江苏省海安高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟1（自主命题）

**基本信息** 该试卷聚焦高二数学核心内容，通过芜湖景点概率、食堂汤品选择等真实情境，结合立体几何证明、函数恒成立等综合问题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、立体几何、二项式定理、概率、线性回归|自然数列集合运算（题1）、芜湖景点条件概率（题4），基础与情境融合| |多选|3/18|线性回归、排列组合、函数极值|残差分析判断（题9）、错位排列概率（题10），深化概念辨析| |填空|3/15|不等式最值、圆锥外接球、函数存在性|圆锥侧面展开求外接球（题13），空间想象与运算结合| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、函数单调性、概率递推、导数证明|食堂汤品概率递推模型（题18）、函数极值与不等式证明（题19），综合应用与逻辑推理|

江苏省海安高级中学高二数学期末模拟试卷1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合是自然数集，，则（   ） A． B． C． D． 2．若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ） A． B． C． D． 5．已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于线性回归的描述，下列表述正确的是（     ） A．回归直线一定经过样本中心点 B．相关系数越大，线性相关性越强 C．残差图的带状区域越窄，拟合效果越好 D．决定系数越接近，拟合效果越好 10．随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（    ） A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为 B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为 C．甲和乙恰好互换了卡片的概率 D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则， 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则（，）取得最大值时，________． 13．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 14．已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 （本小题满分13分）15．如图，三棱柱的棱长均相等，平面平面，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． （本小题满分15分）16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求实数a的最大值． （本小题满分15分）17．如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． （本小题满分17分）18．某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率． (2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列． (3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数． （本小题满分17分）19．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 《高二数学期末模拟试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A B B D AC ACD 题号 11 答案 AC 12．6或7 13． 14． 15.【详解】（1）取的中点，连接. 因为为的中点，所以且． 在三棱柱中，且， 又为的中点，所以且. 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为三棱柱的棱长均相等，且， 所以是等边三角形，又为的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 又平面平面，所以，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设三棱柱的棱长为2，利用勾股定理得， 则， ， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则，所以， 所以二面角的正弦值为．    16.【详解】（1）由，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，则， 若时，，则在上单调递增； 若时，，则在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，而在上单调递减． （2）由恒成立，即恒成立，即恒成立， 令，则， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，即实数a的最大值为． 17.（1）在正三棱柱中， 因为是正三角形，是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）方法一： 在正中，因为，所以，． 连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角， 所以，所以． 在正三棱柱中，，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得，所以， 所以的面积． 设点到平面的距离是，则， 解得，所以点到平面的距离是． 方法二： 设，过作交于点， 由（1）平面，平面，所以． 又因为， 所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． ,,, 设，因为平面， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以，所以． 因为，， 设平面的法向量， 因为，令，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以， 所以点到平面的距离是． 18.【详解】（1）设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤. 根据题意得， . （2）设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则， 根据题意得， 由全概率公式得 ，即， 不妨设，即， 所以，解得， 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）得，. 由题意，只需，即， 则，即. 显然必为奇数，偶数不成立. 当时，有. 当时，显然成立. 当时，，所以当时不成立. 因为单调递减，所以也不成立. 综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率. 19.【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 学科网（北京）股份有限公司 $