分析】解方程，可判断A选项；数形结合可判断CD选项；令，则，令，分析可知在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，可判断B选项. 【详解】对于A选项，当时，由可得，符合题意， 当时，由，可得或，解得或，符合题意， 综上所述，函数的零点个数为，A错； 对于CD选项，作出函数的图像如下图所示： 由图可知，函数既无最大值，也无最小值，C对； 函数在上递减，在上递增，故函数在上不单调，D错； 对于B选项，令，则，令， 因为关于的方程有个不同的实数根， 所以函数必有两个不等的零点，设这两个零点分别为、，且， 则关于的方程、各有个不同的实数根， 所以，即函数在上有两个不等的零点， 所以，解得，即实数的取值范围是，B对. 故选：BC. （多选）10．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．有2个零点 B．的单调递减区间为 C．若，则有6个零点 D．若有7个零点，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】易知当时，；当时，令，可得，所以只有一个零点，所以可判断A错误；由，得，所以.由此可求得的单调递减区间，判断B；若，分析的零点，并根据零点的取值，判断的零点个数，判断C；分析不同取值情况下，的零点个数，得出当有7个零点时，的取值范围，判断D. 【详解】当时，单调递增，所以，所以无零点； 当时，由，得，所以有一个零点. 所以函数有且只有一个零点，所以A错误． 由，得，所以. 所以的单调递减区间为，所以B正确． 的图像如图所示．若，由，得， 由图可知有3个零点； 若等价于. 令，则. 因为时，，或或， 所以结合图可知有两根，且. 所以有3个根，有3个根，所以有6个零点；所以C正确； 若，由图可知有3个根或或. 因为有1个根，有3个根，有3个根，所以有7个零点； 若，由图可知有3个根， 且， 而有2个根，有2个根，有3个根，所以有7个零点； 若，由图可知有2个根或， 而有2个根，有2个根，所以有4个零点． 综上可知，所以D正确． 故选：BCD. 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北十堰·期末）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由零点存在性定理，即若有，则存在零点，分别代入选项中的端点值并判断的正负，即可判断方程的根所在区间. 【详解】设，因为在上递增， ， 由零点存在性定理，可得的零点所在区间是， 即方程的根所在区间是， 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求分段函数的零点，令每段等于0解方程，取符合每段范围的的值即可． 【详解】当时，令，得（舍去）或（舍去）； 当时，令，得； 所以零点有1个. 故选：B. 3．（25-26高二下·安徽·期中）若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根. 当时，，只有一个零点，不符合题意，所以. 当时，方程等价于. 令，则问题转化为直线与函数的图像有两个不同的交点. 求导得：.令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值.当时，；当时，.函数的图像大致如下： 由图像可知，当直线与函数的图像有两个不同的交点时， 需满足. 当时，直线与图像只有一个交点； 当时，直线与图像最多一个交点； 当时，直线与图像无交点. 故实数的取值范围为. 4．（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图像，结合直线与函数 图像的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得. 【详解】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图像，对称轴为.    要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图像关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A 5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出分段函数图像，然后利用数形结合，结合韦达定理先得出，再由对数函数性质得出，所求式子可化为，换元后利用函数单调性求范围. 【详解】作函数的大致图像，如图， 当时，，即，化简可得， 所以，所以， 当时，又，即， 则，则， 由图形可知，即，解得， 令，又在上单调递增，所以， 故的取值范围是. 6．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知函数若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图像，由图像可得，根据对数运算性质可得，再由指数函数性质结合二次函数性质计算可解. 【详解】作出函数的图像如图所示， 则， 所以，，，， 由，得，得， 所以，， 于是， 又，，所以， 即的取值范围是. 7．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图像，结合图像和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图像如图所示： 由图可知，直线与函数的图像有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图像有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 8．（25-26高一下·山东德州·月考）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设元将问题转化为两个一元二次方程根的问题，用韦达定理求解. 【详解】令，函数的图像如下： 当时，方程有两个解，此时， 当时，方程有两个解，此时， 所以要使有4个解，则， 方程，即，由韦达定理， 方程，即，由韦达定理， 所以. 二、多选题 （多选）9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出的图像，根据单调性可判断B；根据上的最小值可判断C；根据奇函数图像的对称性可判断D. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上可得， 所以，故A正确； 画出函数的图像，如图， 当时，单调递增，故当时，有，故B错误； 由图像可知，当时，的最小值为4，则，故C正确； 因为函数和均是定义域为的奇函数， 故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称， 所以所有实数根之和为零，故D正确. （多选）10．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知函数，若方程的四个由小到大的实数根分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】做出函数图像，即可得的取值范围，然后求出方程的四个实数根，逐项分析即可. 【详解】做出函数图像： 由图像可知：，故A正确； 对于B：，所以， 即， 所以，， 所以，故B正确； 对于C：因为满足，所以， 所以，因为，所以，则，故C错误； 对于D： ， 当且仅当时，等号成立，此时取到最大值，故D正确. 【点睛】通过分段函数把方程的根拆分到两段函数中分别求解，再借助换元法求值或均值不等式求最值. （多选）11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图像关于轴对称 B．若，则 C．的最小值为 D．若关于的方程有两个不同的解，则 【答案】BCD 【分析】判断出函数奇偶性可判断A错误，利用复合函数单调性可知单调递增，可判断B正确，利用基本不等式计算可得C正确，根据函数与方程的思想结合图像变换，由图像交点个数可判断D正确. 【详解】对于A，易知函数的定义域为，且满足， 所以函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，即A错误； 对于B，易知函数为单调递增函数，则单调递增， 所以当时，即，可得， 即，可得B正确； 对于C，易知， 当且仅当时，即时，等号成立，即C正确； 对于D，因为，所以，结合已有分析可知函数的值域为，其图像如下图： 易知图像是将的图像向下平移个单位，再将轴以下的部分作关于轴对称的图像并保留轴以上的部分，如下图： 由上图可知与函数有两个交点时，满足题意，即，即D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得和时，没有零点的的取值范围，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 13．（2026·福建厦门·二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图像恰有两个交点. ①当恒成立，即 时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由 . 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 14．（25-26高一下·云南玉溪·期中）已知函数，若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题可利用数形结合，先画出分段函数的图像，将函数有四个不同的零点的问题，转化为函数与有四个不同的交点，可得出的范围；再根据函数性质及对数函数的性质，化简目标表达式，最后利用函数单调性求出取值范围. 【详解】解：令，则， 由函数有四个不同的零点，则方程有四个不同的解， 即函数与有四个不同的交点. 当时，，易知对称轴为，顶点为， 结合图像可知，方程有四个不同解时，， 因为，所以根据二次函数对称性可知，， 当时，由时，或， 由函数图像可知，，，， 则，所以，因此，，， 所以，当且仅当， 即时等号成立，此时取最小值为，又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以的取值范围为. 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 16．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知函数，， (1)若是奇函数，求a的值； (2)在（1）的前提下，证明：在上仅一个零点，且； (3)设函数，，若对，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（1）由奇函数定义 ，代入化简得 对任意 成立，故 . （2）先由单调性和零点定理得唯一零点 ,再由 代换得 ,结合 即得 . （3），问题转化为 在 上单调且值域包含 ，且对每个 有唯一解. 由对称轴位置分类讨论，得 或 . 【详解】（1）由题意：，且， 所以， 所以． （2）和在上均为增函数，故在上单调递增， 又，， 由零点的存在性定理可知，，使， 即， 则， 又，故. （3）由题意 在 上单调递增,故 ， 所以 的值域包含 ,且对 总存在唯一 使得. 若 即 时, 解得 ， 若 即 时, 解得 ， 若 即 时 或 ， 解得 ， 综上所述: 的取值范围为 或 . 17．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知函数满足，满足，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的最小值； (3)若关于的方程在上有两个不同实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用换元法求解，令解得，代入，从而得到．由，分别按照和 讨论求出. （2）根据奇函数的定义求出的奇偶性结合在上恒成立，得到在上恒成立，利用在上单调递增，得到，即在上恒成立，利用二次函数的图像和性质得到的最小值． （3）分别按照和讨论求解，当时，方程在上有两个不同实数根等价于方程在上有两个不同实数根，构造函数，求出的范围，求出，设，设，利用的单调性得到实数的取值范围． 【详解】（1）， 令，则，所以，故． 由得， 当时，， 当时，，故， （2）的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，则在上恒成立， 因为函数在上均为单调递增函数，所以在上单调递增， 因此，所以在上恒成立， 因为，故，所以实数的最小值为． （3）当时，方程变为，所以．当时，，只有一解，不符合题意； 当时，方程在上有两个不同实数根等价于方程在上有两个不同实数根， 令，则， 所以， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使方程在上有两个不同实数根， 则函数与直线在上有两个不同的交点， 所以， 故实数的取值范围为． 18．（25-26高一上·河北·期末）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若是的零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用列方程组法求解函数的解析式即可； （2）先由零点存在定理求得，由函数的零点定义可得，利用作差比较法和基本不等式即可证明结论. 【详解】（1）由，① 可得，② ②2①，得 ， 则． （2）由（1）可知，显然是上的增函数． 因为，由零点存在定理，可得． 由，得，则， 由． 因为，所以．则，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，则， 则． 19．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的函数，定义域为 (1)当时，求函数的零点； (2)若函数有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求解出对应的值，则零点可知； （2）将问题转化为“在上有解”，根据对勾函数的单调性求解出的值域，则的取值范围可知. 【详解】（1）当时，，， 令，则，则， 所以或(舍)，解得， 所以的零点为； （2）由题意可知，在上有解， 令，则在上有解， 则在上有解，即在上有解， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，所以. 所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的零点与方程的解 题型一 函数零点所在区间的判定 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】CD 9．【答案】ACD 10．【答案】BC 题型二 函数零点个数的判定 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】AC 9．【答案】BC 10．【答案】BD 题型三 根据函数零点求参数 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】BCD 题型四 复合函数零点问题 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】AD 9．【答案】BC 10． 【答案】BCD 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 11．【答案】BCD 12．【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得和时，没有零点的的取值范围，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 13．【答案】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图像恰有两个交点. ①当恒成立，即 时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由 . 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时， 恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 14．【答案】 【分析】本题可利用数形结合，先画出分段函数的图像，将函数有四个不同的零点的问题，转化为函数与有四个不同的交点，可得出的范围；再根据函数性质及对数函数的性质，化简目标表达式，最后利用函数单调性求出取值范围. 【详解】解：令，则， 由函数有四个不同的零点，则方程有四个不同的解， 即函数与有四个不同的交点. 当时，，易知对称轴为，顶点为， 结合图像可知，方程有四个不同解时，， 因为，所以根据二次函数对称性可知，， 当时，由时，或， 由函数图像可知，，，， 则，所以，因此，，， 所以，当且仅当， 即时等号成立，此时取最小值为，又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以的取值范围为. 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 16．【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（1）由奇函数定义 ，代入化简得 对任意 成立，故 . （2）先由单调性和零点定理得唯一零点 ,再由 代换得 ,结合 即得 . （3），问题转化为 在 上单调且值域包含 ，且对每个 有唯一解. 由对称轴位置分类讨论，得 或 . 【详解】（1）由题意：，且， 所以， 所以． （2）和在上均为增函数，故在上单调递增， 又，， 由零点的存在性定理可知，，使， 即， 则， 又，故. （3）由题意 在 上单调递增,故 ， 所以 的值域包含 ,且对 总存在唯一 使得. 若 即 时, 解得 ， 若 即 时, 解得 ， 若 即 时 或 ， 解得 ， 综上所述: 的取值范围为 或 . 17．【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用换元法求解，令解得，代入，从而得到．由，分别按照和 讨论求出. （2）根据奇函数的定义求出的奇偶性结合在上恒成立，得到在上恒成立，利用在上单调递增，得到，即在上恒成立，利用二次函数的图像和性质得到的最小值． （3）分别按照和讨论求解，当时，方程在上有两个不同实数根等价于方程在上有两个不同实数根，构造函数，求出的范围，求出，设，设，利用的单调性得到实数的取值范围． 【详解】（1）， 令，则，所以，故． 由得， 当时，， 当时，，故， （2）的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，则在上恒成立， 因为函数在上均为单调递增函数，所以在上单调递增， 因此，所以在上恒成立， 因为，故，所以实数的最小值为． （3）当时，方程变为，所以．当时，，只有一解，不符合题意； 当时，方程在上有两个不同实数根等价于方程在上有两个不同实数根， 令，则， 所以， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使方程在上有两个不同实数根， 则函数与直线在上有两个不同的交点， 所以， 故实数的取值范围为． 18．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用列方程组法求解函数的解析式即可； （2）先由零点存在定理求得，由函数的零点定义可得，利用作差比较法和基本不等式即可证明结论. 【详解】（1）由，① 可得，② ②2①，得 ， 则． （2）由（1）可知，显然是上的增函数． 因为，由零点存在定理，可得． 由，得，则， 由． 因为，所以．则，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，则， 则． 19．【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求解出对应的值，则零点可知； （2）将问题转化为“在上有解”，根据对勾函数的单调性求解出的值域，则的取值范围可知. 【详解】（1）当时，，， 令，则，则， 所以或(舍)，解得， 所以的零点为； （2）由题意可知，在上有解， 令，则在上有解， 则在上有解，即在上有解， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，所以. 所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $