2.7 对数与对数函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

第二章函数 §2.7对数与对数函数 ★[考试要求] 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实 例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函 数y=a”与对数函数y=log。x(a>0,且a≠1)互为反函数. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 续表 1.对数 a>1 0<a<1 如果a=N(a>0,且a≠1)，那么x叫做以a 定义域： 为底数N的 ,记作x=logN,其中 值域：R 概念 a叫做对数的底数，N叫做真数，logN叫 做对数式 过定点 性 对数式与指数式的互化：a=N台x= 质 当x>1时，y>0: 当x>1时，y<0: log.N(a>0,且a≠1) 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 性质 在(0，+∞) 在(0，+∞) log1=0,log a=1,alR,N (a>0,且 上是 上是 a≠1) log。(MN)= [注意]y=logx(a>0且a≠1)的图象只在 a>0, 第一、四象限.在直线x=0的右侧. 运算 且a≠1， M 法则 loga N M>0, 3.反函数 N>0 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数 logM"=nlog,M(n∈R) (a>0,且a≠1)互为反 log2(a>0,且a≠1，c>0,且c≠1， 函数，它们的图象关于直线 对称. 换底1ogb loga 公式 知识拓展用活 b>0) 1.log,6.loga=1,log6"="log,b. [注意]在运算性质log.M”=logM中，要 m 特别注意条件，在无M>0的条件下应为log。 2.如图给出4个对数函数的图象 y=logax M"=nlog。|M(n∈N*,且n为偶数). y=logx -y=1 2.对数函数的图象与性质 -y=logx a>1 0a1 y=logax 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限，不同 y↑x=1 y=log x 的对数函数图象从左到右底数逐渐增大 图 (1,0) 07(1,0) 3.对数函数y=log.x(a>0且a≠1)的图象恒 y=log 过点1,0.a,日-月 ·35· 高考总复习数学 自主诊断查验 (4)函数y=logx与y=l1og+的图象重合. 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 或“X”) 2.已知a>0,a≠1，函数y=a与y=log。(一x) (1)若MN>0,则log,(MN)=logM+log,N. 的图象可能是 ( (2)对数函数y=log。x(a>0,且a≠1)在 (0,十∞)上是增函数 折张 (3)函数y=1og吉与函数y=log.1十 3.计算：(1og29)·(log34) 1og(1一x)是同一个函数. 4.若对数函数f(x)的图象经过点(4,2)，则它 的反函数g(x)的解析式为 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 对数式的运算 天狼星的星等是一1.45，则太阳与天狼星的 亮度的比值为 () [例1] (1)[多选]下列等式成立的是( A.1010.1 B.10.1 A.1g2+g5-1g8-1 lg50-1g40 C.lg10.1 D.1010.1 B结-之 2.[多选]已知a,b均为正实数，若logb十loga a=,则号 C.lg 14-2lglg 7-g18-0 D.(Ig 2)2+1g 2.Ig 5+1g 5=2 A号 B② 2 (2)已知1.8=3，y=1og23,则1-1 C.2 D.2 y 题型2 对数函数的图象及应用 [例2] (1)[多选]已知函数f(x)=lnx, 规律方法 g(x)=lgx,若f(m)=g(n),则下列结论可 对数运算的一般思路 能成立的为 ( (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进 A.m=n B.n<m<1 行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的 C.m<1<n D.1<m<n 底数最简，然后利用对数运算性质化简 合并. (2)若方程4=log x在 0,2 上有解，则实 (2)合：将对数式化为同底数对数的和、 数a的取值范围为 差、倍数运算，然后逆用对数的运算 规律方法 性质，转化为同底对数真数的积、商、 对数函数图象的识别及应用方法 幂的运算 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函 日跟踪训练 数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标 1.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或 轴的交点、最高点、最低点等)排除不符 亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 合要求的选项. 5, (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为 mg其中星等为m:的星 相应的函数图象问题，利用数形结合法 度为E(k=1,2).已知太阳的星等是一26.7， 求解 ·36 第二章函数 跟踪训练 规律方法 1.若0<a<1,则函数y=1og。(|x|一1)的图 (1)比较对数值的大小的方法 象可能是 ①若底数为同一常数，则可由对数函数 平 的单调性直接进行判断；若底数为同一 字母，则需对底数进行分类讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换 2.设x1,x2,x3均为实数，且e1=lnx1,e 底公式化为同底后，再进行比较； =ln(x2十1)，e=lgx3,则 ( ③若底数与真数都不同，则常借助1,0 A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 等中间量进行比较. C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3 (2)解对数不等式的类型及方法 ①形如logx>logb的不等式，借助y 题型3 对数函数的性质及应用 =logx的单调性求解，如果a的取值不 P[角度] 比较大小 确定，需分a>1与0<a<1两种情况 [例3-1] a=l0g20.7,b=logs 0.6,c= 讨论； 10g0.30.2,则 ②形如log。x>b的不等式，需先将b化 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 为以a为底的对数式的形式再进行 [角度2]解对数方程、不等式 求解 [例3-2] 已知对数函数y=log.x(a>0, (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问 题的步骤 a≠1)，且log (}1g(则关于x的 一求 求出函数的定义域 不等式log。(2x一3)>0的解集为 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1 两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函 [角度3]对数函数性质的综合应用 数“同增异减”的原则判断函数的单调性 log20, ①跟踪训练 [例3一3]设函数f(x)= 若 log5(-x),x<0. 1.(2025·全国一卷)已知2+1og2x=3十 f(a)>f(一a),则实数a的取值范围是 log3y=5十log之，则x,y,之的大小关系不可 ( 能是 () A.(-1,0)U(0,1) A.x>y>z B.>>y B.(-∞，-1)U(1,+∞) C.y>a>z D.y>> C.(-1,0)U(1,+∞) 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x十a) D.(-∞，-1)U(0,1) ln(x+b).若f(x)≥0.则a2+b的最小值 [角度4]利用对数函数单调性求参数的 为 () 取值范围 [例3-4]已知函数f(x)=log号(x2-ax-a) 对任意两个不相等的实数x1,x2∈ C.2 D.1 -∞，- 合)都满足不等式fu)二f) I2-I C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关12 0,则实数a的取值范围为 ·37高考总复习数学 跟踪训练 BC[对于A,1-3)-3=3=3t-5≠-3，所 以A错误：对于B(a)(-3)÷(号a） -9a景+÷吉，b位+片音=-9a(a>0,b>0),所以B正确； 对于C,√万=√9行=9时=3时=5，所以C正确： 对于D,因为(x十x1)2=x2+2十x2=4, 所以x十x1=士2，D错误.] 题型2 [例2](1)[解析]对于A,2a-3a十2=1且a>0,a≠1， a=合，A正确：对于B,不论0<a<1,还是a>l,值城都 为(0，十∞)，B错误；对于C,f(x)=a向左平移一个单 位得到f(x)=a+1,C错误；对于D,令2x十3=0，则x 名，y=0,所以画餐y=。-1恒过定点 (是0）小故D正确 [答案]AD (2)[解析]①当0<a<1时，y=a-1的图象如图1. 因为y=2a与y=|a-1的图象有两个交点，所以 1 0<2a<1,所以0<a<2 ②当a>1时，y=a-1的图象如图2，而此时直线y= 2a不可能与y=a-1的图象有两个交点.综上，a的 取值范围是0<a<之 2a y=2a 图1 图2 [答案] y y=2027 跟踪训练 y=2026 1.ABD[如图，观察易知a,b的关 系为a<b0或0<ba或a=b =0.] 2.A[由y=9=3x,根据平移法 0 则即可解出 因为y=9=32,所以将函数y=3”的图象上所有点的 機坐标变成原来的子倍，纵坐标不变，即可得到函数y 9的图象，故选：A.] 题型3 [例3-1][解析]A选项，(-2.5)=(2.5)，(-2.5) =(25,因为2.5>1，号>子又因为指数画数y 2.5在R上单调递增，所以(2.5)>(2.5)，即 (-2.5)>(-2.5)京，故A正确：B选项，(0.4)= (停)：因为0<号<1，-合>-名：又因为指数画 数y=(号)在R上单调递减，所以（得）< (04),故B正确：C选项，因为（兮）>1，（受） <1,所以（仔）>（受），故C错误：D选项，因为 2.56>1,202<1,所以2.56>202.故D正确. [答案]C 3 [例3-2】(1D[解析]将21≤（仔）】 化为x2十1≤ -2(x-2),即x2十2x-3≤0，解得x∈[-3,1]，所以2-3 ≤2≤2，所以函数y=2的值城是[合2] [答案]B (2)[解析]①当a<1时，由f(1-a)=f(a-1)得 4-=2-0-,即2-0=2，所以2-2a=1,解得a=号； ②当a>1时，由f(1-a)=f(a-1)得4"-1=2-1-， 即22a-2=2a-1,所以2a-2=2a-1,无解.综上可知，a = 1 21 [答案]之 [例3-3][解](1)由f(x)=g(x)-h(x)可知f(-x) =g(一x)一h(一x),由g(x)为奇函数，h(x)为偶函数， 可知g(-x)=-g(x),h(一x)=h(x), 则f(-x)=-g(x)-h(x), 则g(x)=fx）-f-2=。-a 2 2 (2)由(1)得)=-f)+f-2=-十a 2 2, 当a>0,且a≠1时，a>0,则a+a=a+1 a,1=2,当且仅当a=1,即x=0时取等号， 2a 故h(x)=一g2“一在R上的最大值为一1， 跟踪训练 1.D[由题意易得，号≥1，所以Q的取值范周是[2，十∞).] 2.ACD[对于函数f(x)= F22十a(aeR),令2-1≠ 0,解得x≠0， 所以f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，故A正确； 因为2>0，当2-1>0时22>0，所以22十a> 高-1K2-10时2-2所以22+a<-2+a, 2 综上可得f(x)的值域为（一∞，-2十a)U(a,十∞）， 故B错误； 当a=1时，f(x)= 2十1=2+出 2x-1 2*1 则f(-0=?1--f, 2x-12*-1 所以f(x)=2二中1为奇函数，故C正确3 当a=2时f)=2名十2=}十1. 2-1 刻-+”号+1十告1=2，成D 正确.门 §2.7对数与对数函数 复盘·必备知识必备知识掌握 1.对数V log,M log.V log,M log.N2.(0,十o∞) (1,0)增函数减函数3.y=logry=x 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.B[若a>1,则y=a是增函数，y=log(-x)是减函数； 若0<a<1,则y=a是减函数，y =log（一x)是增函数，排除A,C,D.由于y=log（-x) 只能在y轴左侧，B正确.] 6 3.解析：1og9)·(1og,4)=g9×g4=2g3×2g2=4. 1g2入g31g2x1g3 答案：4 4.解析：设f(x)=logx,函数过(4,2)，即f(4)=log4= 2,即a=2,f(x)=log2x, 它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2. 答案：g(x)=2 跃升·关键能力题型1 0 [例1](1)[解析] lg2+lg5-1g8_1g 1g50-1g40 50=1,A成立； 1g4 g4+1g5-1=g20-1=1中g2-1=1,B不成立： 2lg0.5+lg8g0.25+lg81g2 g14-2g号+g7-1g18=1g7+1g2)-(2g7-2lg3) 十lg7-(2lg3十lg2)=0,C成立； (Ig 2)2+1g 21g 5+1g 5=1g 2(1g 2+1g 5)+lg 5=1g 2+ lg5=1,D不成立. [答案]AC （2[解折]由短意：=o吸3风=eL8寸 -1og,0.2.-}=l6g1.8-l6ga2=log8 x y =l0g9=2. [答案]2 跟踪训练 1.A[由题意知，m1=-26.7,2=-1.45,代入所给公 式得-1.45-(-267)=号s层所以g E=10.1 所以受=10.] 之AD[令=bg6,照+=号 ∴.22-5t+2=0, 即(2t-1)(t-2)=0, =2 logb=合或1ogb=2. .a=b或a2=b, 又a5=6, .2b=b=a或a2=2a=b, ∴.b=2,a=4或a=2,b=4. 分=2或号-分】 题型2 [例2](1)[解析]根据题意 在同一直角坐标系中画出 y=f(x) y=8(x) f(x)=lnx与g(x)=lgx的 图象，如图所示， 0 当x=1时，此时f(x)= g(x),即f(m)=g(n),故m =n=1,故A正确： 当0<x<1时，此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故 nm<1,故B正确： 当x>1时，此时f(x)=g(x),即f(m)=g(n),故1< m<n,故D正确. [答案]ABD ·31 参考答案 (2)[解析]若方程4=logx在 y=4 (0,号]上有餐，则品数y=布高数 =1r在(o,号]小上有文点. -101 2 y≥logx 0a<1, 由图象知 ,解得0a≤盟 [答案] ] 跟踪训练 1.D[因为0<a<1,函数g(x)=log。(x-1)满足 x-1>0,解得x<一1或x>1,即函数g(x)= 10g(x-1)的定义域为(-∞，-1)U(1,十∞)，排除 A,B,又由g(-x)=log(-x-1)=log(x|-1)= g(x),所以函数g(x)为偶函数，所以函数g(x)的图象关 于y轴对称的偶函数，当x>1时，函数g(x)=log(x-1) 单调递减，排除C.] 2.D[画出函数y= ()广w=nx y=ln(x十1)，y=lgx的图象，如图所示. y=In(x+1) y=In x y=1g x X2/X1X3 数形结合，知x2<x1<x·] 题型3 [例3-1][解析]a=log0.7<0,b=1og0.6<0, c=1og0.2>0,log20.7<log:2 1og30.6, 所以a<b,则a<bc [答案]A [例3-2][解析][因为bg(台)）下g(倍）当0< <1时，则有名>是，无解：当>1时，则有吕<吕，解 aa 得：a>1,所以a>1,则对数函数y=logx(a>0,a≠1) 在(0，十0)上单调递增，又关于x的不等式 l0g。(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得：x>2,所以关于x的 不等式l0g(2x-3)>0的解集为(2，十∞).] 答案(2，十0∞) [例3-3][解析]由题意得a>0, llog:a>-log:a 、或{-iog,(-a)>1og,(-a), 解得a>1或-1<a<0. [答案]C [例3-4][解析]由于f(x)满足：对任意两个不相等 的实数1：(0，）都满足不等式 )】-f>0,所以f)在区间(-0，之)上单调 2一1 递增。 y=log号x在(0，十∞)上单调递减； g(x)=x-ax-a的开口向上，对称轴为x=号， 高考总复习数学 1 ∫>- 所以 ()}+3a-a=}-2a≥0， 解得-1≤a≤2， 所以。的取值范调是[一1，号] [答案] [] 跟踪训练 1.B[设2十log2x=3十l0gy=5十log之=t,则x=2-2,y =33,x=55,取t=0,易知x>y>之，排除A;取t=5, 易知y>x>之，排除C;取t=8,易知y>x>x,排除D;故 选B.] 2.C[当x<-a时x十a<0,当x>-a时x十a>0, 当x<1-b时ln(x十b)<0, 当x>1-b时ln(x十b)>0, 所以要f(x)恒非负，必须一a=1-b,即b-a=1, 以。+6=a》a+≥名 2 当且仅当a=一之6=2时取等号.] 1 §2.8函数的图象 复盘·必备知识必备知识掌握 2.(1)f(x)-k(2)f(ax)af(x)(3)-f(x)f(-x) -f(-x)logx(a>0且a≠1)(4)f(x)|f(|x) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运 动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速， 后段比前段下降的快，故应选C.] 3.C[B项中y>0,D项中当x>0时，开口向下，B、D排 除，A项中，x<0时，开口向下，可排除A项.] 4,解析：f(x)=e”,则g(x)=e)=e+ 答案：e+1 跃升·关键能力题型1 例1][解](1)原函数解析式可 化为y=2十片故画数图象可 由画数y=的图泉向右平移1 个单位长度，再向上平移2个单-10123元 位长度得到，如图所示. (2)y=x2-4x-5的图象可由函 数y=x2一4x-5的图象保留x轴 上方的部分不变，将x轴下方的部 分翻折到工轴上方得到，如图 所示 一1 (3)y= (合) 一1，其图象可看 作由函数y=(侵)的周象向右 -102 平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y 2,x<0, 共图象可由y=(合)的图象保留 x≥0时的图象，然后将该部分关于y 0 轴对称得到， 则=（合）】 一1的图象如图所示. ·31 跟踪训练 解：(1)设m(x)=y =√-2.x+1+x m(x) x,x<0, -x十2,0<x≤1， (x,x>1, 01 其图象如图. (2)当x≥2，即x-2≥0时，y= y (x-2)(x十1)=x2-x-2= 2 (2）-当<2，即x-2 <0时，y=-(x-2)(x十1)=-x2 -1/ 十x十2=一 -2)+ (-）广-号≥2 9 这是分段函数，每段函 ()+2 29 数的图象可根据二次函数图象作出（如图）. (3)设t(x)=y=log(x十1)，x=-1y 则其图象可由y =log2x的图象向左平移1 x) 个单位，再保留x轴上方部 分不变，将x轴下方部分翻 折到x轴上方得到，如图. 0 题型2 [例2](1)[解析]本题考查了函数的图象，考查函数的 性质，奇偶性，对称性，由图象可知，图象关于y轴对称.A 中，fx)=1-x=-x千=-f(-x)(x≠±1)为 奇函数，其图象关于原点对称，故排除A;B中，f(一x) 一x -x-1 =-f(x)(x≠士1)为奇函教， x 故排除B:C中，f(一x)=1=()=1-之 一x x =f(x)为 偶画数，当x=2时，2)=己=-号<0，故排除C 「答案]D (2)[解析]对于A选项，f(0)=0,A选项错误；对于C 选项，f(0)=0,C选项错误：对于D选项， f(x)=3x2-4x十1，f(x)=0有两个不等的实根，故 f(x)有两个极值点，D选项错误；对于B选项，f(x)= x-1cosa,f0)<0:当xe（合2)）k∈Z时 osu>0,x-1<0,此时f)<0,当xe(合l）k∈Z 时，0s<0,x-1<0,此时fx)>0,当xe(1,号） k∈Z时，c0sπx<0,x一1>0，此时f(x)<0,依次类推 可知f(x)函数值有正有负；显然f(x)不单调；因为当x =合十k,k∈Z时f=0,所以)有多个零点：调为 f(2)=1,f(一2)=-3，所以f(2)≠f(一2)，f(2)≠ 一f(一2)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，以上 均符合，故B正确 [答案]B 跟踪训圳练 1.A[由函数f(x)=nx:cos工可得函教的定义战为 {xx≠0}， 由f(-x)=n-x·cos-2=-nx·cosx 一f(x)可知函数f(x)为奇函数， 8