精品解析：北京师范大学第二附属中学2026届高三下学期模拟预测数学试卷

北京师范大学第二附属中学2026数学三模试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 3. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 5. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则是（） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数 C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数 8. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 9. 设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 10. 已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（      ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 13. 已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 14. 已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 15. 已知无穷数列满足下列三个性质： （i），； （ⅱ）对任意的，； （ⅲ）对任意的，都有. 则下列说法正确的是_____. ①当，时，； ②当时，存在单调递增的数列满足上述条件； ③当时，对任意的成立； ④对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有. 三、解答题 16. 如图，在三棱柱中，AB⊥平面，点E为的中点. (I)求证：平面ABC； (II)求二面角的大小. 17. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 18. 为了解某地中学生使用M、N两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的80名初中生和120名高中生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 初中生 高中生 使用 不使用 使用 不使用 M款 30人 50人 70人 50人 N款 60人 20人 40人 80人 假设所有学生对M、N两款模型是否使用互相独立．用频率估计概率． （1）从该地全体中学生中随机抽取1人，估计此人使用M款模型的概率P； （2）从该地全体初中生中随机抽取1人，全体高中生中随机抽取2人，记这3人中使用N款模型的人数为X，估计X的分布列； （3）假设该地某校初中生和高中生人数比为，从该校全体中学生中随机抽取1人，记其使用M款模型的概率估计值为，比较与（1）中P的大小．（结论不要求证明） 19. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的动直线过点，且与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 20. 已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与x轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，求证：． 21. 已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. （1）若，写出的值； （2）当时，若恒成立，求证：； （3）对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学第二附属中学2026数学三模试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故. 3. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为， 依题意，，所以. 故选：A 4. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 5. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 6. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 7. 已知函数，则是（） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是增函数 C. 偶函数，且在上是减函数 D. 奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】先确定定义域为且关于原点对称,求出判定为奇函数,再将函数变形为,由在上递增推出在上递减,从而选出答案D. 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 8. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 9. 设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先化简函数解析式，结合周期可得为正整数，利用对称轴可得答案. 【详解】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 10. 已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 二、填空题 11. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 13. 已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________． 【答案】 ①. ；（答案不唯一） ②. .（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题设条件可判断，继而得到，结合，可得的值，接着选择的值. 【详解】因且，则，故， 又，故或，而且且. 故答案为：；.（答案不唯一） 14. 已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 15. 已知无穷数列满足下列三个性质： （i），； （ⅱ）对任意的，； （ⅲ）对任意的，都有. 则下列说法正确的是_____. ①当，时，； ②当时，存在单调递增的数列满足上述条件； ③当时，对任意的成立； ④对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题干给出的三个性质，结合推导数列的递推关系，结合选项，分别对四个命题逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于①：当，，， 由（ⅲ）对任意的，都有，可得， 可得；； ，所以①正确； 对于②，若，若存在单调递增整数列，则必须， 即，且， 所以，因为，所以，此时， 所以，所以②错误； 对于③：当时，则 由；； ；， ， ， 且，， ，，即 ， 归纳可得且，所以，所以③正确； 对于④，由特征方程，可得 ， 解得，则， 其中，则， 假设，则， 因为是无理数，要使得所有，必须， 否则会产生无理数的部分，无法始终抵消， 因为，所以，因为，所以符号交替， 所以当充分大时，成立，所以④正确； 三、解答题 16. 如图，在三棱柱中，AB⊥平面，点E为的中点. (I)求证：平面ABC； (II)求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】(I) 证，在同一平面内用“数据说话”，证 用线面垂直的性质； (II) 以为原点，建立空间直角坐标系，求出 求出平面求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得. 【详解】(I)⊥平面平面，， 在中，， ， ，， 平面ABC； (II)由(I)知,则建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 故 ，. 令，， ，又平面的法向量为， . 由题知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为. 【点睛】本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小. 计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 17. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】（1）. （2）条件①：；条件③：. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可. （2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得有两解，不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可. 【小问1详解】 在中因为， 由正弦定理得， 所以，即， 又因为，，所以，. 【小问2详解】 设边上的高为， 条件①：因为，所以 ，， 所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定. 所以， 则，解得，即边上的高为. 条件②：由余弦定理得，即， 解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意. 条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定， 由余弦定理得，即，解得， 则，解得，即边上的高为. 18. 为了解某地中学生使用M、N两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的80名初中生和120名高中生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 初中生 高中生 使用 不使用 使用 不使用 M款 30人 50人 70人 50人 N款 60人 20人 40人 80人 假设所有学生对M、N两款模型是否使用互相独立．用频率估计概率． （1）从该地全体中学生中随机抽取1人，估计此人使用M款模型的概率P； （2）从该地全体初中生中随机抽取1人，全体高中生中随机抽取2人，记这3人中使用N款模型的人数为X，估计X的分布列； （3）假设该地某校初中生和高中生人数比为，从该校全体中学生中随机抽取1人，记其使用M款模型的概率估计值为，比较与（1）中P的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得总学生数及使用M款模型的人数，据此可得答案； （2）由题可得X可为0，1，2，3，然后由题可得对应概率及分布列； （3）由概率乘法及概率加法公式可得，然后可比较大小. 【小问1详解】 从表格数据可知，抽查的名中学生中有人使用M款模型，因此该地全体中学生使用M款模型的概率估计为． 【小问2详解】 设事件A为“该地全体初中生中随机抽取1人，此人使用N款模型”， 事件B为“该地全体高中生中随机抽取1人，此人使用N款模型”． 根据题中数据，P（A）估计为，估计为． 根据题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． 可估计为； 可估计为； 可估计为； 可估计为， X 0 1 2 3 P 【小问3详解】 设选中初中生为事件E，该生使用M款模型为事件F， 选中高中生为事件C，该生使用M款模型为事件D，由题， 又由题可得，，则， 则 19. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的动直线过点，且与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析 【解析】 【分析】（1）当点在椭圆的左顶点时，到的距离最短，可得，当点在椭圆的上顶点（或下顶点）时，的面积最大，此时为等边三角形，可得，从而可求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）易知直线的斜率存在，设其方程为，联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求得的中点的坐标，从而可得到线段的垂直平分线的方程，令，可求出点的坐标，从而可得到的表达式，然后根据弦长公式，可求出的表达式，从而可求得为定值，经验证当时，为相同的定值. 【详解】（1）由题意，当点在椭圆的左顶点时，到的距离最短，则， 当点在椭圆的上顶点（或下顶点）时，的面积最大，此时为等边三角形，则， 联立，解得， 故椭圆的方程为. （2）为定值. 证明：由题意可知，动直线的斜率存在，设其方程为， 联立，得. 设，，则，， 设的中点为，则，. 当时，线段的垂直平分线的方程为， 令，得，即， 所以. . 所以. 当时，的方程为， 此时，，，. 综上，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题，常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 20. 已知函数的定义域为，的导函数为，设直线是曲线在点处的切线，对任意的，直线与x轴都有唯一的交点，记交点的横坐标为，且满足，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上单调递增，求a的取值范围； （3）当时，求证：． 【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）曲线在处的切线方程为令，得，整理得： 当时， ，且， 则 因此 即 令， ， 令，. 时，，单调递增；时，，单调递减. ，故对所有成立，在上单调递减. ，故时，； 时，； 时，. 由 ，得. 当时，，故； 当时，，故； 当时，. 综上，对所有，成立. 【解析】 【分析】（1）先求的导函数，因为讨论单调性需根据导函数的符号变化，所以对参数分类讨论，结合导函数的零点分析的单调区间； （2）因为在上单调递增等价于对任意恒成立，分离参数分情况假设即可； （3）先根据切线方程求出与、 的关系，因为，所以可先求出的表达式，合的性质推导与的符号关系，最终证明不等式. 【小问1详解】 设 ，求导得 当时， 恒成立，故在上单调递增. 当时，令，得 . 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增. 综上时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 在上单调递增，等价于 对所有恒成立. 当时， ，恒成立. 当时，恒成立.令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 时，取得最小值 ，故. 当时，恒成立. 在单调递减，且时 ，时 ，故. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 21. 已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. （1）若，写出的值； （2）当时，若恒成立，求证：； （3）对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）直接按列比较即可； （2）时每一行相等元素的对数至少为，从而中所有相等元素的对数也即所有组合的之和至少为，结合即可得； （3）的所有列完全相同时即有最大值，分析每一行相等元素的对数的最小值，即可得到所有组合的之和的最小值，结合即可得的最小值. 【小问1详解】 比较的第列，相同行有第 行，故； 比较的第列，相同行有第行，故. 【小问2详解】 考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足， 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足 结合条件，得，即. 【小问3详解】 由定义可知，则，而当的所有列完全相同时， 对任意都有，此时，因此的最大值为. 设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为 ， 该式对同样成立， 以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值， 当为偶数时，时有， 当为奇数时，时有， 采用与（2）相似的分析可知所有组合的之和为， 又的最大值为，所以， 可得，代入即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $