精品解析：江苏省南师附中、天一中学、海门中学、海安中学2024-2025学年高二下学期6月联考数学试题

南师附中、海安中学、海门中学、天一中学 2026届高二年级6月份数学学科测试试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 2. 已知直线平面，则“直线平面”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系和线面垂直的性质定理，分别判断充分性和必要性，判断正确选项. 【详解】充分性证明：已知直线平面，则存在直线平面，且， 因为直线平面，所以，则，充分性得证. 必要性证明： 如图所示，在长方体中，易知，且平面，平面，所以不具备必要性， 故选：A. 3. 已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【详解】由有， 所以. 故选：A． 4. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由乘法原理，每个学生均有3种选择方法，所以不同的报名方法数为， 故选：B． 5. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意选为一组基底，利用空间向量基本定理，先表示，利用即可求解. 【详解】由题意有：， ， 所以， 故选：C． 6. 已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，即可求得，利用导数研究单调性即可得极小值，又利用奇偶性即可求解. 【详解】，则，所以， 所以， 令有，由有，有， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以3是极小值点，又是奇函数，所以的极大值点为， 故选：B． 7. 已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D． 8. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B. 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知随机变量的方差为4，则的标准差是6 D. 已知随机变量，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由相关系数的性质可得A错误；由样本中心点计算相关系数可得B正确；由方差的性质可得C正确；由正态分布的对称性可得D错误. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1．所以A错误； 对于B，，，所以，所以，B正确； 对于C，已知随机变量的方差为4，则的方差是，所以标准差为，故C正确； 对于D，由，由对称性可得， 所以，所以D错误. 故选：BC． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为， 所以，A正确； B.令，得， 令，得， 两式相加得，，B错误； C.令，得， 所以，C正确； D.等式两边对求导得：， 令，得，D错误. 故选：AC. 11. 设事件，满足，则（ ） A. 与可能独立 B. 与可能互斥 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合根据根据独立事件概率的性质判断A；举例判断B；结合已知根据条件概率公式和对立事件概率公式判断C；结合选项C，根据全概率公式及条件概率公式、对立事件概率公式判断D. 【详解】若独立，则也相互独立，则与题设矛盾，所以A错误； 当与对立（必互斥）时，满足，成立，所以B正确； 因为，所以，所以， 所以，则，所以C正确； 所以，所以， 所以，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的奇偶性及，求得，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以． 故答案为： 13. 的展开式的常数项是___________． 【答案】70 【解析】 【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可. 【详解】的通项公式为； 当时，中的常数项为； 当时，中的常数项为； 当时，； 所以的展开式的常数项为； 故答案为：70. 14. 已知，，且．则满足条件的集合共有______个． 【答案】410 【解析】 【分析】由题意，除以3的余数相同，按照，除以3的余数相同，，被3除余1，，被3除余2分类讨论，结合组合数的运算求解即可. 【详解】因为，所以能被3整除，所以，除以3的余数相同， 中的元素能被3整除的整数有，被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当，都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或，可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， 所以的个数为， 当，被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或，可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， 所以的个数为， 当，被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个， 或，可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， 所以的个数为， 所以满足条件的集合共有个． 故答案为：410 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以， 因为四棱锥的底面是矩形，所以， 所以与相似，故， 因为，所以，故， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似证得，结合线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 因为四棱锥的底面是矩形，所以. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，此时， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 为调查学生喜欢在食堂就餐是否和性别有关，学校随机调研了男女生各100人，经统计得到如下列联表： 男 女 喜欢 80 40 不喜欢 20 60 （1）依据的独立性检验，判断学生喜欢在食堂就餐是否与性别有关？ （2）为听取学生对食堂的建议，从学生中抽取9人召开座谈会，并给其中3名同学赠送礼品，每人1份（其余人员仅赠送餐券）．已知参加座谈会的学生中有且只有4名学生来自高一，求高一这4名学生中得到礼品的人数的分布列和数学期望． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 附：，其中 【答案】（1）有的把握认为喜欢食堂就餐与性别有关． （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）由卡方的计算可判断； （2）列出的可能取值，由古典概型和组合数计算相应的概率，列出分布列，计算期望可得. 【小问1详解】 提出假设：喜欢食堂就餐与性别无关． ， 所以有的把握认为喜欢食堂就餐与性别有关． 【小问2详解】 高一4名学生中得到礼品的人数的可能取值为，，，， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知． （1）讨论的单调性； （2）当时， ①证明：函数图象关于对称； ②求的值． 【答案】（1）答案见解析. （2）①证明见解析；②0. 【解析】 【分析】（1）求导函数，按照、和分类讨论，研究函数的单调性. （2）①求出，即可证明； ②利用倒序相加法求和即可得解. 【小问1详解】 的定义域为，． ①当时，，在上单调递增； ②当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ③当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 ①证明：依题意，， 则，所以， ，所以， 所以，所以函数图象关于对称； ②设，则，， 所以，的值为0． 18. 某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下： 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程； （2）五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：经验回归方程，其中，． 样本相关系数． 【答案】（1），与线性相关性很强；． （2） 0 1 2 3 4 数学期望为1，方差为. 【解析】 【分析】（1）由题意求出相关系数并求出回归方程即可； （2）由全概率公式计算，利用二项分布计算概率，列出分布式，由公式计算期望和方差可得. 【小问1详解】 依题意，，而，，， ． 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合． ， 因此，回归方程为． 【小问2详解】 “甲从东门出景区”为事件，“甲从南门进景区”为事件，“甲从东门进景区”为事件，“甲从北门进景区”为事件， 由题意可得，，，，， 由全概率公式得： 同理乙、丙、丁从东门出景区的概率也为， 为4人中从东门出景区的人数，则， ，，，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 ，． 19. 设，对任意，成立，则该函数称为“级函数”，其中为函数的导数． （1）判断函数和，是否为“级函数”，并说明理由； （2）记（1）中的“级函数”为． ①若，，使得，证明：； ②若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是“级函数”，是“级函数”，理由见解析． （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）由函数新定义判断可得； （2）①由导数得到的单调性，再用分析证明法构造函数，利用导数证明极值点偏移可得； ②结合题意由分析证明法得到，再分类讨论时，构造函数求导分析单调性和最值；时，利用抽象函数的单调性分析可得. 【小问1详解】 记，， 则，， 当时，又，有， 故不是“级函数”； 记，则， 有，故是“级函数”． 【小问2详解】 ①设，则， 易得在上单调递增，在上单调递减， 其图象为 若，，使得， 欲证，即证， 由图不妨设，所以， 又在上单调递减，所以只需证明， 又，即证明， 构造函数，， 则等价于证明在上恒成立， ，因为， 所以，所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以得证. ②由题意，， 则，，即，即， 因为恒成立，所以， 又时不等式恒成立，有，解得， 故. 此时，． 由①可知在上是增函数，在是减函数， （Ⅰ）当时，即时，得，即， 令，则，可得， 所以，在上单调递减，在上单调递增． 所以， 所以． （Ⅱ）当时，即，时， ，又，有， 且由①可知存在，使得，， 即， 此时恒有． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师附中、海安中学、海门中学、天一中学 2026届高二年级6月份数学学科测试试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线平面，则“直线平面”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B. 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知随机变量的方差为4，则的标准差是6 D. 已知随机变量，若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 设事件，满足，则（ ） A. 与可能独立 B. 与可能互斥 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则______． 13. 的展开式的常数项是___________． 14. 已知，，且．则满足条件的集合共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 为调查学生喜欢在食堂就餐是否和性别有关，学校随机调研了男女生各100人，经统计得到如下列联表： 男 女 喜欢 80 40 不喜欢 20 60 （1）依据的独立性检验，判断学生喜欢在食堂就餐是否与性别有关？ （2）为听取学生对食堂的建议，从学生中抽取9人召开座谈会，并给其中3名同学赠送礼品，每人1份（其余人员仅赠送餐券）．已知参加座谈会的学生中有且只有4名学生来自高一，求高一这4名学生中得到礼品的人数的分布列和数学期望． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 附：，其中 17. 函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知． （1）讨论的单调性； （2）当时， ①证明：函数图象关于对称； ②求的值． 18. 某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下： 日期 5月1日 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程； （2）五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：经验回归方程，其中，． 样本相关系数． 19. 设，对任意，成立，则该函数称为“级函数”，其中为函数的导数． （1）判断函数和，是否为“级函数”，并说明理由； （2）记（1）中的“级函数”为． ①若，，使得，证明：； ②若，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $