精品解析：浙江省柯桥中学2024-2025学年高一创新班下学期3月月考数学试卷

2024学年第二学期高一（下）实验班数学3月月考卷（3.27） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“直线与直线平行”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知点 是正四面体底面 内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知双曲线的离心率为，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 4. 我们把向量 叫做直线 的正交单位方向向量. 设 分别是直线 与直线 的正交单位方向向量，且 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以 的实轴为直径的圆记为 ，过作 的切线分别交 的左右两支于 ， 两点．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知点，若点 满足，则点 到直线 的距离的最大值为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ） A. 存在唯一的实数δ，使点N在直线 上 B. 若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C. 若，则直线经过线段M，N的中点； D. 若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的右焦点为 ，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆 相交于两点，则（ ） A. 椭圆 的短轴长为 B. 为定值 C. 当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 10. 已知，圆与直线交于两点， 为坐标原点，则（ ） A. 时， B. 过点 向圆 所引的切线长为 C. 时， 中点的轨迹长度为 D. 11. 在棱长为2的正方体中， 为面内以 为直径的半圆上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 与平面 所成角的最大值的正弦值为 C. 的最小值为 D. 二面角的最小值的正切值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知，，若直线上存在点P，使得，则 的取值范围为_____________. 13. 已知长方体中，，点 为侧面内任一点（含边界），且点 到点的距离与到面 的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为__________． 14. 已知是椭圆的左、右焦点， 是 上一点．过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若的交点 在 上（均在 轴上方，且，则 的离心率为__________． 四､解答题：本大题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知定点，定直线，曲线 上有一动点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且． （1）求曲线 的方程； （2）若点 在 轴的右侧，，求周长的最小值． 16. 已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N． （1）求a的值及直线l的方程； （2）若是等腰直角三角形，求直线 的方程． 17. 已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，． （1）求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： （2）设是椭圆上的动点，且直线关于直线 对称，求直线的斜率. 18. 如图，四棱锥的底面为正方形，，且. （1）求证：平面平面. （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点 到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求 的方程； （2）过 的右焦点 的直线交于两点，线段 的垂直平分线交 于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线 的斜率存在且不为0，设线段 的中点为 ，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高一（下）实验班数学3月月考卷（3.27） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“直线与直线平行”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行得出 的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当直线与直线平行时，，且，解得 当时，直线为，直线为，两直线平行. 因此“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 2. 已知点 是正四面体底面 内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面 ，故 为等边三角形 的中心， 记 的中点为 ，则， 故 ， 故，因此， 故选：C 3. 已知双曲线的离心率为，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线离心率及参数关系求得，再写出渐近线方程和焦点坐标，应用点线距离公式求焦点到渐近线的距离. 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 4. 我们把向量 叫做直线 的正交单位方向向量. 设 分别是直线 与直线 的正交单位方向向量，且 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正交单位方向向量定义分别得出向量，再根据向量垂直计算即可. 【详解】由题意可知 ， 因为 ，所以 ，解得 . 故选：C. 5. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以 的实轴为直径的圆记为 ，过作 的切线分别交 的左右两支于 ， 两点．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，故，，由双曲线定义得到方程，求出，求出离心率. 【详解】设直线 与 的切点为 ，连接 ， 则 ， 因为，所以， 而，所以，， 而，所以， 所以，． 因此，所以， 离心率. 故选：B． 6. 已知点，若点 满足，则点 到直线 的距离的最大值为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先根据可得点 的轨迹方程为，又直线 过定点，故最大距离为圆心到定点的距离与半径的和，进而可得. 【详解】令，由，可得， 可得点 的轨迹方程为，其中圆心，半径为2. 而直线过定点， 故距离的最大值为. 故选：D 7. 在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ） A. 存在唯一的实数δ，使点N在直线 上 B. 若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C. 若，则直线经过线段M，N的中点； D. 若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证． 【详解】解：对于 ，化为：，即点，不在直线 上，因此 不正确． 对于 ，，则，即过 ， 两点的直线与直线 的斜率相等，又点，不在直线 上，因此两条直线平行，故 正确； 对于 ，，则，化为，因此直线 经过线段 的中点，故 正确； 对于 ，，则，则点 ， 在直线 的同侧，故 正确； 故选A 【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接 ， 在中，因为是 的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的右焦点为 ，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆 相交于两点，则（ ） A. 椭圆 的短轴长为 B. 为定值 C. 当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出短轴长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出 的坐标，再求解平行四边形面积判断C，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解D即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的短轴长为，故A正确； 对于B，如图，设椭圆C的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点 的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即 的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，圆与直线交于两点， 为坐标原点，则（ ） A. 时， B. 过点 向圆 所引的切线长为 C. 时， 中点的轨迹长度为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出圆心坐标及半径，再结合圆的相关性质逐项求解判断. 【详解】圆的圆心，半径 ， 对于A，当时，点到直线 的距离，则，A错误； 对于B，切线长为，B正确； 对于C，当时，点，令弦 中点为 ，则，点 的轨迹是以 为直径的半圆 （不含端点），轨迹长度为，C正确； 对于D，由消去 得， 设，则，，D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为2的正方体中， 为面内以 为直径的半圆上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 与平面 所成角的最大值的正弦值为 C. 的最小值为 D. 二面角的最小值的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，再利用向量法对各个选项求解即可. 【详解】如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于A，， 则， 所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为轴垂直平面 ， 则平面 的法向量可取， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以与平面 所成角的最大值的正弦值为，故B错误； 对于C，， 则， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为轴垂直平面， 则平面的法向量可取， ， 设平面的法向量为， 则有， 令，则， 所以， 设二面角为，由图可知为锐角， 则 ， 所以， 则 ， 当，即时，取得最小值， 所以二面角的最小值的正切值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知，，若直线上存在点P，使得，则 的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得出点 的轨迹方程，再根据直线与点 的轨迹有公共点，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解 的取值范围. 【详解】设点，已知，，则，. 因为，可得：，整理得. 所以点 的轨迹是以为圆心， 为半径的圆.  因为直线上存在点 满足条件，所以直线与圆有公共点. 可得圆心到直线的距离. 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，则. 两边同时平方可得，即.得. 所以不等式的解集为，即 的取值范围是.  故答案为：. 13. 已知长方体中，，点 为侧面内任一点（含边界），且点 到点的距离与到面 的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，若且，可得，再应用向量法求 到面的距离的最大值，最后应用三棱锥的体积公式求最大体积. 【详解】由题意，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，， 若且，则，整理得， 由，，是面的一个法向量， 则，取，则， 又，则 到面的距离， 综上，，故 时， 显然是边长为的等边三角形，故， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 14. 已知是椭圆的左、右焦点， 是 上一点．过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若的交点在 上（均在 轴上方，且，则 的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，可得的方程，联立方程求得，结合对称性可知，进而列式求，即可得离心率. 【详解】设，，由题意可知：， 则直线的斜率，可知的方程为， 同理可得：的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在 上，可知关于x轴对称， 且，则，可得， 又因为，即， 由题意可得：，整理得， 解得或（舍去），则， 所以 的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 四､解答题：本大题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知定点，定直线，曲线 上有一动点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且． （1）求曲线 的方程； （2）若点 在 轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线 的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【小问1详解】 设．因为，所以， 整理得，即曲线 的方程为； 【小问2详解】 设曲线 的左焦点为，则． 因为点 在双曲线 的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 16. 已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N． （1）求a的值及直线l的方程； （2）若是等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）问通过公切线的条数判断圆与圆的位置关系； （2）问通过直线的垂直关系求直线的方程． 【小问1详解】 可化为，圆心，半径， 可化为，圆心，半径． 因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得． 两圆相减，得公切线l的方程为，即． 【小问2详解】 由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故， 由（1）可知直线 的斜率，所以直线的斜率． 设直线的方程为， 所以点到直线的距离，解得或． 所以直线的方程为或． 17. 已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，． （1）求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率： （2）设是椭圆上的动点，且直线关于直线 对称，求直线的斜率. 【答案】（1）方程为,离心率为； （2） 【解析】 【分析】（1）将两点代入椭圆方程解方程即可求得椭圆方程和离心率； （2）设直线 的方程并与椭圆联立，解得两点的坐标表示，即可求得的斜率. 【小问1详解】 根据题意将代入椭圆方程可得，解得； 再代入点坐标，可得，可得； 所以， 因此椭圆的标准方程为，离心率为. 【小问2详解】 如下图所示： 因为两点关于 轴对称，且直线关于直线 对称，所以直线的斜率均存在，且互为相反数， 即； 设，则直线 的方程为， 联立，可得， 显然是该方程的根，所以，可得； 即 因为， 同理可得， 可知 因此直线的斜率为. 18. 如图，四棱锥的底面为正方形，，且. （1）求证：平面平面. （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点 到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在中，，得， 则，即， 因为四边形 为正方形，则， 又因，平面，平面，则平面， 又因平面，则平面平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理解题； （2）（i）建立直角坐标系，根据，得出点 坐标，再求平面的法向量，最后利用距离公式即可； （ii）求平面的法向量，再求，进而即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以 点为坐标原点，分别为轴，过点 且垂直于平面 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 得，即， 因， ，且， 则， 因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取 ，则， 则点 到平面的距离为. （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求 的方程； （2）过 的右焦点 的直线交于两点，线段 的垂直平分线交 于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线 的斜率存在且不为0，设线段 的中点为 ，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）① 证明:设四边形的面积为 ， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线 的垂直平分线段 ，所以， 当直线 与 轴重合时，此时，， ． 由圆的性质知直线 过坐标原点 ，由椭圆的对称性知． 当直线 与 轴不重合时，设直线 方程为． ，， ． ，则直线 的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值，定值； ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆中相关量的几何性质列出关于求解即可； （2）（ⅰ）从直线 与 轴重合这一特殊入手，此时求得．当直线 与 轴不重合时，设直线 方程为，通过几何对称性和椭圆的性质，计算求得，，通过面积公式计算即可证得结论; （ⅱ）由（ⅰ）知，而,继而通过换元法结合基本不等式可求得最小值. 【小问1详解】 根据题意，得，解得， 所以椭圆 的方程为． 【小问2详解】 ①四边形的面积为定值，证明略. ②易知，，又， 直线 的斜率存在且不为0， ． 由（ⅰ）知， 设，则， ． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $