精品解析：浙江省余姚中学2025-2026学年第二学期学期期中考试高一数学试卷

余姚中学2025学年第二学期期中考试高一数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若在中，，则等于 （ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 6. 正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（ ） A. 14 B. C. 10 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 是方程的一个根 C. 若复数满足，则 D. 若，则 10. 动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过的定点是 B. 点C的轨迹是一个完整的圆 C. 的最小值为2 D. 的取值范围为 11. 已知四棱锥的高为2，底面是边长为2的正方形，，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 四棱锥表面积的最小值为 D. 若四棱锥存在内切球，则该球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 13. 已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是_____． 14. 正方体的棱长为4，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的9倍，则三棱锥体积的最大值是_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 17. 如图，在平面四边形中，，且. （1）若，求； （2）求四边形面积的最大值. 18. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）用，表示三棱锥的体积； （3）设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2025学年第二学期期中考试高一数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部概念即可求得结果. 【详解】因为复数，则的虚部是， 故选：B 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的定义可得直线的一个方向向量为，通过判断各选项中的向量与是否共线，可得正确选项. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 所以直线的一个方向向量为. 对于A，，所以与共线，所以A正确； 对于B，，所以与不共线，所以B不正确； 对于C，，所以与不共线，所以C不正确； 对于D，，所以与不共线，所以D不正确. 故选：A. 3. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解. 【详解】因为，即， 又点平分线段， 所以. 故选：D. 4. 若在中，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用正弦定理的边角转化可得，再利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】根据正弦定理有， 由余弦定理得， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、边角互化，需掌握定理的内容，属于基础题. 5. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 6. 正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以. 7. 已知向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，在平面直角坐标系中令，再求出点的轨迹，利用对称结合两点间距离最短求出最小值. 【详解】由，得，而，解得， 则，又，解得， 在平面直角坐标系中，取点，令向量，则， ，设，， 由，得，因此点的轨迹是直线， 令点关于直线的对称点为， 则，解得， 令，因此， 当且仅当是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值为. 8. 已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（ ） A. 14 B. C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用极化恒等式：，根据长方体的几何性质，可得答案. 【详解】取中点为，由极化恒等式，. 又是长方体表面上任意三点， 所以当位于体对角线的两个端点时，最大，最大值为； 此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为1， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 是方程的一个根 C. 若复数满足，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数加法求解判断A；利用方程根的意义及复数乘方求解判断B；利用复数乘方求解判断C；利用复数的几何意义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由， 得复数是方程的一个根，B正确； 对于C，当时，，，C错误； 对于D，由，得复平面内复数对应点与复数对应点的距离为2， 则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，是点与原点的距离， 而，因此，即，D正确. 10. 动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过的定点是 B. 点C的轨迹是一个完整的圆 C. 的最小值为2 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，将的方程整理为含参数的分组形式，令的系数和常数项同时为0，解得定点判断；对B，由两直线恒垂直，交点轨迹本是以两直线定点连线为直径的圆，但圆上的点无法通过有限实数取到；对C，将分式化简为​，利用几何意义求出的范围，进而求得原式最小值为；对D，将转化为乘以点到直线的距离，得最小距离对应点取不到，最大距离对应点存在，进而得取值范围. 【详解】对于A：对动直线整理得，令​，得定点， 代入方程验证恒成立，A正确； 对于B：对，整理得，令，得定点； 对任意，由可知， 所以交点的轨迹是以为直径的圆，圆心为中点，又， 所以圆方程为， 但点满足圆方程但无法通过有限实数取到， 轨迹缺一个点，不是完整的圆，B错误； 对于C：，是点与定点连线的斜率， 连线方程为，则，解得， 因此原式最小值为，且对应点在轨迹上，能取到最小值，C正确； 对于D：（是点到直线的距离）， 圆心到直线的距离，圆半径为， 因此， 距离为对应切点，不在轨迹上，故； 最大距离对应点，在轨迹上，因此，D正确. 11. 已知四棱锥的高为2，底面是边长为2的正方形，，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 四棱锥表面积的最小值为 D. 若四棱锥存在内切球，则该球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定及性质定理结合条件可得的高可判断A；由三角形全等可判断B；由基本不等式和棱锥表面积的计算可判断C；由棱锥内切求的性质结合等面积法可得半径可判断D. 【详解】对于A，因为，所以在底面的射影在直线的垂直平分线上，过作垂直于，连接， 由题意可得，又平面，所以平面， 因为平面，则，，的面积为，故选项A正确； 对于B，由题意可得，所以，故选项B正确； 对于C，过分别作，的垂线，垂足分别为E，F， 所以当最小时，四棱锥表面积取得最小值，不妨设， 则，当且仅当时取等号，即为底面正方形的中心时， 所以四棱锥表面积的最小值为四个全等三角形面积加底面面积，即，故选项C错误； 对于D，若四棱锥存在内切球，则该球与平面，平面，平面，平面，平面均相切，底面为正方形，则球心在二面角的角平分面上，即球心在直线（为底面正方形的中心）， 则直线上的点到四个侧面的距离均相等，所以四棱锥为正四棱锥， 过作垂直于，作垂直于，所以的内切圆半径等于该球半径，设为， 由等面积法可得，解得，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正弦定理计算可得，再由圆的面积公式即可得. 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 13. 已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量条件，确定点是边上的三等分点，从而可求与的面积之比． 【详解】因为，所以，所以点在边上，且是靠近点一侧的三等分点，所以和的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题. 14. 正方体的棱长为4，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的9倍，则三棱锥体积的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由条件先证明，结合面积关系可得，建立空间直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值. 【详解】正方体中，平面，平面，所以. 又平面，平面，所以. 所以， 又，所以. 因为的面积是面积的9倍，所以. 以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，. 设点的坐标为，则，， 由，得，即， 整理得，，，， 所以点的轨迹方程为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧， 过点作. 因为平面，所以平面，即平面， 所以即为三棱锥的高，， 所以. 当时，取最大值，为. 故三棱锥的体积最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 16. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标； （2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果. 【小问1详解】 ，， 由得直线： 又在中线：上， 联立，解得 【小问2详解】 在直线：上，设 是中点，， 在直线：上， ，解得 由、，得直线： 点到直线的距离：. 17. 如图，在平面四边形中，，且. （1）若，求； （2）求四边形面积的最大值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用余弦定理可得，再表达出四边形面积，再根据辅助角公式求解最大值即可 【小问1详解】 在中，，故，即，因为，故. 【小问2详解】 在中，. 又的面积为， 的面积为， 所以四边形的面积为，其中. 故四边形面积的最大值为. 18. 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）使用两点间的斜率公式求解； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，消元，使用韦达定理求解； （3）直线与圆相交几何法计算弦长，使用四边形的面积公式或三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； 【小问2详解】 根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得 ， 直线恒过轴上定点； 【小问3详解】 设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得 ，， 又，， 四边形的面积，又，令 因为在上是增函数，，，所以， 即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 19. 如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）用，表示三棱锥的体积； （3）设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而可证. （2）根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到平面，即为三棱锥的高，根据二面角的定义得到，结合三棱锥的体积公式求解即可. （3）求出三棱锥的表面积及体积，得到三棱锥内切球的半径，结合放缩法即可证明. 【小问1详解】 取中点，连接，. 因为，分别为，的中点，则，. 因为，所以，. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以． 【小问2详解】 由（1）知，平面， 又平面，所以平面平面，交线为． 过作于. 因为平面，所以平面，即为三棱锥的高． 因为、分别为、中点，所以，． 又平面，所以即为二面角的平面角，则， 在中，. 因为为中点，所以. 所以. 【小问3详解】 作于，由（2）知，， 过作交于，则，四边形为矩形， 又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 设的高，所以， 又，，所以， 即，， 所以三棱锥的表面积 ， 又， 所以三棱锥的内切球半径， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $