第七章 概率与数列递推——马尔科夫链训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以马尔科夫链为核心，通过五大题型系统构建概率递推与数列综合的解题方法体系，强化状态转移分析与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传球问题|5题|状态定义→转移概率→递推公式→数列证明|多人传球状态转移与等比数列结合，体现数学抽象与推理| |随机游走问题|8题|位置状态分析→相邻概率关系→通项求解|质点/蚂蚁移动与递推数列综合，培养空间观念与模型意识| |摸球问题|4题|盒子状态变量→交换规则→期望计算|球数量变化与概率期望结合，发展数据观念与运算能力| |掷骰子问题|8题|游戏规则转化→状态转移矩阵→概率分布|骰子投掷与数列递推综合，提升应用意识与逻辑推理| |其他问题|7题|实际情境抽象→状态概率建模→极限分析|比赛/就餐等情境与马尔科夫链结合，强化数学应用与创新意识|

第七章 概率与数列递推——马尔科夫链 目录 题型1：传球问题 2 题型2：随机游走问题 11 题型3：摸球问题 21 题型4：掷骰子问题 28 题型5：其他问题 42 题型1：传球问题 【例1.1.】 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________；________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，由题意可得，，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 因为第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，故， 所以， ，又， ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为：0，. 【例1.2.】 某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了该校男、女生共100名，其中部分数据如下： 性别 排球 喜欢 不喜欢 女生 30 30 男生 30 10 (1)经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168和48，男生的身高平均数和方差分别为178和30，根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差； (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在甲手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次）传球中球在甲手中的次数为随机变量，求的数学期望，并比较前次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小. 【答案】(1)平均数172，方差64.8； (2)（i）；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】分组（并项）法求和、计算几个数据的极差、方差、标准差、递推法求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用分层抽样的平均数、方差公式列式计算即可. （2）（i）根据给定条件可得递推公式，再利用构造法求出通项公式；（ii）由结合分组求和及等比数列前n项和公式，求出，再求出球在乙、丙手中的次数的数学期望并比较大小. 【详解】（1）样本平均数； 样本方差为. （2）（i）依题意，，则， 又，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以. （ii）由（i）知， 则当时， ， 记次传球后球在乙手中的概率为，前次传球中球在乙、丙手中的次数分别为随机变量， 则，，而， 数列是以为首项，为公比的等比数列，，即， ， 同理，因此， 又， 所以. 【例1.3.】 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷次后，球在乙手中的概率为． (1)求和； (2)求数列的通项； (3)设，数列的前项和为，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据传球游戏的规则，再根据独立事件概率公式，求解概率， （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，利用裂项可得，求和可得，并利用放缩法得，利用错位相减法即可证明不等式. 【详解】（1）当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲甲乙，其概率为，故， 当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况： ①：甲乙甲乙，其概率为 ②：甲乙丙乙，其概率为 ③：甲甲甲乙，其概率为 所以投掷3次后，球在乙手中的概率为. （2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有． 变形为． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以数列的通项公式． （3）,故， 故， 所以，故， 记，其前项和为， 所以， 故， 相减可得， 故， 故， 故， 因此，得证. 【例1.4.】 在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2)①证明见解析；②. 【难度】0.4 【知识点】由定义判定等比数列、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）解法一：由题意可得，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值为，且在一次扑球中，扑到点球的概率，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望； （2）①由题意可得第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，化简变形后可证得结论；②分别表示出，化简后与比较大小可得结论. 【详解】（1）解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为， 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为   易知， 所以   故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 解法二：的所有可能取值为    在一次扑球中，扑到点球的概率，    所以      所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望： （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为，   则     即，又，   所以是以为首项，公比为的等比数列． ②由①可知，所以，   所以， 故． 【例1.5.】 足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 【答案】(1)， (2) (3)，经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于 【难度】0.15 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据传球规则，逐步计算即可得到，； （2）根据题意找得到X的可能取值，依次求出X在每个取值下的概率，得到分布列，运用期望公式即可求得，随后寻找X与Y的等量关系，进一步计算，最后比较大小； （3）根据传球规则，表示出，，，结合得到的递推关系，从而解出的通项公式，将代入比较与的大小． 【详解】（1），. （2），， ∴， ∴，由已知得B、C控球机会相同，所以，即， 所以. （3）依题意，， 根据传球规则，，，， 所以，， 所以，， 因为， 所以， 该式可以表示为：， 解齐次方程：，特征方程为，所以， 故通解为：， 设，代入递推关系：，即，所以， 故通解为：， 利用初始条件：，解得：， 综上，通项公式为：， ， 因为2025是奇数，所以，，， 即经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于与． 题型2：随机游走问题 【例2.1.】 有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求等比数列前n项和 【分析】记次后落在处概率为与的递推关系，进一步计算得出与的关系进行判断，最后根据等比数列前项和公式得出结果即可； 【详解】记次后落在处概率为，得出 ，， 则， ，， 所以， 所以，即， 所以，数列是等比数列， ， 所以， 故答案为：. 【例2.2.】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、构造法求数列通项、递推法求概率、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用数列构造法及累加法求出通项公式即可. 【详解】（1）依题意，质点运动到的概率，则. （2）运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 则，即， 而，因此是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以 ， . 【例2.3.】 一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、条件概率性质的应用 【分析】设“蚂蚁爬行次后仍在顶点” 为事件，“不在顶点”为事件，则，，，根据求出，再代入可得结果. 【详解】设“蚂蚁爬行次后仍在顶点” 为事件，“不在顶点”为事件， 则，，，, ， 则，又， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，所以， 所以. 所以蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为. 故答案为：. 【例2.4.】 （多选）如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】有四种情形：，求其概率可判断A；从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以可判断B；对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，再讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，可得可判断C； 利用可判断D； 【详解】对于A，有四种情形：，其所求的概率为，故A正确； 对于B，当为偶数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时， 当为奇数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，即从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以，故B错误； 对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，分别为，，现讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，故，可得，又，所以，故C正确； 对于D， ，所以 ，故D正确； 故选：ACD. 【例2.5.】 正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，一只蚂蚁从点出发，每次沿着该三棱柱的一条棱的端点爬行到另一个端点，若它选择三个方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互独立. (1)记这只蚂蚁经过4次爬行后，其爬行的总路程为，求的分布列和数学期望； (2)求这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】由定义判定等比数列、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、构造法求数列通项 【分析】（1）这只蚂蚁每次爬行距离为1的概率是，每次爬行距离为2的概率是，得到随机变量的所有可能取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解； （2）将蚂蚁爬行了次后停留在平面内的概率记为，得到，得到为等比数列，求得，即可求解. 【详解】（1）解：这只蚂蚁每次爬行距离为1的概率是，每次爬行距离为2的概率是， 则随机变量的所有可能取值有4，5，6，7，8， 可得，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 所以期望为. （2）解：将这只蚂蚁爬行了次后停留在平面内的概率记为，则， 其爬行了次后停留在平面内的概率， 所以， 因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率. 【例2.6.】 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设点到达点的概率为，求． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求等比数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】引进数列，再根据题意，找到递推关系，再求. 【详解】注意的实际意义，点到达点的概率为，那么到达点的概率为． 依题意，点到达点有两种情形： ①从点按向量移动到点．由于点到达点的概率为，按移动的概率为．故这种情形的概率为． ②从点按向量移动到点，参考①的思路，得这种情形的概率为． 由于①②两种情形互斥，所以， 所以，． 又易得，，所以是以为首项、为公比的等比数列． 于是． 所以 ． 所以质点能到达点的概率为． 【例2.7.】 马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有元时，最终欠债元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值； (2)证明是一个等差数列，并写出公差； (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)当时，，当时，；论述见解析． 【难度】0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、游戏的公平性、确定性事件与随机事件的概率、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）按照游戏约定，易得，； （2）由全概率公式得出数列的递推公式，根据等差数列的定义易得为等差数列，运用累加法和，的值即可求得公差； （3）根据（2）求得的概率通项式，代入和，整理即得，逐一代入值，即可求出的值，分析即得结论. 【详解】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此． 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率； （2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元下一场赢的事件， ，即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得； （3），由（2）， 代入可得，即， 当时，，当时，， 当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债． 【例2.8.】 已知一个质点从边长为1个单位的正三角形的某个顶点出发，沿着该三角形的边移动，每次移动1个单位，具体规则如下： 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为． 设质点初始位置在顶点，请回答下列问题： (1)求第2次移动后质点位于顶点的概率； (2)设第次移动后质点位于顶点的概率为． （i）求； （ii）当足够大时，试估计第次移动后质点位于哪个顶点的概率最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大，理由见解析 【难度】0.47 【知识点】数列的极限、由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、条件概率性质的应用 【分析】（1）通过条件概率和乘法公式计算即可得到结果； （2）（i）利用第n次位于各顶点的概率与第次概率的关系建立递推关系，消去一个变量后得到关于的线性递推式，化为等比数列形式，结合初始值求出通项公式； （ii）利用递推关系求出的通项公式，进而得到的表达式，计算极限可得各顶点概率的稳定值，比较大小可知当充分大时，质点位于顶点的概率最大. 【详解】（1）设事件“第1次移动后质点位于顶点”，“第2次移动后质点位于顶点”，根据题意得， 得． 因此，第2次移动后质点位于顶点的概率为． （2）（i）设第次移动后质点位于顶点，的概率分别为，，则． 根据规则，递推关系如下： 由，代入的递推式得： ， 令，所以， 所以．又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即. （ii）当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大，理由如下： 由（i）知，，所以，代入的递推公式得： ， 令，所以, 所以． 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即． 所以． 所以． 又， 故当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大． 题型3：摸球问题 【例3.1.】 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、计算古典概型问题的概率、写出等比数列的通项公式 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 【例3.2.】 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设用含的式子表示 (3)求 【答案】(1) 4 5 (2) (3) 【难度】0.41 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）确定的可能取值，按照分布列的步骤进行求解即可； （2）利用条件概率及全概率公式结合数学期望的计算公式即可求解； （3）利用（2）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可求出. 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 （2）设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6， 则，     ，     ，     所以． （3）由（2）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 【例3.3.】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. (1)求; (2)求; (3)证明:. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】求等比数列前n项和、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分析得的所有可能得取值为3，2，1，0，再写出对应的概率，利用期望公式即可得到答案； （3）分别计算，构造得，再利用等比数列通项公式得，再取倒数，求和放缩即可. 【详解】（1）分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率， 由题可知:. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 易得. 由题易得的所有可能得取值为3，2，1，0， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 3 2 1 0 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 因此是等比数列，公比为， 首项为， 所以. 因此:， ， . 【例3.4.】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，并求的通项公式； (3)求的数学期望． 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3) 【难度】0.15 【知识点】递推数列的实际应用、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的实际应用、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意可得A盒子中没有红球的概率为，进而根据规则求解即可； （2）由题意可得，整理可得，进而求证，再求解的通项公式； （3）由题意可得,，整理可得，进而求解的分布列，再计算数学期望即可. 【详解】（1）由题意，A盒子中没有红球的概率为， 则，， ， . （2）因为，，， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （3）当，时，,① ,② 由①②得，，又， 所以，则， 的可能取值为0，1，2， 则， ，， 则的分布列为： 0 1 2 所以. 题型4：掷骰子问题 【例4.1.】 （多选）甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（    ） A．“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 B．“首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为 C．“在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为 D．“甲先掷出点”的概率为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】利用古典概型的概率公式可判断AC选项；设首次连续两次出现6点的期望次数为E，结合题意分析得出关于E的方程，解出E的值，可判断B选项；求出“甲第n次首次掷出6点，且在甲第n次掷骰子前两人都没有掷出6点”的概率，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为，故A正确； 对于B选项，设首次连续两次出现6点的期望次数为E，分两种情况分析： 若第一次没有掷出6点，则需重新开始，期望次数为， 若第一次掷出6点，第二次没有掷出6点，则需重新开始，期望次数为， 若第一次、第二次都掷出6点，则期望次数为2， 所以，解得，故B错误； 对于C选项，在甲掷出6点后，乙下一次掷出6点不受前面的影响，其概率为，故C正确； 对于D选项，设甲第n次首次掷出6点，且在甲第n次掷骰子前两人都没有掷出6点， 设其概率为，则，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 数列的前n项和为， 当时，，即“甲先掷出6点”的概率为，故D正确. 故选：ACD. 【例4.2.】 甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）计算两颗骰子点数相等的概率即可得到两颗骰子点数不同的概率. （2）设掷一次两颗骰子的点数和为，则，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得结果. （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得甲第轮获胜的概率为，由无穷等比数列求和公式计算可得结果. 【详解】（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为            所以两颗骰子点数不同的概率为. （2）甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表： 所以.                另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则. 则； ； ； ； ； .               所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 . （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为 .          若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；     由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；               于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列. 因为， 所以甲最终获胜的总概率为. 【例4.3.】 甲、乙两人玩轮流掷骰子（质地均匀）的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子．现由甲第一次抛掷． (1)记前次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望； (2)记第次由乙掷骰子的概率为． （ⅰ）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求数列的前项和． 【答案】(1) 的分布列为： 数学期望 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.56 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先确定的所有可能取值，然后依次计算概率即可； （2）（i）通过题意得到与的表达式，然后通过构造法即可证明；（ii）利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题设的所有可能取值为， 当时，前次只有次是甲掷，序列是甲乙乙， 则第次甲掷，第次乙掷的概率是，第次乙掷，第次乙掷的概率是，因此； 当时，前次有次是甲掷，序列是甲甲乙或甲乙甲， 对于甲甲乙，则第次甲掷，第次甲掷的概率是，第次甲掷，第次乙掷的概率是， 对于甲乙甲，则第次甲掷，第次乙掷的概率是，第次乙掷，第次甲掷的概率是，因此； 当时，前次有次是甲掷，序列是甲甲甲， 则第次甲掷，第次甲掷的概率是，第次甲掷，第次甲掷的概率是，因此， 故的分布列为 数学期望. （2）已知第次由乙掷的概率为，则第次由甲掷的概率为，因此第次由乙掷的概率可以表示为， （ⅰ）由于，则， 又因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）得，故 所以. 【例4.4.】 甲乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次. (1)甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率； (2)若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若，当时，看作0） 【答案】(1). (2). 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据条件概率公式，先确定事件和，再分别计算和，进而求得. （2）通过设甲获胜的概率为，分析甲在不同轮次获胜的情况，借助等比数列求和公式计算. 【详解】（1）设事件“甲第一次掷出偶数点”，事件“甲两次掷出的点数之和大于6”， 样本空间， 样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的. ，， ，， 则，， 所以，（或） 即在甲第一次掷出偶数点的条件下，两次掷出的点数之和大于6的概率为. （2）若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第二轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第三轮甲投掷后的两个点数都为偶数，概率为； 由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数， 第n轮甲投掷后的两个点数都为偶数.概率为； 于是，，，，…，组成一个以为首项，为公比的等比数列. 所以. 则当时，，故甲获胜的概率为. 【例4.5.】 如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推． (1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率； (2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望； (3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，． 【答案】(1)，，，． (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】(1) 由独立事件的概率乘法公式求解； (2) 的取值可能为1，2，3，依次求出概率即可计算数学期望； (3) 记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为， ①， ②． 两式相加即可求解． 【详解】（1）记为掷出的骰子中有枚点数大于3的骰子的概率， ． 第二次由甲掷骰子的概率． 第二次由乙掷骰子的概率． 第二次由丙掷骰子的概率． 第二次由丁掷骰子的概率． （2）的取值可能为1，2，3 前三次中甲掷骰子的次数为3，即第二，三次均由甲掷骰子，其概率为 前三次中甲掷骰子的次数为1，即甲第二，三次均没有掷骰子， 分三种情况：第二次乙郑骰子且第三次甲没有掷骰子； 第二次丙掷骰子且第三次甲没有掷骰子； 第二次丁掷骰子且第三次甲没有掷骰子． 其概率为． 前三次中甲掷骰子的次数为2的概率为， 的分布列为 1 2 3 ． （3）证明：记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为， ①， ②． ②+①得． 因为，所以． 故当时，． 【例4.6.】 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立． (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率 (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为的概率为 （i）证明：为等比数列． （ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ⅱ）甲选择6分对自己最有利，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）求出甲每轮积分为0，1，2分的概率，再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式计算即得. （2）（i）根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）利用累加法求出，借助数列单调性求出最大值即可判断得解. 【详解】（1）甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为， 则， 经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分； 4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分， 所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率． （2）（i）记“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件， 于是， 则，又， 所以是首项为公比为的等比数列． （ii）由（i）得，当时，， 累加得， 因此，当为奇数时，单调递增，且， 当且为偶数时，单调递减，且， 则当时，最大，所以甲选择6分对自己最有利． 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 【例4.7.】 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系证明等比数列、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，，即可求出的期望. （2）①根据累计得分为分的概率为，分两种情况讨论，从而得到递推式，再根据构造法求证即可； ②根据①可求出，再根据累加法可求出，再由从而求解即可. 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，所以，，，，，而，所以随机变量的可能取值为，，，，所以 ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，，则，累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ， ， ， 各式相加，得， 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为：. 【例4.8.】 一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据题意及相互独立事件的概率公式可求解. （2）先由（1），构造出；再根据等比数列的定义即可证明. （3）玩该游戏获胜即为跳到第99站，先根据（2）中结论及等比数列的通项公式得出；再利用叠加法及等比数列的前项和公式可求解. 【详解】（1）根据题意可知：每次骰子之间是相互独立的； 棋子开始在第0站是必然事件，所以. 棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第n（）站，包括两种情形， ①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为； ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为. 故； （2）由（1）知：，所以. 又因为， 所以（1，2，…，99）是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）得：. 所以 ， 所以玩该游戏获胜的概率为. 题型5：其他问题 【例5.1.】 为测试甲、乙两种新药的疗效，现进行动物试验，试验方案如下：共进行场试验，，每场包含若干轮对比试验，每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药在该场胜出．当一种药物胜出的场数超过半数，则认为该药有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分．乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．假设甲、乙两种药的治愈率分别为和． (1)一轮试验中甲药得分记为，求的分布列． (2)记甲、乙两种新药在每场试验开始时都赋予分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为该场甲药胜出”的概率，则，，，其中，，． （i）求； （ii）记为每场甲药胜出的概率，现拟增加两场试验，试分析能否提高甲药有效的概率？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)（i）；（ii）能，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、写出简单离散型随机变量分布列、递推法求概率 【分析】（1）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （2）（i）由题意得出，可得出，则为等比数列，确定该数列的公比，利用累加法可求出与的关系式，可求出，再利用累加法可求出的值； （ii）根据题意可得出、的关系式，利用作差法可得出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、． ， . 所以的分布列为 （2）（i）由（1）可知，故， 即. 又因为，则是公比为，首项为的等比数列. ， 由于，故， 所以 ； （ii）由题意知每场试验甲药胜出的概率为， 设场中甲药有效的概率为；增加两场甲药有效的概率为，则： ①当场中甲胜出场的概率为， 增加两场甲药有效的概率为； ②当场中甲胜出场的概率为， 增加两场甲药有效的概率为； ③当场中甲至少胜出场的概率为， 增加两场甲药一定有效. 所以， 整理得， 又，故，故能够提高甲药有效的概率. 【例5.2.】 某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． (1)第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； (2)求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； (3)假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 【答案】(1) (2) (3)人 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由独立事件乘法公式及对立事件概率计算求解即可； （2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，由求解即可； （3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”， ，得到，进而可求，再设记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，得到进而可求解； 【详解】（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”， 则﹔ （2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”， 则， 记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”， 则． （3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”， 则， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则， 当时， 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人． 【例5.3.】 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等比数列的简单应用、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【例5.4.】 运用计算机编程，设计一个将输入的正整数“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将中的任意一个整数替换的值并输出的值，反复按回车键执行以上操作直到输出后终止操作. （1）若输入的初始值为3，记按回车键的次数为，求的概率分布与数学期望； （2）设输入的初始值为，求运行“归零”程序中输出的概率. 【答案】（1）分布列见解析，；（2）. 【难度】0.65 【知识点】其他问题中的概率解释、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先分析的取值并计算出对应的概率，由此得到的概率分布并计算出其数学期望； （2）记运行“归零”程序中输出的概率为，然后根据之间的关系进行化简可得，利用累乘法求可求解出. 【详解】（1）由题意可知：可取， 当时，此时依次替换的数为，所以， 当时，此时依次替换的数为或，所以， 当时，此时替换的数为，所以， 则的概率分布如下表： 1 2 3 所以. （2）设运行“归零”程序中输出的概率为， 法一：则， 故时，， 以上两式作差得，，则， 则，，，， 则， 化简得，而，故， 又时，也成立，故. 法二：同法一得， 则，，，…，， 则， 化简得，而，故， 又时，也成立，故. 法三：记表示在出现的条件下出现的概率， 则，， ， 依此类推，， 所以. 法四：记表示在出现的条件下出现的概率， 则， 则，① 则，② ①－②得， 则， 则. 【例5.5.】 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入筐，规则如下：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖；若投掷n次/（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖.已知甲同学参加游戏每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望； (2)当（且）时，求甲同学获奖的概率（用含有k的表达式表示）. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.5 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、错位相减法求和 【分析】（1）写出X的取值可能为2，3，4，再分别计算其概率，最后利用期望公式求解； （2）计算，从而得，利用错位相减法求解. 【详解】（1）由题可知：X的取值可能为2，3，4， ，， ， 故X的分布列为： X 2 3 4 P 所以； （2）记事件A：甲同学获奖，显然，， 设Y表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减：， ， 即，所以． 【例5.6.】 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为. (1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率； (2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小. 【答案】(1) (2)，甲队开球的概率大于乙队开球的概率． 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）甲队在前3个回合中恰好获得2分，分为3种情况，依次求出对应的概率，即可求解； （2）根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解． 【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况， 对应的概率分别为，，， 所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率； （2）根据全概率公式得， 即， 易知，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以， 而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率． 【例5.7.】 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.该类型题目是在A，B，C，D这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确的每个正确选项得3分，有三个选项正确的，每个正确选项得2分），有选错的得0分. (1)某考生有一道正确答案为ABC的多项选择题不会做，他给出的答案可以只含一个选项，只含两个选项或只含三个选项，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； (2)若某次测试共道多项选择题，已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.记事件为正确选项有个，第（且）题正确选项为个的概率为.正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若第题只选择B，C两个选项，设表示第题的得分，证明：. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)①证明见解析，；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、由定义判定等比数列、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）首先分析各个得分的样本点，再计算相关分布列和期望即可； （2）①构造得，再求出首项即可证明并求出； ②分析得的取值为0，4，6，再求出其分布列和期望值，最后作差判断其单调性即可. 【详解】（1）该考生可能的选项有：A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，共14个样本点， 故考生得0分包含的样本点有D，AD，BD，CD，ABD，ACD，BCD，共7个； 得2分包含的样本点有A，B，C，共3个； 得4分包含的样本点有AB，AC，BC共3个； 得6分包含的样本点有ABC， 所以， 故的分布列为 所以． （2）①由题意知， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②由①知， 由题意知的取值为0，4，6， 所以， ， ， 所以， 因为，所以，因为， 所以数列单调递增， 所以，所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 概率与数列递推——马尔科夫链 目录 题型1：传球问题 2 题型2：随机游走问题 4 题型3：摸球问题 6 题型4：掷骰子问题 7 题型5：其他问题 10 题型1：传球问题 【例1.1.】 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________；________. 【例1.2.】 某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了该校男、女生共100名，其中部分数据如下： 性别 排球 喜欢 不喜欢 女生 30 30 男生 30 10 (1)经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168和48，男生的身高平均数和方差分别为178和30，根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差； (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在甲手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次）传球中球在甲手中的次数为随机变量，求的数学期望，并比较前次传球中球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小. 【例1.3.】 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷次后，球在乙手中的概率为． (1)求和； (2)求数列的通项； (3)设，数列的前项和为，若，证明：． 【例1.4.】 在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． (1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； (2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【例1.5.】 足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 题型2：随机游走问题 【例2.1.】 有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 【例2.2.】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 【例2.3.】 一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后仍在顶点的概率为__________． 【例2.4.】 （多选）如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，一只蚂蚁从点出发，每次沿着该三棱柱的一条棱的端点爬行到另一个端点，若它选择三个方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互独立. (1)记这只蚂蚁经过4次爬行后，其爬行的总路程为，求的分布列和数学期望； (2)求这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率. 【例2.6.】 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设点到达点的概率为，求． 【例2.7.】 马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有元时，最终欠债元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值； (2)证明是一个等差数列，并写出公差； (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 【例2.8.】 已知一个质点从边长为1个单位的正三角形的某个顶点出发，沿着该三角形的边移动，每次移动1个单位，具体规则如下： 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为． 设质点初始位置在顶点，请回答下列问题： (1)求第2次移动后质点位于顶点的概率； (2)设第次移动后质点位于顶点的概率为． （i）求； （ii）当足够大时，试估计第次移动后质点位于哪个顶点的概率最大，并说明理由． 题型3：摸球问题 【例3.1.】 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【例3.2.】 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作的数学期望记为 (1)求随机变量的分布列； (2)设用含的式子表示 (3)求 【例3.3.】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. (1)求; (2)求; (3)证明:. 【例3.4.】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，…次状态无关．已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求，的值； (2)证明：是等比数列，并求的通项公式； (3)求的数学期望． 题型4：掷骰子问题 【例4.1.】 （多选）甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是（    ） A．“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 B．“首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为 C．“在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为 D．“甲先掷出点”的概率为 【例4.2.】 甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【例4.3.】 甲、乙两人玩轮流掷骰子（质地均匀）的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子．现由甲第一次抛掷． (1)记前次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望； (2)记第次由乙掷骰子的概率为． （ⅰ）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求数列的前项和． 【例4.4.】 甲乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次. (1)甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率； (2)若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若，当时，看作0） 【例4.5.】 如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推． (1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率； (2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望； (3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，． 【例4.6.】 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立． (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率 (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为的概率为 （i）证明：为等比数列． （ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由 【例4.7.】 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【例4.8.】 一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 题型5：其他问题 【例5.1.】 为测试甲、乙两种新药的疗效，现进行动物试验，试验方案如下：共进行场试验，，每场包含若干轮对比试验，每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药在该场胜出．当一种药物胜出的场数超过半数，则认为该药有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分．乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．假设甲、乙两种药的治愈率分别为和． (1)一轮试验中甲药得分记为，求的分布列． (2)记甲、乙两种新药在每场试验开始时都赋予分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为该场甲药胜出”的概率，则，，，其中，，． （i）求； （ii）记为每场甲药胜出的概率，现拟增加两场试验，试分析能否提高甲药有效的概率？ 【例5.2.】 某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． (1)第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； (2)求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； (3)假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 【例5.3.】 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【例5.4.】 运用计算机编程，设计一个将输入的正整数“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将中的任意一个整数替换的值并输出的值，反复按回车键执行以上操作直到输出后终止操作. （1）若输入的初始值为3，记按回车键的次数为，求的概率分布与数学期望； （2）设输入的初始值为，求运行“归零”程序中输出的概率. 【例5.5.】 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入筐，规则如下：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖；若投掷n次/（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖.已知甲同学参加游戏每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为X，求X的分布列及期望； (2)当（且）时，求甲同学获奖的概率（用含有k的表达式表示）. 【例5.6.】 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为. (1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率； (2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小. 【例5.7.】 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.该类型题目是在A，B，C，D这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确的每个正确选项得3分，有三个选项正确的，每个正确选项得2分），有选错的得0分. (1)某考生有一道正确答案为ABC的多项选择题不会做，他给出的答案可以只含一个选项，只含两个选项或只含三个选项，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； (2)若某次测试共道多项选择题，已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.记事件为正确选项有个，第（且）题正确选项为个的概率为.正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若第题只选择B，C两个选项，设表示第题的得分，证明：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $