2.7 对数与对数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕对数与对数函数高考核心考点，涵盖对数概念、运算性质、换底公式、对数函数图象及单调性等内容，按“课标要求-考情分析-知识点梳理-考点突破”逻辑架构，通过考点自练自悟、师生共研、真题讲解等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破运算与单调性应用难点。 资料采用多维探究与分层练习结合的创新设计，如在对数函数图象识别中，引导学生利用特殊点排除法培养逻辑推理能力，通过A级基础、B级能力、C级拓广练习分层提升数学运算素养。设置全国甲卷真题解析等实战环节，确保学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2．7　对数与对数函数 课标要求 考情分析 1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． ◎考点考法：高考命题常以考查对数的运算性质为主，考查学生的运算能力；对数函数的单调性及应用是考查热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．换底公式及其推论 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2) ＝logab. (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 3．如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．计算：2lg －lg 4＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg 5 解析　原式＝lg ()2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 答案　B 2．如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是(　　) A．0＜c＜b＜1＜a B．0＜b＜c＜1＜a C．1＜b＜c＜a D．1＜c＜b＜a 解析　作直线y＝1(图略)，则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数，可得0＜c＜b＜1＜a. 答案　A 3．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 解析　因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2<π<，所以c>b>1.又a＝log32<1，所以a<b<c.故选A． 答案　A 4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析　当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2). 答案　(2，2) 5．函数f(x)＝的定义域为________． 解析　要使函数f(x)＝有意义，只需即解得x≥2，所以函数f(x)的定义域为[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 考点一　对数的运算　基础考点　自练自悟 1．已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25. 又b＝log83＝＝log23， 所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4， 所以，故选C. 答案　C 2．若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　) A．－1 B． C． D．1 解析　由2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510， ∴＝lg 2，＝lg 5， ∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 答案　D 3．计算：＝________． 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝1. 答案　1 4．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 解析　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝26＝64. 答案　64 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍数化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 考点二　对数函数的图象及应用　重难考点　师生共研 (1)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． [解析]　(1)当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B、D错误；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，A正确． (2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. [答案]　(1)A　(2) 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象可能是(　　) 解析　∵lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)， ∴ab＝1，∴a＝， ∴g(x)＝logx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝logx互为反函数， ∴函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性． 答案　B 2．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 解析　∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，由图知，在区间[a2，b]中，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2， ∴a＝，∴b＝2，∴＋b＝4. 答案　4 考点三　对数函数的性质及应用　多维探究　发散思维 角度1　比较对数值的大小 (1)已知实数a＝log23，b＝log，c＝log3，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a (2)已知0＜＜a＜1，则logba，logab，loga，－1，1，0的大小关系是________．(用“＜”连接) [解析]　(1)因为a＝log23＞1，b＝log＝log32∈(0，1)，c＝log3＝－log32＜0， 所以a＞b＞c. (2)∵0＜＜a＜1，∴0＜a＜1，b＞1，∴loga＞logaa＝1，－1＝logb＜logba＜logb1＝0， 即loga＞1，－1＜logba＜0，∴logab＜－1， ∴logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga. [答案]　(1)A　(2)logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga 比较对数式大小的常见类型及解题方法 角度2　解对数方程或不等式 (1)若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C． D．(0，1)∪(1，＋∞) (2)方程lg (x2－x－2)＝lg (6－x－x2)的解为________． [解析]　(1)由题意得a＞0且a≠1，又a2＋1＞2a，loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，所以＜a＜1.故a的取值范围是. (2)由题意及对数函数的性质，得x2－x－2＝6－x－x2，解得x＝±2.又x2－x－2＞0且6－x－x2＞0，解得x＝－2. [答案]　(1)C　(2)x＝－2 解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 角度3　对数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． [解析]　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3， 即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. 对数函数性质的应用 利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 1．设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. 答案　A 2．设函数f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B．是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， g(x)在(－∞，－3)和(0，3)上单调递减； 在(－3，0)和(3，＋∞)上单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间． 由f(－x)＝ln |(－x)2－9|＝ln |x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数． 答案　A 3．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析　令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－， 欲使函数f(x)＝loga有最小值， 则有解得1＜a＜， 即实数a的取值范围为(1，). 答案　(1，) A级　基础过关 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x B． C．logx D．2x-2 解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x. 答案　A 2．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 解析　∵a＝＝|－lg 4|＝lg 4，b＝＝|－lg 2|＝lg 2，c＝|lg 3|＝lg 3，且f(x)＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，∴lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C. 答案　C 3．函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．0 解析　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝2－≥－.当x＝时，函数取得最小值．故选A． 答案　A 4．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞1 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 解析　由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1. 答案　BC 5．(多选)已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的最大值为0 D．f(x)在区间(－1，1)上单调递增 解析　函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，由f(－x)＝log2(1－|－x|)＝log2(1－|x|)＝f(x)，得f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；根据f(x)的图象(图略)可知D错误；因为1－|x|≤1，所以f(x)≤log21＝0，故C正确． 答案　BC 6．计算：________． 答案　10 7．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为________． 解析　当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 答案　(－∞，－3)∪(3，＋∞) 8．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)＝________． 解析　f(x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，因此f(x)＝ln |x|符合题意． 答案　ln |x|(答案不唯一) 9．已知f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在上的值域． 解析　(1)由f(2)＝2得，loga2＋loga(4－2)＝2，解得a＝2，所以f(x)＝log2x＋log2(4－x). 由解得0＜x＜4， 故f(x)的定义域为(0，4). (2)由(1)及条件知f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]＝log2[－(x－2)2＋4]， 设t(x)＝－(x－2)2＋4，x∈， 则当x＝2时，t(x)max＝4； 当x＝1时，t(x)＝3；当x＝时，t(x)＝， 所以当x∈时，t(x)∈， 所以f(x)max＝log24＝2， f(x)min＝log2＝log27－2， 所以f(x)在上的值域为[log27－2，2]. B级　能力提升 10．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D． 解析　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，因为M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 答案　A 11．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 解析　令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0，则x＝2t，y＝3t，z＝5t， 令g(k)＝kt，由幂函数图象的性质可知， 当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z； 当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确； 假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t， 则t＝0，与已知矛盾，故C错误； 因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即＋＝1， 令f(t)＝＋－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数， 注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即＋＝1只有一个解t＝1， 所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确． 答案　D 12．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3). (1)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (2)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，求实数a的取值范围． 解析　(1)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]， ∴f(x)max＝－1，又f(x)＝log(x2－2ax＋3)， 而函数f(x)的定义域为R，∴u＝x2－2ax＋3的最小值umin＝2. 而u＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， ∴3－a2＝2，解得a2＝1，即a＝±1， ∴实数a的值为1或－1. (2)∵f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，－1]上为增函数，函数y＝logu在u∈(0，＋∞)上是减函数，∴函数u＝x2－2ax＋3在(－∞，－1]上为减函数且u＞0， ∴解得即a≥－1， 故实数a的取值范围为[－1，＋∞). C级　拓广探索 13．(多选)(2025·广东佛山模拟)对于任意两个正数u，v(u<v)，记曲线y＝与直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L(u，v)，并约定L(u，u)＝0和L(u，v)＝－L(v，u)，德国数学家莱布尼茨(Leibniz)最早发现L(1，x)＝ln x．关于L(u，v)，下列说法正确的是(　　) A．L＝L(4，8) B．L(450，3100)＝100L(2，3) C．2L(u，v)<－ D．L(uu，vu)>v－u 解析　由题意得L(1，x)＝－L(x，1)＝ln x， 所以L(x，1)＝－ln x. 当u>1时，L(u，v)＝L(1，v)－L(1，u)＝ln v－ln u； 当v<1时，L(u，v)＝L(u，1)－L(v，1)＝L(1，v)－L(1，u)＝ln v－ln u； 当u<1<v时，L(u，v)＝L(u，1)＋L(1，v)＝L(1，v)－L(1，u)＝ln v－ln u； 当v＝1或u＝1时，L(u，v)＝ln v－ln u也成立． 综上所述，L(u，v)＝ln v－ln u. L＝ln －ln ＝ln 2， L(4，8)＝ln 8－ln 4＝ln 2，所以L＝L(4，8)，A正确； L(450，3100)＝ln 3100－ln 450＝ln 3100－ln 2100＝100(ln 3－ln 2)， 且L(2，3)＝ln 3－ln 2，所以L(450，3100)＝100L(2，3)，B正确； 如图，因为S阴影<S梯形，所以L(u，v)＝ln v－ln u<(v－u)＝·＝， 即2L(u，v)<－，C正确； 取u＝1，v＝2，则L(uu，vu)＝L(1，2)＝ln 2<2－1＝1，D错误． 答案　ABC 14．(2025·南昌二中阶段练习)已知函数f(x)＝，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)若函数y＝g(x2－2tx＋1)在(1，＋∞)上单调递减，求实数t的取值范围； (2)不等式g(a2x)<2g(x＋2a－6)在x∈[4，9]上恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)依题意g(x)＝logx， y＝g(x2－2tx＋1)＝log(x2－2tx＋1)在(1，＋∞)上单调递减， 令h(x)＝x2－2tx＋1，则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，且h(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立． ∴t≤1且h(1)＝1－2t＋1≥0，∴t≤1.故t的取值范围为(－∞，1]. (2)依题意有4a2>0，且4＋2a－6>0，∴a>1. 不等式log(a2x)<2log(x＋2a－6)在[4，9]上恒成立， 即a2x>(x＋2a－6)2在[4，9]上恒成立， ∴a>x＋2a－6，即(－2)a>x－6在[4，9]上恒成立，当x＝4时不等式成立，当x∈(4，9]时，－2>0，∴a>在(4，9]上恒成立， ∴a>， 令－2＝m，m∈(0，1]， 则＝＝m－＋4， 而y＝m－＋4在(0，1]上单调递增， ∴＝3，∴a>3. 综上，a的取值范围为(3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．7　对数与对数函数 课标要求 考情分析 1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． ◎考点考法：高考命题常以考查对数的运算性质为主，考查学生的运算能力；对数函数的单调性及应用是考查热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．换底公式及其推论 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2) ＝logab. (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 3．如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．计算：2lg －lg 4＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg 5 2．如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是(　　) A．0＜c＜b＜1＜a B．0＜b＜c＜1＜a C．1＜b＜c＜a D．1＜c＜b＜a 3．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________． 5．函数f(x)＝的定义域为________． 考点一　对数的运算　基础考点　自练自悟 1．已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 2．若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　) A．－1 B． C． D．1 3．计算：＝________． 4．(全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________． 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍数化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 考点二　对数函数的图象及应用　重难考点　师生共研 (1)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．已知lg a＋lg b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象可能是(　　) 2．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 考点三　对数函数的性质及应用　多维探究　发散思维 角度1　比较对数值的大小 (1)已知实数a＝log23，b＝log，c＝log3，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a (2)已知0＜＜a＜1，则logba，logab，loga，－1，1，0的大小关系是________．(用“＜”连接) 比较对数式大小的常见类型及解题方法 角度2　解对数方程或不等式 (1)若loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C． D．(0，1)∪(1，＋∞) (2)方程lg (x2－x－2)＝lg (6－x－x2)的解为________． 解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 角度3　对数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． 对数函数性质的应用 利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 1．设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a 2．设函数f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B．是奇函数，且在(－3，3)上单调递减 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(－3，3)上单调递增 3．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． A级　基础过关 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x B． C．logx D．2x-2 2．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 3．函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．0 4．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞1 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 5．(多选)已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的最大值为0 D．f(x)在区间(－1，1)上单调递增 6．计算：________． 7．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为________． 8．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)＝________． 9．已知f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在上的值域． B级　能力提升 10．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D． 11．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 12．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3). (1)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (2)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，求实数a的取值范围． C级　拓广探索 13．(多选)对于任意两个正数u，v(u<v)，记曲线y＝与直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L(u，v)，并约定L(u，u)＝0和L(u，v)＝－L(v，u)，德国数学家莱布尼茨(Leibniz)最早发现L(1，x)＝ln x．关于L(u，v)，下列说法正确的是(　　) A．L＝L(4，8) B．L(450，3100)＝100L(2，3) C．2L(u，v)<－ D．L(uu，vu)>v－u 14．已知函数f(x)＝，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)若函数y＝g(x2－2tx＋1)在(1，＋∞)上单调递减，求实数t的取值范围； (2)不等式g(a2x)<2g(x＋2a－6)在x∈[4，9]上恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $