精品解析：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026届高三考前自测数学试题

北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高2026届三模 高三数学 2026.05.22 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到集合，再根据补集的定义计算实数集下A的补集即可得到结果。 【详解】首先求解集合中的不等式： 由分式分母不为0，得； 故 ，等价于 且，即 且； 得或，结合的限制，可得 或, 根据补集的定义， 是实数集中不属于的所有元素构成的集合，因此 . 2. 抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由抛物线准线方程,可知此抛物线开口向上,焦点坐标为,则抛物线方程为.故A正确. 考点：抛物线方程. 3. 已知复数，，，则复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先展开化简等式左侧的复数乘积，利用复数相等的充要条件列方程求解的值，再根据虚部的定义得出结果. 【详解】因为 ，所以，即， 由，得： 解得，所以复数的虚部是. 4. 以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A： ，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数， 在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B： ，定义域为， ，是奇函数，所以B错误； 选项C： ，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为， ，是偶函数； 又， 且当时， ，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 5. 从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　) A. π B. 2π C. 4π D. 6π 【答案】B 【解析】 【思路点拨】作出图形,利用几何法求解. 【详解】如图, 圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3. 在Rt△OBC中可得:∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧长为2π. 6. 设是公差为1的等差数列，且，若，则（ ） A. 2026 B. 2027 C. 1013 D. 1014 【答案】D 【解析】 【分析】先由的公差推导的隔项递推关系，明确奇数项为公差1的等差数列，再代入计算. 【详解】已知是公差为1的等差数列，故对任意，有 . 由题设，可得，同理. 将代入的表达式，得： ， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为1的等差数列.  属于奇数项，首项，奇数项通项为：对，. 令，解得，所以. 7. 在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若角终边在第二象限，不妨令 ，此时 ，， ， 取特殊值，则，，，此时 ， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若 ， 若终边在轴上， ； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若 ，则 ，因 ，故 ，得 ，与条件矛盾，排除； 若 ，则 ， 取，则，所以 . 所以 可能成立； 若 ，则 ，，所以 不可能成立，排除； 若 ，则 ， ，所以 不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足 . 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 8. 高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：） A. 7 B. 17 C. 27 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解. 【详解】经过天后，张三超过李四的100倍，所以， 两边取以10为底的对数得，所以， 又，所以, 所以大约17天后，张三超过李四的100倍. 故选：B 9. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为为的中点，， 因为三点共线，可得，解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 . 故选：A. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由 可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求和的系数即可. 【详解】二项式展开式的通项为，， 当时， ， 当时， ， 所以 . 12. 若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的渐近线方程，求得，进而求得的离心率即可. 【详解】曲线，其渐近线方程为：； 曲线，其焦点在轴上，渐近线方程为，故， 故的离心率为. 故答案为：. 13. 已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简函数为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三角函数图象平移规则得到的解析式，结合奇函数的性质推导参数的取值，最终确定最小正值. 【详解】∵ ， 由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为. 将函数的图象向右平移个单位，可得： ， ∵ 对任意，都有，即， ∴ 是定义在上的奇函数， ∴ ， 即 ， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可转化为求该几何体外接球的体积，即长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球的体积. 【详解】由题意，该球形容器的体积最小时，该球形容器为长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球，其直径为， 半径为，体积为. 即该球形容器的体积的最小值为. 15. 已知函数，则下列说法中所有正确的序号是______． ① ②若函数有个零点，则实数的取值范围为 ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 ④对于实数，不等式恒成立 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合分段函数的递推关系，分区间分析函数的表达式与图像特征逐一判断即可. 【详解】先分析函数的基本性质： 当时，，即 图像为顶点在，端点为的三角形. 当时，，即对任意，时，，故， 图像为前一区间图像横向拉伸为原来的2倍，纵向压缩为原来的，区间内的最高点为. 逐一判断各结论： ① ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，故①正确. ② 函数有4个零点，等价于时有4个不同实根，即直线与的图像有个交点. 直线过原点，过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像仅交于最高点，共个交点. 过在的最高点时，斜率，此时直线与段的图像交于最高点，共个交点. ∴ 当时，直线与的图像有个交点，即函数有个零点，故②正确. ③ 当 时，的图像为三角形，底长为，高为， ∴ 与x轴围成的面积，故③错误. ④ 对任意，设，的最大值为，对应， 此时，其余点处均小于该最大值，故恒成立，即恒成立，故④正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边为，已知． （1）求； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【答案】（1） （2） 选条件①时高线长为，选条件②时高线长为，条件③对应的三角形不存在. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，再利用辅助角公式，结合三角形角的范围求出角A即可。 （2）选出其中一个条件，来利用正余弦定理和面积公式分别求出对应结果． 【小问1详解】 ， 根据辅助角公式可得 【小问2详解】 选择条件①，,，由正弦定理，代入得， 由余弦定理，得 解得（负值舍掉）， 边最长,设其高线是,所以 ，代入得 ，解得． 选择条件②，由面积公式，得， 由余弦定理，得 ,即 , 联立得或，两种情况最长边均为,面积均为， 故最长边上的高． 选条件③，由正弦定理得 , 不符合三角函数值域，故不存在． 17. 如图，已知三棱柱中，为正三角形，点在棱上，平面． （1）求证：为的中点； （2）若平面平面，侧面为矩形，，，求直线与平面所成角的正弦值及点到平面的距离． 【答案】（1）连接，交于点F，连接, 因为三棱柱的侧面​是平行四边形，平行四边形对角线互相平分， 故F是的中点， 又平面．平面， 且平面平面，故得， 在中，F是​的中点，，因此是​的中位线， 故E为的中点，得证. （2）； 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据线面平行的性质可得，再结合三角形的中位线性质，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，可得相关点坐标，求出平面的法向量，根据线面角以及空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为O，因为是正三角形，故， 又平面平面，交线为，因此平面， 以O为原点， 直线为x轴，方向为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 由E是的中点，得， ，,  设平面的法向量为， 则：，即，令，则可得， 设直线与平面所成角为θ，则； 设点到平面的距离为d，而， 则. 18. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试结果真实路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． （1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； （2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 （3）可以 【解析】 【分析】（1）统计传感器1判断正确的路段总数，结合古典概型概率公式求解即可. （2）先分别计算有障碍路段中传感器、传感器判断正确的概率，结合独立事件概率公式计算取不同值的概率，列出分布列后根据期望公式计算期望. （3）推导无障路段小汽车减速的概率表达式，结合传感器、的固定判断准确率分析极限情况即可得到结论. 【小问1详解】 由表格数据可知，传感器判断正确的路段数为： 真实无障碍时判断无障碍的个，真实有障碍时判断有障碍的个，共个. ∵ 总测试路段共个，由古典概型得：. 【小问2详解】 由表格可知，有障碍的路段共个. 在有障碍路段中，传感器判断正确的概率，判断错误的概率为， 传感器判断正确的概率，判断错误的概率为. 由题意可知的可能取值为，且两传感器判断相互独立. ∴ (传感器错且传感器错)， (传感器对传感器错)+(传感器错传感器对)， (传感器对且传感器对). 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【小问3详解】 结论：可以. 无障路段共个，传感器1判断为无障的概率为，传感器2判断为无障的概率为，两值固定. 小汽车不减速的条件为三个传感器都判断为无障，故减速的概率，其中为传感器3判断无障的概率，当最大取时，，故可以通过提高传感器3的判断正确率满足要求. 19. 已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，线段的长为． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程，求出即可. （2）设直线PB：，与直线方程联立求点的坐标，与椭圆方程联立求点的坐标，再由直线方程求得点的坐标，进而求出的关系即可求解. 【小问1详解】 椭圆的离心率为， 设椭圆的焦距为，则， 又，则，结合， 解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，直线AC的方程为， 易知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 由，解得，即点， 由消去得， 设点,则，即，， 则点， 直线的斜率为， 直线的方程为，令，得，则点， 则的斜率， 因此，即，所以. 20. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 21. 已知项数列，满足有.若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列.，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. （1）已知数列，数列，求： （2）证明：对于项数列，不存在阶逆序变换： （3）若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义求解对应的数列即可； （2）分①，；②对，，，，；③对，，，，，对阶逆序进行推出矛盾即可； （3）分项、项、项数列进行分类讨论，由（2）知，项数列不存在阶逆序变换，对于项数列，对的取值进行分类讨论，进行推理，可知项数列不存在阶逆序变换；对于项数列，利用反证法推出矛盾，可知的最小值为，然后对于项数列，列举出满足题设条件的变换，进行推理，可得出结论. 【小问1详解】 由于，，故，，，. 所以，即. 所以，即. 所以，即. 故，. 【小问2详解】 对数列的任意变换， ①若存在，有，则， 则不是的阶逆序变换； ②若对，由，，，， 则，，，， 所以，和是相同的数列. 若是的逆序排列，则也是的逆序排列，所以，不是阶逆序变换； ③若，有，，， 则，， 所以，不是的阶逆序变换， 综上所述，对于项数列，不存在阶逆序变换. 【小问3详解】 由（2）知阶数列不存在阶逆序变换， 对于项数列、、， （i）若，则，所以，变换不是的阶逆序变换； （ii）若， 当时，有，则，所以，变换不是的阶逆序变换； 当时，有，则， 所以，变换不是的阶逆序变换； （iii）若，同（ii）可知，变换不是的阶逆序变换； 所以，项数列不存在阶逆序变换； 对于项数列、、、、， 若存在阶逆序变换，则，，，，， （i）若，则对于数列、、、、，和上述的变换， 有，，，， 所以，这项数列、、、存在阶逆序变换，与（2）的结论矛盾； （ii）若，因为，则存在、，有，， 此时，，与是阶逆序变换矛盾， 所以，项数列不存在阶逆序变换. 对于项数列、、、、、，存在变换，使得、、、、、， 则、、、、、，、、、、、， 所以，项数列存在阶逆序变换. 综上所述，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决数列中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高2026届三模 高三数学 2026.05.22 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是 A. B. C. D. 3. 已知复数，，，则复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 4. 以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　) A. π B. 2π C. 4π D. 6π 6. 设是公差为1的等差数列，且，若，则（ ） A. 2026 B. 2027 C. 1013 D. 1014 7. 在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：） A. 7 B. 17 C. 27 D. 37 9. 已知是边长为6的等边三角形，点D是AB的中点，点G是线段CD上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则______． 12. 若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为__________． 13. 已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为______． 15. 已知函数，则下列说法中所有正确的序号是______． ① ②若函数有个零点，则实数的取值范围为 ③当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 ④对于实数，不等式恒成立 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边为，已知． （1）求； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 17. 如图，已知三棱柱中，为正三角形，点在棱上，平面． （1）求证：为的中点； （2）若平面平面，侧面为矩形，，，求直线与平面所成角的正弦值及点到平面的距离． 18. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试结果真实路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． （1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； （2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的传感器个数，求的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，线段的长为． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求的值． 20. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 21. 已知项数列，满足有.若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列.，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. （1）已知数列，数列，求： （2）证明：对于项数列，不存在阶逆序变换： （3）若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $