第七章 马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、泊松分布、指数分布训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦概率不等式与特殊分布，以定义辨析-原理证明-实际应用为主线，系统构建"概念理解-方法迁移-模型构建"的专项突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |马尔可夫不等式与切比雪夫不等式|8题（含证明与应用题）|不等式定义辨析、概率上界估计、离散型证明思路|从非负随机变量到方差应用，构建"马尔可夫→切比雪夫"推广链条| |泊松分布与指数分布|8题（含近似计算与实际建模）|分布列应用、二项分布近似条件、累积分布函数性质|以稀有事件为载体，形成"定义→近似→建模"的应用路径|

第7章 马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、泊松分布、指数分布 题型1：马尔可夫不等式、切比雪夫不等式 【例1.1.】 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，利用导数即可求得最大值. 【详解】设为某市去年1名市民的年收入， 某市去年的人均年收入为50万元，则， 设1名市民去年的年收入超过100万元的概率为， 所以， 因为， 由题可得， 设，， 则， 所以， 即的最大值为. 故选：D 【例1.2.】 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】均值的性质 【分析】根据期望的计算公式,以及即可求解. 【详解】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以 故选：D 【例1.3.】 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】方差的实际应用 【分析】由题知，再结合和方差的定义计算求解即可. 【详解】由题意得切比雪夫不等式的形式为， 而由题得到， 而由方差的定义得，则， 得到的具体形式为，故D正确. 故选：D. 【例1.4.】 (多选)切比雪夫不等式表明：对任意正实数，有．现有随机变量，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C．若，则取最大值时 D．若要求以不低于的概率保证，则的最小整数值为200 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、指定区间的概率 【分析】由二项分布概率计算公式、期望、方差的计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A：当时， ， ， 求和得，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 即， 由，解得：， 故时概率最大，故C正确； 对于D：要求，即，取，方差， 代入不等式：，故D错误． 故选：BC 【例1.5.】 概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有. (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立. (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信. 【答案】(1)证明见解析； (2)不可信. 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、方差的期望表示、二项分布的方差 【分析】（1）方法一：利用非负离散型随机变量及正数使用马尔可夫不等式证明；方法二：先列出的分布列，然后利用马尔可夫不等式证明； （2）第一步：设出随机变量，判断服从二项分布，由二项分布计算均值与方差；第二步：利用切比雪夫不等式求出；第三步；得出结论. 【详解】（1）方法一：由题意， . 方法二：设的分布列为，，2，…，， 其中，，，记， 则对任意，； （2）设在100名患者中治愈的人数为， 假设药企关于此新药对治疗某种疾病的有效率的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，，，. 由切比雪夫不等式，有. 即在此假设下，100名患者中治愈人数不超过60的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信. 【例1.6.】 联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【详解】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 【例1.7.】 在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为. (1)求一名顾客中奖的概率. (2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X， （i）求X的分布列及数学期望； （ii）已知对任意随机变量Y，若其数学期望、方差均存在，则对任意正实数a，有，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使，求正实数a的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）. 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式列式计算即可. （2）（i）求出的可能值并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）由（i）求出，再利用切比雪夫不等式建立不等式关系并求出最小值. 【详解】（1）记事件抽到“马”与“到”，事件抽到“骏”与“驰”，事件抽到“龙”与“腾”， 则，而两两互斥， 所以顾客中奖的概率. （2）（i）小明全家中奖的人数的可能值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （ii）由（i）知，则， 由切比雪夫不等式，得， 即，则由，解得，而，则， 所以正实数a的最小值. 【例1.8.】 概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有． (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可信. 【难度】0.4 【知识点】独立重复试验的概率问题、方差的期望表示、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）法一：应用马尔科夫不等式及期望与方差的关系，即可证；法二：设X的分布列为  ，2，…，n，结合、马尔科夫不等式，即可证； （2）设在100名患者中治愈的人数为X，且及切比雪夫不等式，即可得结论. 【详解】（1）法一：对非负离散型随机变量及正数，使用马尔科夫不等式， 有； 法二：设X的分布列为  ，2，…，n， 其中，，，2，…，n，， 记，则对任意 . （2）设在100名患者中治愈的人数为X，假设药企关于此新药有效的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，，， 由切比雪夫不等式，有， 即在假设下，100名患者中治愈的人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信． 题型2：泊松分布、指数分布 【例2.1.】 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得.. 【详解】依题意， ，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，则， 于是, ,， 所以次品率小于的概率约为. 故选：C 【例2.2.】 （多选）泊松分布是统计学中常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．切尔诺夫界，也称为切尔诺夫不等式，是一类概率不等式，对于某些随机变量，它可以用于估计概率值和的上界．已知服从参数为的泊松分布的随机变量的切尔诺夫界为：对一切恒成立，对一切恒成立．若服从参数为的泊松分布，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、由随机变量的分布列求概率 【分析】当时，，令，利用切尔诺夫界和对数的运算判断选项AD；再讨论当时，，令，同理得解. 【详解】解：当时，，令， ， 所以，所以选项A正确，选项D错误； 当时，，令， ， 所以，所以选项C正确，选项B错误. 故选：AC 【例2.3.】 泊松（Poisson）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布（记作X~π(λ)，则其概率分布为，，其中e为自然对数） (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似地看作为参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)4或5 (3) 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）根据泊松分布，计算，由概率公式计算，，再相加即可； （2）计算，比值与1比较，确定概率单调性，利用的最大值是即可得到的值； （3）利用泊松分布的概率公式，计算，，，相加再与0.99比较即可. 【详解】（1）根据题意比较大，而大小适中， 所以满足近似泊松分布， 则，， ， 在1000个产品中至多有1个次品的概率为. （2），， 则，又为正整数， 所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增， 的最大值是， 或， 综上，或. （3），则， ， ， 所以， 即. 【例2.4.】 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【难度】0.65 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【例2.5.】 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 【答案】(1)0.6827 (2)0.58 (3) 【难度】0.59 【知识点】独立重复试验的概率问题、指定区间的概率、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解； （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解． 【详解】（1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若， 当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，， ． （2）当，时，可以用泊松分布近似二项分布， 即对于，， 设为配送延迟包裹数，则，， ，， ， ， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为： ． （3）由，得， 根据泊松分布的概率公式：，，得． 设（）， 由，知在上为减函数． ，， ，即， 的取值范围为． 【例2.6.】 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【难度】0.15 【知识点】二项式定理与数列求和、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系数法先求出，再求出指定概率； （2）（ⅰ）理解泊松分布中的，从而再运用公式计算对应事件概率，转化为对立事件来研究即可； （ⅱ）先了解两个独立事件，同时发生总共需要水电工人数，运用积事件求和：即，这里运用到二项式展开式定理，最后再用对立事件即可解得. 【详解】（1）由得， 且，解得. 故. （2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 那么，某天至少需要2名水电工的概率约为 （ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 于是 . 那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为 . 【例2.7.】 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)①证明见解析；② 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用、3δ原则、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）①由条件概率得到，证明出结论； ②由①，得，从而元件B，C必须至少有一个正常工作，所求概率为. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得，， ； （2）①由题设，得 ， . 所以. ②由①，得， 所以第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 【例2.8.】 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2)（i）证明见解析（ii）元 【难度】0.61 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【详解】（1）平均时间. （2）（i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、泊松分布、指数分布 题型1：马尔可夫不等式、切比雪夫不等式 【例1.1.】 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名.由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为50万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 (多选)切比雪夫不等式表明：对任意正实数，有．现有随机变量，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C．若，则取最大值时 D．若要求以不低于的概率保证，则的最小整数值为200 【例1.5.】 概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有. (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立. (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信. 【例1.6.】 联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【例1.7.】 在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为. (1)求一名顾客中奖的概率. (2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X， （i）求X的分布列及数学期望； （ii）已知对任意随机变量Y，若其数学期望、方差均存在，则对任意正实数a，有，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使，求正实数a的最小值. 【例1.8.】 概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有． (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信． 题型2：泊松分布、指数分布 【例2.1.】 泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）泊松分布是统计学中常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．切尔诺夫界，也称为切尔诺夫不等式，是一类概率不等式，对于某些随机变量，它可以用于估计概率值和的上界．已知服从参数为的泊松分布的随机变量的切尔诺夫界为：对一切恒成立，对一切恒成立．若服从参数为的泊松分布，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2.3.】 泊松（Poisson）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布（记作X~π(λ)，则其概率分布为，，其中e为自然对数） (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似地看作为参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【例2.4.】 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【例2.5.】 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 【例2.6.】 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【例2.7.】 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【例2.8.】 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $