精品解析：2026年重庆市第一中学校中考二模数学试题

2026年重庆一中初2026届初三下期第二次模拟测试 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 B. 调查一批笔芯的使用寿命 C. 调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 调查全校同学的家庭用电情况 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 8. 某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为边上一点，连接、交于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有个单项式； ②若，则所有满足条件的整式的和为； ③若，则满足条件的整式共有个； ④若，则满足条件的所有整式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 截至年月，全球用户规模已达户，数据用科学记数法表示为________． 12. 如图，将直尺与三角尺放在一起，若，则的度数是________． 13. 现有张分别标有数字，，的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，记下数字．然后放回，背面朝上洗匀后再随机抽出一张卡片，则前后两次抽出的卡片都是奇数的概率是________． 14. 若，为整数，且满足，，则________． 15. 如图，四边形是菱形，点为边上的一点，与相切于点，与相交于点，连接并延长与相交于、两点，连接．若，，，则的长度为________，的长度为________． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数，因为，所以是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是________；一个“福禄数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①得________； 解不等式②得________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以，原不等式组的解集为________． 18. 在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： （1）构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 19. 学校开展了古诗词知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为五组：A．，B．，C．，D．，．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在B组中的数据为：，，，，，， 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生古诗词知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次古诗词竞赛，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 列方程解下列问题： 瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． （1）该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ （2）按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 22. 如图，在矩形中，，，连接，交于点，将以每秒个单位长度的速度沿射线方向平移，得到，与交于点，与交于点．若平移时间为秒，点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了、、、、五个服务点，分别是社区服务中心，健身广场，便民菜站，快递驿站和儿童游乐区．如图，在的正东方向，在的东北方向米处，在的正西方向，在的南偏西方向，在的南偏东方向，且在的西南方向．（参考数据：，） （1）求健身广场和便民菜站之间的距离（结果保留根号）； （2）某日，小聪从社区服务中心出发，沿路线去便民菜站买菜；同时，小明从儿童游乐区出发沿路线去快递驿站取快递．已知小明的速度是小聪的倍，当小明到的距离恰好是小聪到的距离的倍时，求小聪到的距离（结果保留一位小数）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点作轴交抛物线于点，过点作交线段于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线经过点，点为点的对应点，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在等腰中，，，点为底边上一点，连接，点为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，若 ，且，，三点共线，求的度数； （2）如图，在上方作线段，连接交于点，已知 ，用等式表示，，之间的关系，并证明； （3）如图，若，点与点重合，，连接，以为直角边在上方作，，且满足．当最大时，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，当最小时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆一中初2026届初三下期第二次模拟测试 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴四个数中最小的数是． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 B. 调查一批笔芯的使用寿命 C. 调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 调查全校同学的家庭用电情况 【答案】A 【解析】 【详解】解：全面调查适合范围小，数量少，不具有破坏性的调查． 选项A：调查对象仅为名职工，数量少，范围小，适合采用全面调查； 选项B：调查笔芯使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查； 选项C：调查鞋底能承受的弯折次数，调查具有破坏性，不适合全面调查； 选项D：全校同学数量较多，调查工作量大，不适合全面调查． 4. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 5. 如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时， 第⑧个图形中圆点的个数为． 7. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 8. 某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 因此年平均增长率为． 9. 如图，正方形中，为边上一点，连接、交于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，得到，，设，则，推出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，，推出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，由，推出，可求出，证明可得，即可求解． 【详解】解：设、交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， ，，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故选：D． 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有个单项式； ②若，则所有满足条件的整式的和为； ③若，则满足条件的整式共有个； ④若，则满足条件的所有整式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式，对每个说法依次判断正误即可得到正确个数． 【详解】解：当，，时为单项式； 当，，时为单项式； 当，，时为单项式； 当，，时为单项式； 共有个单项式，故①正确； 当时， 共有种情况，和为，故②错误； 当时，， 共有个； 当时，， 共有个； 当时，，此时不存在； 因此，满足条件的整式共有个，故③错误； 当时，，且， 根据题意，得，则， 共有个，故④正确； 综上所述，①④正确，故选B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 截至年月，全球用户规模已达户，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，将直尺与三角尺放在一起，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， 即， ∴． 13. 现有张分别标有数字，，的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，记下数字．然后放回，背面朝上洗匀后再随机抽出一张卡片，则前后两次抽出的卡片都是奇数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出满足两次抽出卡片都是奇数的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 第一次 第二次 由列表可知，所有等可能的结果共有种，其中两次抽出的卡片都是奇数的结果有种， 根据概率公式得：． 14. 若，为整数，且满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过估算无理数的范围，确定整数的值，再根据求出整数，结合二次根式有意义的条件舍去不符合题意的，最后代入计算得到结果． 【详解】解：， ． 又为整数，且满足， ， 把代入得， ． 当时， ，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ． 15. 如图，四边形是菱形，点为边上的一点，与相切于点，与相交于点，连接并延长与相交于、两点，连接．若，，，则的长度为________，的长度为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】连接，，过点作，设半径为，在中，利用勾股定理求得；利用菱形的性质结合解直角三角形求得菱形对角线的长，作于点，利用垂径定理和相似三角形的判定和性质求得，，得到，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，设半径为， ∵是的切线，∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ∴， ∴菱形的边长为， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个数为“福禄数”．例如：四位数，因为，所以是“福禄数”．按照这个规定，最小的“福禄数”是________；一个“福禄数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“福禄数”的定义进行求解即可；先推导出，再分别求出，，再根据与均是整数，列出符合条件的方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意：当，，，时，这个“福禄数”最小，即最小的“福禄数”是； ， ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ∵与都是整数， ∴为整数，为整数， ∴为整数，为整数， 根据题意得：，， ∴，， ∴或或或或， 或或或或或26或39 设，， ∴，， ∴，， ∵c、d为整数， ∴为整数，为整数， ∴为整数，为整数， ∴能被3整除，能被2整除， ∴或19， 或或13或， 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得， ∴，， ∴； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 当时，解得，不符合题意舍去； 综上，． 三、解答题：（本大题9个小题，17－18每小题8分，19－25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①得________； 解不等式②得________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以，原不等式组的解集为________． 【答案】；；； 【解析】 【详解】略 18. 在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： （1）构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． （2）利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）①；②；③；④． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图垂线的方法即可作图； （2）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：为的角平分线 在和中 是等腰三角形． 19. 学校开展了古诗词知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为五组：A．，B．，C．，D．，．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在B组中的数据为：，，，，，， 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生古诗词知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次古诗词竞赛，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级学生的古诗词竞赛成绩更好，理由如下：因为八年级被抽取的学生竞赛成绩的众数大于七年级被抽取的学生竞赛成绩的众数．（也可用中位数比较，答案不唯一，合理即可） （3）名 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可得出的值，再求出八年级20名学生竞赛成绩，组所占百分比为，用1减去三组的百分比即可得到的值； （2）利用众数或中位数作判断即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 七年级学生竞赛成绩中，出现次数最多的是，则众数； 八年级20名学生竞赛成绩，组占，则组人数为（人）；组数据是，，，，，，共7人． 将八年级成绩从大到小排列，、两组共（人），且， 由中位数是第和个数据的平均数，这两个数据在组， 组数据从大到小排序后为，，，，，，，第10个是，第11个是， 则， 八年级20名学生竞赛成绩，组占， 则，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（＞）的学生人数共是名． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． （1）该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ （2）按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 【答案】（1）安排人生产茶壶 （2）第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套 【解析】 【分析】（1）设安排人生产茶壶，根据每套茶具由只茶杯和只茶壶组成，列方程求解即可； （2）由（1）先求出全部茶具数量，设第一次投放市场的茶具的套数为套，根据两次投放的每套茶具的利润关系，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设瓷器厂应安排人生产茶壶． 由题意可得，， 解得． 答：瓷器厂应安排人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套． 【小问2详解】 解：由（1）得，安排人生产茶壶， 则天该瓷器厂共生产的茶具数量为：（套） 设第一次投放市场的茶具的套数为套，则第二次投放市场的茶具的套数为套． 由题意可得，×， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 第二次投放市场的茶具的套数为：（套） 答：第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套． 22. 如图，在矩形中，，，连接，交于点，将以每秒个单位长度的速度沿射线方向平移，得到，与交于点，与交于点．若平移时间为秒，点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； ； （2）；性质：当时，随着的增大而减小或当时，随着的增大而增大或当时，随着的增大而增大或当时，随着的增大而减小； （3） 或 【解析】 【分析】（1）连接，过点M作于点E，由平移的性质得：，再结合矩形的性质可得，，，，然后分两种情况：当点F在上时， 当点F在上时，可得 关于的函数表达式；再根据，可得，从而得到，可得到关于的函数表达式，即可求解； （2）利用描点法画出函数图象，即可； （3）求出两函数图象的交点的横坐标，再观察图象，即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点M作于点E， 由平移的性质得：， ∵在矩形中，，， ∴，，，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴当点F在上，即时，， 当点F在上，即时，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：对于， 当时，，当时，， 此时函数图象过点，， 对于，当时，， 此时函数图象过点， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象过点， ∵， 此时该函数的顶点坐标为， 函数图象和性质见答案； 【小问3详解】 解：联立：，得： ， 解得：， 联立：，得： ， 解得：， 观察图象得：时的取值范围为 或． 23. 为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了、、、、五个服务点，分别是社区服务中心，健身广场，便民菜站，快递驿站和儿童游乐区．如图，在的正东方向，在的东北方向米处，在的正西方向，在的南偏西方向，在的南偏东方向，且在的西南方向．（参考数据：，） （1）求健身广场和便民菜站之间的距离（结果保留根号）； （2）某日，小聪从社区服务中心出发，沿路线去便民菜站买菜；同时，小明从儿童游乐区出发沿路线去快递驿站取快递．已知小明的速度是小聪的倍，当小明到的距离恰好是小聪到的距离的倍时，求小聪到的距离（结果保留一位小数）． 【答案】（1）米 （2）112.4米 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，利用45°锐角三角函数值解直角三角形求出长，利用60°锐角三角函数值解直角三角形求出长，根据求出结果； （2）根据速度关系，设，则，，过点作于点，利用45°、60°锐角三角函数值解直角三角形求出、、的长，根据勾股定理列方程求出x的值，进而求出结果． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点． 由题意得：，，； 在中，，， ∴， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：健身广场和便民菜站之间的距离为米． 【小问2详解】 解：设小聪走到点，小明走到点，连接， 小明的速度是小聪的倍， 设，则，， 过点作于点， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： ， （舍）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴ (米）， 答：小聪到的距离为112.4米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点作轴交抛物线于点，过点作交线段于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线经过点，点为点的对应点，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），最大值为 （3）所有符合条件的点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为．过点作轴交于点，交对称轴于点，设，，则，，由，得到，根据轴得到， 因此在中，，从而，即可得到当时，有最大值，此时．将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接，根据平移及轴对称可得，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答； （3）设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中，则新抛物线为，根据新抛物线经过点，求出a的值，得到新抛物线为，，证明，得到，求出，得到．设，分点F在x轴上方和下方两种情况，根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，且称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为：． 过点作轴交于点，交对称轴于点， 设，， 则， ． ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时． 将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接， ∵向下平移个单位得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中 ∴新抛物线为 ∵新抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，新抛物线为， ∴点平移后的对应点为． ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A与点B关于抛物线的对称轴是直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴． 设 当点F在x轴上方时，即图中点，过点作轴于点， ∴，， ∵，即， 解得（不合题意，舍去）或． 当点F在x轴下方时，即图中点，过点作轴于点， ∴，， ∵，即， 解得（不合题意，舍去）或． 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 25. 在等腰中，，，点为底边上一点，连接，点为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，若 ，且，，三点共线，求的度数； （2）如图，在上方作线段，连接交于点，已知 ，用等式表示，，之间的关系，并证明； （3）如图，若，点与点重合，，连接，以为直角边在上方作，，且满足．当最大时，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） ． 证明：延长至点，使得 即 在和中 则， 又 ， 又由（1）知 且 则 在和中 则 ， 即 则 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得出，等腰中，，进而在中，根据三角形内角和定理，即可求解； （2）延长至点，使得，证明得出，，进而证明，得出，进而结合图形可得； （3）根据等弦对等角得出、、、四点共圆，得出的轨迹，取中点，以点为圆心为半径作圆，连接并延长交于点，此时最大．过点作直线，过点作交直线于点，此时最小，接下来根据等腰三角形的性质，勾股定理求得的长，根据即可求解． 【小问1详解】 解：等腰中，， ， 等腰中，， 中， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴、、、四点共圆， 如图，取中点，以点为圆心为半径作圆，连接并延长交于点，此时最大． ∵点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至， ∵ ∴四点共圆， ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，过点作直线，过点作交直线于点，此时最小． ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $