精品解析：浙江省柯桥中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

柯桥中学2025学年第二学期高一年级期中考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，即， 又，故. 2. 某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A. 89和 B. 和 C. 90和 D. 和92 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 因为，所以这组数据的第25百分位数为； 平均数为. 3. 已知，，为向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，为向量，记命题：，命题：或. 若成立，则或，当时，，则； 当时，，因此，即是或的必要条件. 反之，若成立，即，可能与垂直且均非零向量， 此时且，故不能推出，即不是的充分条件. 所以“”是“或”的必要不充分条件. 4. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，求得，进一步可得，由正弦定理求得，又为等腰直角三角形，求得. 【详解】在中，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理得，所以， 又为等腰直角三角形，所以. 5. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（    ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，由与都在平面内可判断；对B，由题可得，进而判断；对C，设，，利用向量运算求得与所成角的余弦值，进而判断；对D，由题可证得平面，进而判断. 【详解】对于A，因为与都在平面内，所以与不是异面直线，故A错误； 对于B，因为是正三角形，所以，即与不垂直，所以不可能垂直平面，故B错误； 对于C，设，，则， 又， 所以， 设与所成角为，则， 因为与的大小关系不确定，所以与所成角的余弦值不确定，故C错误； 对于D，因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确. 6. 如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】用两种方式表示点的位置，然后利用向量基，底不共线，对应系数相等，得到. 【详解】依题意，, 所以，所以， 又因为，设， 所以， 即，因为，不共线，所以，所以， 所以. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变换公式化简可得，代入计算即可得角的大小. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，又，所以， 因为， 所以， 即， 又，所以， 所以或（舍）， 则，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 若A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若，则一定是等腰三角形 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，，所以的共轭复数为，故B正确； 对于C，因为，根据复数的几何意义，可知以为邻边的平行四边形对角线相等， 所以该平行四边形为矩形，则，所以一定是直角三角形，不一定是等腰三角形，故C错误； 对于D，由题复数的共轭复数也是该方程的根，所以，所以，故D错误. 10. 如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A. 三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B. 无论点N在何处，始终有平面成立． C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D. 平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 边上的中线长为 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助三角形内角和关系、两角和的正弦公式、正弦定理将角化边后计算即可得A；利用两角差的正弦公式与A中所得计算即可得B；借助余弦定理与A中所得计算即可得C；利用C中所得，结合三角形三边关系计算即可得D. 【详解】对A：， 由正弦定理可得，由， 则，故A正确； 对B：由正弦定理可得， 则， 由A知，则， 故， 故或， 由可知与同号， 若同为负数，则，不符， 故、同为正数，故不符，舍去， 故，故B错误； 对C：设中点为，则，即， 故，即， 由余弦定理可得，， 故，整理得， 由A知，，则，整理得， 故，故，故C正确； 对D：由C知，，则，故， ，则，整理得， 左右同除，可得，解得； 综上可得的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，，， 所以，所以的周长为. 13. 如图，在等腰梯形中，，，，，点是梯形的腰上的一动点，则的最大值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作，以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】如图，过点作，垂足为， 因为等腰梯形，，所以，， 以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为6. 14. 在长方体中，其中是正方形，已知，．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用长方体中的垂直关系和面积相等求出，连接、过作，利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义，得到，利用面积相等求出，化简，求出的范围. 【详解】设，， 在中，由等面积法得点到直线的距离， 连接，过作， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，即是点到平面的距离， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点． （1）用表示； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为点D为的中点，所以， 因为点E在上，且，所以. 【小问2详解】 . 16. 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； （3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）；； （2）； （3）；. 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1即可求解a，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解； （2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解. 【小问1详解】 由题可得， 所以样本数据的平均数约为； 【小问2详解】 成绩较高的前的学生对应的频率为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获得该荣誉证书的最低分数为x，则； 【小问3详解】 由题可得成绩在和的频数分别为， 所以这两组数据的总平均数和方差. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接，交于点，连接， 四边形为正方形，是的中点， 又为的中点，， 又平面，平面，平面； （2）底面为正方形，． 平面平面，且平面平面，平面， 平面，平面，， 又是正三角形，为的中点，， ，平面， 平面． 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用中位线的性质和线面平行的判定定理可证； （2）由面面垂直的性质定理可证平面，再由线面垂直的性质可证，最后由面面垂直的判定定理可证平面平面； （3）取的中点O，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角的方法计算可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点O，连接， 因为，所以， 又因为侧面底面，且侧面底面，平面， 所以平面， 如图，建立空间直角坐标系， 设，则. ， 设是平面的法向量， 则，即， 令，解得，， 设与平面所成角为，则. 18. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）由余弦定理结合基本不等式求得，进而求得答案； （3）设，在和中，分别由余弦定理结合，可得，在中，由余弦定理可得，进而求得，利用三角形面积公式得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故， 又因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； 【小问3详解】 如图所示： 设，则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以. 19. 将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体． （1）证明：； （2）若二面角和的平面角互补，求； （3）证明：存在四面体，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于． 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接，因为，所以，同理有， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） （3）证明如下： 我们只需要证明存在四面体， 其内切球半径， 设四面体的体积和表面积分别为 和，利用等体积法可得， 其中， ， 由（1）可知，代入得， 所以​，取，可得， 此时，因为， 且， 所以即，命题得证. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直性质证明； （2）先根据定义得到两个二面角的平面角，再运用余弦定理写出表达式，并结合两个平面角的关系列出方程求解即可； （3）将问题转化为内切球问题，然后利用等体积法写出半径表达式，通过选取合适的折叠角使得半径满足条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知且，所以即为二面角的平面角，设， 取中点，连接，因为，所以，同理有， 所以即为二面角的平面角，设， 在中，，设， 由余弦定理有， 在中，，同理， 由余弦定理有，依题意有， 则即，令，得到，化简得， 解得，在中有，所以，所以， 所以即. 【小问3详解】 略 【点睛】几何体内部点到平面距离的问题往往可以转化为内切球相关，到顶点距离的问题则可以和外接球构建联系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯桥中学2025学年第二学期高一年级期中考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A. 89和 B. 和 C. 90和 D. 和92 3. 已知，，为向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（    ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 6. 如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 若A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若，则一定是等腰三角形 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A. 三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B. 无论点N在何处，始终有平面成立． C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D. 平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 边上的中线长为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为_________． 13. 如图，在等腰梯形中，，，，，点是梯形的腰上的一动点，则的最大值是______． 14. 在长方体中，其中是正方形，已知，．设点到直线的距离和到平面的距离分别为，，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点． （1）用表示； （2）求. 16. 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； （3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 18. 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 19. 将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体． （1）证明：； （2）若二面角和的平面角互补，求； （3）证明：存在四面体，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $