精品解析：辽宁辽阳市辽阳县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

2025—2026学年度下学期期中质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的） 1. 用适当的符号表示是非负数，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国探月 C. 中国火箭 D. 中国行星探测 3. 下列运动现象不属于平移的是（ ） A. 电梯上下升降 B. 秋千左右摆动 C. 火车在平直的铁路上行驶 D. 纱窗沿底槽左右推拉 4. 如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形的三个内角相等 C. 四边形是多边形 D. 全等三角形的面积相等 6. 点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 如图，是的角平分线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 用反证法证明：在中，、的对边分别是、，若，则．第一步应假设（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点在上，点在上，且，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 12. 一个多边形的每一个外角都等于60度，则这个多边形的内角和为__________度． 13. 如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 14. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 15. 如图1，长方形各顶点坐标分别为，，，．点，，以为一边作长方形．现将长方形沿方向平移，至落在上时停止．在平移过程中，设平移的距离为，长方形与长方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2．当落在上时，点的坐标为______． 三、解答题（共75分） 16. 解下列不等式和不等式组： （1） （2） 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 18. 已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：． 19. 尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 20. 如图所示，在中，，为上一点，为延长线上一点，且，交于点，求证：． 21. 甲、乙两家育种场为响应国家政策，鼓励农民多种粮、种好粮，计划优惠出售一批水稻良种．甲育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过500元，则按原价收费；若超过500元，则超出500元的部分按原价的收费．乙育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过300元，则按原价收费；若超过300元，则超出300元的部分按原价的收费．假设甲、乙两家育种场水稻良种的单价相同，你认为购买哪家的水稻良种更合算？ 22. 近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了、两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： 型销售数量（台） 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2000 10 5 2500 （1）一台型空气净化器和型空气净化器的销售利润分别是多少？ （2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中型空气净化器的进货量不少于型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 23. 如图，在等边中，为中线，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，连接、． （1）问题发现：如图①，当点P在线段上，点D在线段的延长线上时，线段与的数量关系为 ，与的位置关系为 ； （2）拓展探究：如图②，当点P在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）问题解决：若，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的） 1. 用适当的符号表示是非负数，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的概念和不等式的符号表示即可． 【详解】解：∵非负数是指大于或等于0的数， ∴用不等式表示是非负数可得， 故选C． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国探月 C. 中国火箭 D. 中国行星探测 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合， 故选：C． 3. 下列运动现象不属于平移的是（ ） A. 电梯上下升降 B. 秋千左右摆动 C. 火车在平直的铁路上行驶 D. 纱窗沿底槽左右推拉 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的定义判断各选项，平移是指在平面内图形上的所有点都沿同一方向移动相同距离的运动，做题时要把握三个核心条件：一是在平面内，二是固定方向，如水平、垂直或任意斜向，三是相同距离． 【详解】解：A选项中电梯上下升降，所有点沿同一方向移动相同距离，符合平移定义，属于平移，故A选项不符合题意； B选项中秋千左右摆动，运动轨迹为弧线，运动方向不断改变，不符合平移定义，不属于平移，故B选项符合题意； C选项中火车在平直的铁路上行驶，所有点沿同一方向移动相同距离，符合平移定义，属于平移，故C选项不符合题意； D选项中纱窗沿底槽左右推拉，所有点沿同一方向移动相同距离，符合平移定义，属于平移，故D选项不符合题意． 4. 如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得为旋转角、，然后根据邻补角的定义即可得． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得：为旋转角，， 点C、A、在同一条直线上， ， 即旋转角等于， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握理解旋转的性质是解题关键． 5. 下列命题的逆命题为真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形的三个内角相等 C. 四边形是多边形 D. 全等三角形的面积相等 【答案】B 【解析】 【分析】先根据逆命题定义交换原命题的条件和结论得到各选项的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A、原命题为对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角，∴逆命题为假命题，A错误； B、原命题为等边三角形的三个内角相等，逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，∵三角形内角和为，三个内角相等则每个内角为，∴三个内角相等的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，B正确； C、原命题为四边形是多边形，逆命题为多边形是四边形，∵多边形可以是边数大于4的多边形，∴逆命题为假命题，C错误； D、原命题为全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，∵面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，∴逆命题为假命题，D错误． 6. 点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标系中第二象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，熟知第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正是解题的关键． 7. 如图，是的角平分线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于点E，于点F．由是的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比，代入数值即可求出面积之比． 【详解】解：过点D作于点E，于点F． ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ． 8. 如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两一次函数图像的交点得到在该点时，两一次函数的函数值相等，再根据题目所求是在该点的左侧还是右侧，在左侧小于该点的横坐标，在右侧大于该点的横坐标． 【详解】解：∵点是一次函数与的交点， ∴当时， ， 由图像可知，当时，一次函数在下方， ∴ 即时，． 9. 用反证法证明：在中，、的对边分别是、，若，则．第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，正确写出原结论的否定即可得到答案． 【详解】解：∵原命题要证明的结论是， ∴结论不成立的否定为， 即第一步应假设“若，则”． 10. 如图，在中，，，，点在上，点在上，且，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，进而证明，用勾股定理解和，联立得出，代入数值计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 设，则， 在中，，， 在中，，， ， 即， 解得， 即线段的长为． 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解集的不等号方向变化，判断未知数系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：对于一元一次不等式，两边同时除以后，不等号方向改变，得到解集． 根据不等式的基本性质：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， 可得， 解得． 12. 一个多边形的每一个外角都等于60度，则这个多边形的内角和为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角综合，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据题意，得这个多边形的每一个内角，且这个多边形的边数为，再求出这个多边形的内角和，即可作答． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60度， ∴这个多边形的每一个内角，且这个多边形的边数为 则， 故答案为：． 13. 如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，最后计算即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点D， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 15. 如图1，长方形各顶点坐标分别为，，，．点，，以为一边作长方形．现将长方形沿方向平移，至落在上时停止．在平移过程中，设平移的距离为，长方形与长方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2．当落在上时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像得到矩形的面积和的值，从而解出的长，再利用坐标点的性质求出点的坐标，再根据函数图像得到点的运动轨迹，从而求出移动后的点的坐标． 【详解】解：根据函数图像可知，矩形的面积为， ∵，即， 解得， 过点作平行轴，交于点，过点作垂直交于点， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， 解得， ∵，， ∴点的坐标为， 由函数图像可知四边形沿运动了个单位长度， ∵， ∴，四边形是沿着一个等腰直角三角形的斜边移动， 设该等腰直角三角形的直角边为，根据勾股定理得， 解得， 即四边形向右平移5个单位长度，又向上平移5个单位长度， ∴此时点的坐标为，即点． 三、解答题（共75分） 16. 解下列不等式和不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如（1）中图，即为所求． 【小问3详解】 解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 18. 已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接． ，， ， ，， ， 又，， ． 【解析】 【分析】连接．根据证明，得，再根据证明，可得． 【详解】略 19. 尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【答案】 【解析】 【详解】解：延长到点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点D，则为边上的高． 20. 如图所示，在中，，为上一点，为延长线上一点，且，交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】过点作交于点，根据平行线的性质得到，，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】证明：过点作交于点． ，，． ， ， ， ． ， ． ， ． 21. 甲、乙两家育种场为响应国家政策，鼓励农民多种粮、种好粮，计划优惠出售一批水稻良种．甲育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过500元，则按原价收费；若超过500元，则超出500元的部分按原价的收费．乙育种场的优惠方式是：若购买水稻良种累计不超过300元，则按原价收费；若超过300元，则超出300元的部分按原价的收费．假设甲、乙两家育种场水稻良种的单价相同，你认为购买哪家的水稻良种更合算？ 【答案】当或时，两家收费都一样；当 时，购买乙育种场的更合算；当时，购买甲育种场的更合算 【解析】 【分析】设购买水稻良种的累计金额为元，根据两家育种场的优惠方案，需要以300元和500元为分界点，分， ，三种情况进行讨论比较． 【详解】解：设购买水稻良种的累计金额为元，根据题意得： （1）当时，两家育种场都不优惠，则两家收费都一样； （2）当时，甲收费不优惠，乙收费优惠，则购买乙育种场的更合算； （3）当时，设甲育种场收费为元，乙育种场收费为元． 则 ， ， ①由，得 ，解得； ②由，得 ，解得； ③由，得 ，解得； 综上所述，当或时，两家收费都一样；当 时，购买乙育种场的更合算；当时，购买甲育种场的更合算． 22. 近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了、两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： 型销售数量（台） 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2000 10 5 2500 （1）一台型空气净化器和型空气净化器的销售利润分别是多少？ （2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中型空气净化器的进货量不少于型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【答案】（1）每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元；（2）购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台． 【解析】 【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100-m）台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元． （2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100-m）台， ∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍， ∴100-m≥2m， 解得：m≤． 设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元， 根据题意得：w=200m+100（100-m）=100m+10000， ∴w的值随着m的增大而增大，且m为整数， ∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此时100-m=67． 答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据总利润=单件利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式． 23. 如图，在等边中，为中线，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，连接、． （1）问题发现：如图①，当点P在线段上，点D在线段的延长线上时，线段与的数量关系为 ，与的位置关系为 ； （2）拓展探究：如图②，当点P在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）问题解决：若，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）， （2）解：成立，证明如下： 如图②，连接， ∵是等边三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴； （3）4或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，得到，，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图②，连接，根据等边三角形的性质得到，由旋转的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）如图③，由（2）知，根据已知条件得到D在的延长线上，由旋转的性质得到，，推出是等边三角形，得到，于是得到结论；如图④，由（2）知，，根据旋转的性质得到，，求得，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图③， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴D在的延长线上， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图④，由（2）知，， ∵， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 综上所述，线段的长度为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $