重庆市南开中学校2026届高三5月质量检测数学试题

高2026届高三年级质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3.已知等差数列满足，，则（ ） A.18 B.16 C.14 D.12 4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A.3 B. C.8 D. 5.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（ ） A. B.3 C. D. 8.已知圆台，上底面直径AB为2，下底面直径CD为4，当时，直线AC与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9.已知函数，则（ ） A. B. C.当时， D.，不等式恒成立 10.已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于M、N两点，直线MN与以短轴为直径的圆相切于点，，则（ ） A.直线MN的斜率 B.椭圆的离心率为 C. D.面积为 11.已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A.当时， B.函数图象的对称轴为 C.函数的最小正周期为 D.若函数的最大值为1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知平面向量，若，则__________． 13.甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束．甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是，每局比赛结果相互独立，记事件为四局结束比赛，则__________；又记事件为甲获得比赛胜利，则__________． 14.密码学是一种编译密写技术的科学，其中原式信息为原码，对应的保密信息为暗码，将明码转化为暗码的方式称为加密算法．现有某加密算法：通过特定的坐标转换公式，将如图所示的数字矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标．将位于第行第列的数字的坐标记作，如数字5的坐标为；记函数为．该加密算法的转换公式为：，如坐标为的原码5，在算法下被转化为坐标为的暗码9．已知某原码在算法下的暗码为“839”，则该原码为__________． 第1列 第2列 第3列 第1行 7 8 9 第2行 4 5 6 第3行 1 2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若，求满足条件的最大正整数． 16.（15分） 已知函数（，且． （1）当时，求函数在上的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围． 17.（15分） 为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位数为38.5岁． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数据，完善列联表．依据小概率值的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构成与性别有关联？ 男 女 合计 资深员工 青年员工 合计 200 500 参考公式：， 其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18.（17分） 给定如图所示的空间直角坐标系．在平面xOy内，点A，D在轴上，，，D为BC中点，． （1）求； （2）在平面xOz内，过点作函数图象的切线，切点为． （ⅰ）若点在轴负半轴上，求三棱雉体积的最大值； （ⅱ）若，当二面角的平面角最大时，求的值． 19.（17分） 已知抛物线，过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，当AB垂直于轴时，． （1）求的值； （2）过点作直线交抛物线于C，D两点（A，C两点在第一象限），记直线AC与直线BD的交点为，其中直线AB的斜率为，直线CD的斜率为． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）当时，设直线EO交直线CD于点，且的面积为，求的值． 高2026届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 B C D A B D C B BCD AC ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.B 【解析】集合，，则，选B． 2.C 【解析】，选C． 3.D 【解析】，则，所以，选D． 4.A 【解析】在中由余弦定理得：，则，选A． 5.B 【解析】由题意：函数关于对称，且在上单调递增，则，得，选B． 6.D 【解析】原式展开化简得，则，又，是锐角，则，选D． 7.C 【解析】周长，（P，Q，三点共线时取等），由，得，又在中，，得，所以，选C． 8.B 【解析】点在底面的射影点为，有面CDM，则，且，则，即圆台的高为，则圆台的母线长，则侧面积，选B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9.BCD 【解析】对于A选项，因为，所以A错误． 对于B选项，成立，所以B正确． 对于C选项，，所以C正确． 对于D选项，因为，故该函数在单调递减，又由知该函数为偶函数，且，结合函数图象可知，所以D正确． 故选BCD． 10.AC 【解析】对于A选项，由题可得，所以直线MN的倾斜角为或，斜率；所以A正确． 对于B选项，在中，，，所以，，，所以离心率；所以B错误． 对于C选项，设直线，联立椭圆得：，所以，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误． 故选AC． 11.ABD 【解析】由题知， 对于A选项，，所以A正确． 对于B选项，将代入，则是余弦函数的对称轴，所以B正确． 对于C选项，，所以最小正周期为，所以C错误． 对于D选项，，所以该函数的最大值为，解得，所以D正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 【解析】，所以，解得． 13. 【解析】四局比赛结束共有两种情况，所以，而，∴． 14.985 【解析】由题意，暗码8坐标为即，，此坐标原码为9 暗码3坐标为即，，此坐标原码为8 暗码9坐标是题中示例，对应原码为5，所以原码为985. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 解：（1）由题得：，则，整理得， 又，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以， 又， 其中，则，则， 验证：时，， 则满足条件的最大正整数． 16.（15分） 解：（1）当时，，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以时，最大值 又，，所以最小值为 所以函数在的值域为 （2） ①当时，在上单调递增，不满足题意； ②，令，有，，其中； 当时，， 有，；，此时为极大值点，不满足题意； 当时， 需要，解得， 有，；，，此时为极小值点， 综上，实数的取值范围． 17.（15分） 解：（1）女员工样本中位数为38.5，由， ，解得 （2）由样本数据，调查了300名男员工，200名女员工 由频率分布直方图，其中青年女员工为：名 由等高堆积条形图，则青年男员工为：名 列联表为： 男 女 合计 资深员工 165 135 300 青年员工 135 65 200 合计 300 200 500 零假设：样本中员工年龄层次与性别无关联 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，样本中企业员工的年龄层次与性别无关联． 18.（17分） 解：（1）由，故为等腰三角形，， 设，，，，，， ，， ，解得 ，， （2）（ⅰ）如图空间坐标系，切点，则切线斜率， ∴切线为：，交轴为，（*） 令，由（1）知，， ∴三棱雉，底面积，高 ∴体积 令，则，由于 ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，取得最大值为 （2）（ⅱ）由题意，由（*）式，， ，，， ，， 设二面角的平面角为，又由图形知，此时二面角关于xOz平面对称，则二面角的平面角为， 设平面BPA法向量，则 令，则 由，令， 平面DPA法向量 则，当最大时，最小，最大 此时，∴当时，，t单调递增；当时，，t单调递减； 当时，二面角的取得最大值． 19.（17分） 解：（1）由AB垂直于轴时，，不妨设，代入，解得 （2）（ⅰ）设直线，则 设，，， 联立得： ∴ ∴ 联立得： 所以即整理得： 由A，C两点在第一象限，得① 同理② 所以直线，代入，化简得 同理直线BD：得 联立直线AC，BD方程，并代入①，②化简整理： 即点在定直线上 （ⅱ）在AC中代入，解得 即 ∴直线EO方程为： 由的面积 代入 ， 则 代入EO，CD的方程组 消去，解得，则． 学科网（北京）股份有限公司 $