精品解析：辽宁营口市大石桥市第二初级中学2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度七年下学期期中数学试卷 满分120分 考试时间：120分钟 注意事项: 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列各数中，、、、、、0.8181818，无理数的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 在平面直角坐标系中，若，且直线轴，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 的整数部分为5 B. 同旁内角互补 C. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 如果A地在B地北偏东方向处，那么B地在A地的南偏西方向处 4. 如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小面所在位置的坐标为，小鹿所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（ ） A. 小研所在位置的坐标为 B. 小万所在位置的坐标为 C. 小白所在位置的坐标为 D. 小唯所在位置的坐标为 5. 以方程组的解为坐标点，在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数日，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 现对实数定义一种运算：．则等于（ ） A. B. C. 2 D. 6 9. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（共15分） 11. 由作图可知，点表示的数为___________． 12. 如果和是一个数m的平方根，则________． 13. 若与的两边分别平行，且，则的度数为________． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 ___________． 15. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为____________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）计算： （2）解方程： 17. 解方程组： （1） （2） 18. 阅读题目，完成下面推理过程：在中华文化中，马具有崇高地位，被视为“六畜之首”和“地上之龙”，象征着勇健、奔腾、祥瑞、力量、速度与进取．“龙马精神”已成为中华民族自强不息、奋发向上的象征．图1是一个“马”字，抽象成图2的几何图形，已知，．求证：． 证明：延长交于点P ∵ ∴________（ ） ∵ ∴（ ） ∴（ ） ∴________（两直线平行，同位角相等） ∵ ∴________（ ） ∵ ∴（ ） ∵ ∴ ∴（ ） 19. 如图，已知，，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“机器秧歌”．这场大型全驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图1，它们的队形设计充满数学奥秘，表演的舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人构成，其初始位置坐标分别为，，． （1）在图2的平面直角坐标系中画出： （2）为了完成队形变换，机器人同时向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，计算四边形面积． 21. 阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 22. 根据如表素材，探索解决任务． 端午节礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在端午节前生产甲、乙两种型号的端午礼盒共80万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1790万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为418万元，请问该工厂有哪几种生产方案？ 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度七年下学期期中数学试卷 满分120分 考试时间：120分钟 注意事项: 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列各数中，、、、、、0.8181818，无理数的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方不尽数，是无理数； 中含有无理数，是无理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 0.8181818是有限小数，属于有理数。 ∴无理数有和，共2个。 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，若，且直线轴，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，解一元一次方程等，掌握平行于y轴的直线上的点的特征是正确解决本题的关键． 根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，建立方程求解即可得答案． 【详解】解：直线轴， ， ． 故答案为：A． 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 的整数部分为5 B. 同旁内角互补 C. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 如果A地在B地北偏东方向处，那么B地在A地的南偏西方向处 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据无理数的估算，平行线的判定和性质，方向角和距离逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，即：，故，故的整数部分为5，为真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，符合题意； C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意； D、如果A地在B地北偏东方向处，那么B地在A地的南偏西方向处，是真命题，不符合题意； 故选B． 4. 如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小面所在位置的坐标为，小鹿所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（ ） A. 小研所在位置的坐标为 B. 小万所在位置的坐标为 C. 小白所在位置的坐标为 D. 小唯所在位置的坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系即可，正确建立平面直角坐标系是解题的关键 【详解】解：∵小面所在位置的坐标为，小鹿所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如下： 由坐标可知，小研所在位置的坐标为，小万所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，小唯所在位置的坐标为， ∴选项C说法正确， 故选：C． 5. 以方程组的解为坐标点，在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】解：本题考查解二元一次方程组及判断点的坐标所在象限，通过解方程组得到点的坐标，再根据各象限内点的符号特征确定位置即可． 【详解】解方程组：， 将①与②相加，消去y得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴该点位于第二象限． 故选：B． 6. 如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 7. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数日，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“肉价=哑巴所带钱数，肉价=哑巴所带钱数”可得方程组． 【详解】解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，根据题意， 得， 故选：B． 8. 现对实数定义一种运算：．则等于（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 9. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，进而利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 二、填空题（共15分） 11. 由作图可知，点表示的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：点Ａ表示的是，点B表示的是， ∴， ∵，设点Q表示的数为， ∴， ∴， ∴点Q表示的数为 ． 12. 如果和是一个数m的平方根，则________． 【答案】9或81 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 分情况根据一个非负数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解出即可得出a的值，继而可得m的值． 【详解】解：当和表示同一个数时， ， 解得：， ∴，； 当和表示不同数时， ∵和是一个数m的平方根， ∴， 解得：， ∴，； 故答案为：9或81． 13. 若与的两边分别平行，且，则的度数为________． 【答案】94°或70° 【解析】 【分析】根据已知得出，（2x+10）+（3x-20）=180或2x+10=3x-20，求出x=38或x=30，进而求出∠β的度数． 【详解】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=（2x+10）°，∠β=（3x-20）°， ∴（2x+10）+（3x-20）=180或2x+10=3x-20， ∴x=38或x=30． ∴当x=38时，∠β=（3x-20）°＝94°， 当x=30时，∠β=（3x-20）°＝70°， 故答案为：94°或70°． 【点睛】本题考查了平行线性质的应用．注意：当两个角的两边分别平行时，这两个角互补或相等． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，根据方程组的解x，y互为相反数，得到，代入方程组转化为的二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴原方程组化为：，即： ， ∴， ∴； 故答案为：3． 15. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的变化规律，根据坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值，运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，化简绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先方程两边同时除以4，再开方，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 得 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 方程组的解为． 18. 阅读题目，完成下面推理过程：在中华文化中，马具有崇高地位，被视为“六畜之首”和“地上之龙”，象征着勇健、奔腾、祥瑞、力量、速度与进取．“龙马精神”已成为中华民族自强不息、奋发向上的象征．图1是一个“马”字，抽象成图2的几何图形，已知，．求证：． 证明：延长交于点P ∵ ∴________（ ） ∵ ∴（ ） ∴（ ） ∴________（两直线平行，同位角相等） ∵ ∴________（ ） ∵ ∴（ ） ∵ ∴ ∴（ ） 【答案】；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定定理，结合已知推论过程进行证明即可． 【详解】证明：延长交于点P ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴（同角的补角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 19. 如图，已知，，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，则可证明，进而可证明； （2）由平行线的性质可得，则可求出，由平行线的性质可得，则，据此可得． 【小问1详解】 证明；∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“机器秧歌”．这场大型全驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图1，它们的队形设计充满数学奥秘，表演的舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人构成，其初始位置坐标分别为，，． （1）在图2的平面直角坐标系中画出： （2）为了完成队形变换，机器人同时向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，计算四边形面积． 【答案】（1）见详解 （2）平移图形见详解，四边形面积为16 【解析】 【分析】（1）根据坐标，描点作图即可； （2）根据图形平移规律得到，运用割补法计算面积即可． 【小问1详解】 解：，，， ∴即为所求图形； 【小问2详解】 解：根据平移得到， ∴四边形面积为 ． 21. 阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 22. 根据如表素材，探索解决任务． 端午节礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在端午节前生产甲、乙两种型号的端午礼盒共80万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1790万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为418万元，请问该工厂有哪几种生产方案？ 【答案】任务1：甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套；任务2：该工厂有两种生产方案：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套或增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 任务1：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：由题意可得，整理可得，求出或，即可得解． 【详解】解：任务1：设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套； 任务2：由题意可得， 整理可得：， ∵，都为正整数， ∴或， ∴该工厂有种生产方案， 增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套或增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由见解析 （4），证明见解析 【解析】 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4）设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $