精品解析：辽宁锦州市第八初级中学2025—2026学年度第二学期八年级期中测试数学试卷

锦州市第八中学2025—2026学年度第二学期 八年级期中测试 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一．选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A、∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，A正确； B、∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，B正确； C、该选项未说明的取值范围，若，不等式两边同乘后不等号方向改变，可得，原结论不恒成立，C错误； D、若，两边同乘正数3得，再两边同时加5，不等号方向不变，可得，D正确． 3. 已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移的坐标变化规律为：横坐标减，纵坐标加． 设点的坐标为， ， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 同旁内角互补 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、三角形外角、平行线性质等知识，熟练掌握相关性质定理是关键；根据对顶角相等、三角形外角性质、平行线性质逐项判断即可． 【详解】解：选项A，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角相等但不是对顶角， A为假命题，不符合题意． 选项B，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而非任意两个内角的和，B为假命题，不符合题意． 选项C，同旁内角互补需以两直线平行为前提，无前提则不成立，C为假命题，不符合题意． 选项D，两直线平行，同位角相等，是平行线的性质定理，D为真命题，符合题意． 故选：D． 6. 等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ①当为顶角时， 其他两角都为； ②当为底角时， 其他两角为， 所以等腰三角形的底角可以是，也可以是． 7. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是九边形， 故选：B 【点睛】本题考查了n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形的规律． 8. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线：与直线：交于点，得到交点的横坐标为1，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：直线：与直线：交于点，且交点的横坐标为1， ∴关于的不等式的解集是； 9. 学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，为的平分线，，结合角平分线的性质可得，即可判断A选项；由已知条件可证明，可得，即可判断B选项；根据，，可得，即可判断D选项，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，为的平分线，， ， ． 故A选项正确，不符合题意； ，， ． ． 故B选项正确，不符合题意； 在中，， 在中，， ． 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故C选项不正确，符合题意． 故选：C． 二．填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入得， ． 12. 若是关于的一元一次不等式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数等于，未知数的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且． 由得或， 由得， ． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 点 与点关于原点对称， 点的坐标为， 点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于， ， 解得：． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是． 15. 如图，已知在Rt中，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形，连接，在点运动过程中，的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边作等边，并作，垂足为点H，连接、，由直角三角形的性质可求得，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是． 【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接、，     在中，，，， ∴，， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∵当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值是． 三．计算题（本大题包括2道题，第16题8分，17题10分，卷面分2分共20分） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式并将解集表示在数轴上 （1） （2）解不等式组 【答案】（1）；数轴见解析 （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质解不等式即可，然后将解集表示在数轴上即可； （2）先求得每个不等式的解集，再在同一数轴表示不等式①②的解集表示在数轴上，注意端点是空心还是实心，进而可得不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 故该不等式的解集为， 解集表示在数轴上如图所示： 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一数轴上表示不等式①②的解集如图所示： 不等式组的解集为． 四、画图题（18题6分） 18. 如下图，已知，，，． （1）将绕点逆时针旋转得，画出； （2）画出关于原点成中心对称的图形，画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特点画图即可； （2）根据成中心对称图形的性质，结合网格特点画图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 五、阅读理解题（19题6分，每空2分） 19. 阅读理解：我们把“”称为对角式，规定它的运算法则为．例如： ． （1）求不等式的解集为________； （2）若关于的不等式的解集是，求的值为________； （3）若关于的不等式组有解，求m的取值范围________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据运算法则，得，再解出，即可作答． （2）根据运算法则，得，再解出，再结合关于x的不等式的解是，得，即可作答． （3）先根据运算法则，得，再解出和，因为关于x的不等式组有解，故，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 关于的不等式的解集是， ， ． 【小问3详解】 解：， ， 由，得， 由，解得， 关于的不等式组有解， ， ． 六、解答题（本大题共4道题，20题8分，21题8分，22题10分，23题12分） 20. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 21. 【问题背景】 2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，我校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高200元； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）求A，B两种书架的单价； （2）设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 【答案】（1）540元；340元 （2）购买A种书架5个，B种书架15个 【解析】 【分析】（1）设A种书架的单价为元，B种书架的单价为元，根据素材列方程组求解即可； （2）先列不等式得到，再根据题意得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种书架的单价为元，B种书架的单价为元， 依题意，得 解得 答：A种书架的单价为540元，B种书架的单价为340元； 【小问2详解】 解：∵A种书架的数量不少于B种书架数量的， ∴解得， ∴， ∵ ∴随的增大而增大 当时，取得最小值， 此时， 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个． 22. 【背景】某数学学习小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼了两个全等三角形的模型图（图①） （1）【模型发现】如图①，在中，，，直线l经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，，线段与的数量关系是________；线段，和之间存在的数量关系为_______． （2）【模型迁移】如图②，在中，，直线l经过点，点，分别在直线l上，如果，请问：，，之间的数量关系是_______． （3）【模型建立】如图③，，，为上的点，且，猜想：线段，和之间存在的数量关系？并给予证明． 【答案】（1）； （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明即可得结论； （2）同理（1）即可得结论； （3）在上截取，连接，证明即可得结论； 【小问1详解】 解：；．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：． 证明：如图，在上截取，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴． 23. 按要求完成下面各题． （1）如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． （2）如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，证明 得到，然后利用等腰直角三角形的判定与性质可得结论； （2）过点作交延长线于点，证明得到，，，进而可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，随后证明，平分，再利用等腰三角形的三线合一得到，进而可得结论． 【小问1详解】 证明：过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第八中学2025—2026学年度第二学期 八年级期中测试 数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一．选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 同旁内角互补 D. 两直线平行，同位角相等 6. 等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 8. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 若，，则_______． 12. 若是关于的一元一次不等式，则_______． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 15. 如图，已知在Rt中，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形，连接，在点运动过程中，的最小值为_______． 三．计算题（本大题包括2道题，第16题8分，17题10分，卷面分2分共20分） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 解不等式并将解集表示在数轴上 （1） （2）解不等式组 四、画图题（18题6分） 18. 如下图，已知，，，． （1）将绕点逆时针旋转得，画出； （2）画出关于原点成中心对称的图形，画出． 五、阅读理解题（19题6分，每空2分） 19. 阅读理解：我们把“”称为对角式，规定它的运算法则为．例如： ． （1）求不等式的解集为________； （2）若关于的不等式的解集是，求的值为________； （3）若关于的不等式组有解，求m的取值范围________． 六、解答题（本大题共4道题，20题8分，21题8分，22题10分，23题12分） 20. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 21. 【问题背景】 2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，我校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高200元； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）求A，B两种书架的单价； （2）设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 22. 【背景】某数学学习小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼了两个全等三角形的模型图（图①） （1）【模型发现】如图①，在中，，，直线l经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，，线段与的数量关系是________；线段，和之间存在的数量关系为_______． （2）【模型迁移】如图②，在中，，直线l经过点，点，分别在直线l上，如果，请问：，，之间的数量关系是_______． （3）【模型建立】如图③，，，为上的点，且，猜想：线段，和之间存在的数量关系？并给予证明． 23. 按要求完成下面各题． （1）如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． （2）如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $