北京市第八十中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题（B卷）

**基本信息** 以金刚石结构、长征纪念碑等真实情境为载体，通过动态几何、条件探究等问题设计，考查空间观念、推理能力与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12/48|立体几何（如圆柱切割）、向量（如共线条件）、统计（空气质量指数）|以金刚石结构考空间距离，体现数学眼光| |填空|5/20|统计（频率分布直方图）、向量投影、解三角形、动态几何（正方体动点）|动态几何问题（棱上动点体积）发展空间观念| |解答|3/32|向量运算、四边形几何证明与面积、四棱锥二面角|选条件探究存在性（四边形面积）培养推理能力|

北京市第八士中学20252026学年第： 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期5月阶段测 高一数学(B卷) 2026年5月 班级 姓名 考号」 (考试时间90分钟满分100分) 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、单项选择题（共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项) 1.AC-AB+CD=() A.DB B.BD C.AD D.DA 2.已知，B是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是() A.若∥a,m∥B,则a∥B B.若m∥a,n∥a,则l∥n. C.若a⊥B,mcc,ncB,则m⊥nD.若m∥a,m⊥B,则a⊥B 3.在△ABC中，B=60°，b2=aC,则c0SA=() A.0 B. C.v2 D √5 2 4.四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新 的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 10,则圆柱的侧面积是() A.10π B.20元 C.10 D.20 5.如图，在VABC中，点M为线段BC的中点，CW=CA,MN=k4AB+k4AC(k,名∈R),则 A.-2 B.4 c.4 D.2 6.如图，在三棱锥A-BCD中，VABC和△ABD是边长为2的等边三角形，平面 ABC⊥平面ABD,则CD=() A.√2 B.2 C.6 D.25 （高一数学第1页共4页) 学期阶段测数学试卷2026年5月 7.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0,50)，[50,100)，[100,150)[150,200).[200,250)和 [250,300]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度 个空气质量指数 污染”、“重度污染和“严重污染”，六个等级.如图，是我市 300 275 260 263 冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中 250 .243 214 200214 155 165179 221 正确的是() 150 157 100H 138 A.这14天中有5天空气质量为“中度污染” 50 80 83 B.从第三天到第七天空气质量越来越好 01234567891011121314期 C.这14天中空气质量指数的中位数为196.5 D.连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日 8.己知平面向量e1,,,e4是单位向量，且⊥g,则g·e=e4”是“ge4=0的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场 F C 中央建造一座“长征颂'主题纪念碑该纪念碑的基座设计 为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示)，已知该几何体 是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三 长征颂 D 棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽 6米，一个侧面为上底IJ长4米，BI腰长5米的等腰梯 形，则该纪念碑基座的体积为() A.168 B.192 C.216 D.240 10.在△ABC中，∠B=45,c=4,只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一条件：①a=3√2；② b=25；®c0C=号中，所有可以选择的条件的序号为《) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 11.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的 每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布 在一个正四面体的4个项点A,B,C,D处，中间的碳 原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处）， 如图2所示，设AB=a,则E到平面ABD的距离为() D A. -a B. a 6 9 C. √6 D. 3 图1 图2 (高一数学第2页共4页) 北京市第八十中学20252026学年第： 12.己知数集X={5,x2,xn}(其中x>0,i=1,2,,n≥3)，若对任意的x.∈X(k=1,2,..n),都存 在x,x∈X(化≠x),使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量(，x)与向量(x:x,):②向量(，x) 与向量(x,·x);③向量(x,x)与向量(，x,),则称X具有性质P,例如1,2,4具有性质P.若数集 13,,x2}具有性质P,则满足条件的x,,3的组数是() A.18 B.19 C.20 D.21 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13.为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行 频率 问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若 组距 b [65,75)的频率为0.48，则a= ,b= 0.025 14.已知ā.b=16,e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量 0.005 为48，则= 455565758595分数/分 15.在VABC中，2sinC=csin B,则b= 一，若acosB-c=1,且VABC的面积为 ,则a= 2 16.己知两个向量AB,AC的夹角为120°且AB.AC=-2,设两点B,C的中点为点D,则AD的最小值为 17.如图，在边长为1的正方体ABCD-ABCD中，E是棱AA上的一个动点，给出下列四个结论： D ①三棱锥B-BED的体积为定值： ②存在点E,使得BD⊥平面BED: B ③对每一个点E,在棱DC上总存在一点P,使得API/平面BED: ④M是线段BC上的一个动点，过点A的截面x垂直于DM,则截面a 的面积的最小值为√6 1 其中所有正确结论的序号是 (高一数学第3页共4页) 学期阶段测数学试卷2026年5月 三、解答题（共3小题，共32分） 18.已知三个非零向量ā=(4，k),b=(2,k+1),c=(1,1). (1)若a/b,求向量a与c夹角的余弦值； (2)若(a+2b)1(a-2b),求k的值. D 19.如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=兀，AC是∠DAB的角平分线. (1)求证：BC=CD: (2)若AC=14,CD=10.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个 作为己知，使得四边形ABCD存在，求四边形ABCD的面积， 条件①：coB=3:条件包：AD-A8=4:条件⑥：im∠C4B-35 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一 个解答计分， 20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,M是 PD的中点 (1)求证：PB∥平面MAC; (2)求二面角M-AC-D的余弦值： )在棱PC上是否存在点Q使平面BD心上平面MAC成立？如果存在，求出O光的值：如果不存在，请 说明理由. B (高一数学第4页共4页)北京市第八十中学2025-2026学年第二学期阶段测 数学 试卷 2026年5月 北京市第八十中学2025--2026学年第二学期5月阶段测 高一数学（B卷）2026年5月 班级 姓名 考号 （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、单项选择题（共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 3．在中，，，则（    ） A．0 B． C． D． 4．四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C．10 D．20 5．如图，在中，点为线段的中点，，，则（   ） A． B． C． D．2 6．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 7．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（   ） A．这14天中有5天空气质量为“中度污染” B．从第三天到第七天空气质量越来越好 C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日 8．已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 10．在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 11．金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 12．已知数集（其中），若对任意的，都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量与向量；②向量与向量；③向量与向量，则称具有性质，例如具有性质．若数集具有性质，则满足条件的的组数是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13．为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，则________，________. 14．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 15．在中，，则________，若，且的面积为，则________． 16．已知两个向量的夹角为且，设两点的中点为点,则的最小值为________． 17．如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面 的面积的最小值为． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共3小题，共32分） 18．已知三个非零向量，，． （1）若，求向量与夹角的余弦值； （2）若，求的值． 19．如图，在四边形中，是的角平分线． （1）求证：； （2）若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. （高一数学 第1页 共4页） （高一数学 第2页 共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025--2026学年第二学期5月阶段测 高一数学（B卷） 参考答案2026年5月 一、单项选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B A A C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 C D C B C A 1．B【详解】由向量减法与加法的三角形法则可得. 2．D【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 3．B【详解】由余弦定理得：， 又，，，，，． 4．A【详解】设圆柱的底面半径为，高为，依题意可得，所以圆柱的侧面积. 5．A【详解】∵ 为中点，∴ .又， ∴ .可得，，∴ . 6．C【详解】设的中点为，因为是边长为2的等边三角形， 故且，同理且， 故为的平面角，而平面平面， 故，故. 7．C【详解】对于A，这14天中有4天空气质量指数在之间，则有4天为“中度污染”，故A错误；对于B，从第三天到第七天空气质量先变好再变坏，故B错误；对于C，将14组数据从小到大排列：，其中位数为，故C正确；对于D，5日到7日的三天，数据波动比较大，则方差较大，所以连续三天中空气质量指数方差最小不是5日到7日，故D错误． 8．D【详解】因为平面向量，，，是单位向量，且，不妨设，若，例如，满足，但，即充分性不成立； 若，例如，满足，但，即，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 9．C【详解】将原图形补全为长方体，如下图： 因为侧面为等腰梯形，上底长米，下底长米，腰长米， 所以梯形的高（即几何体的高）为：米 所以长方体下底面长米、宽米，高为米，体积立方米； 由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：米，米， 所以每个三棱锥的体积为：立方米， 4 个三棱锥总体积：立方米，所以该纪念碑基座的体积为立方米 10．B【详解】对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意； 对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意； 对于③，，所以，，得，进而， 可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意. 11．C【详解】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如图，O是顶点A在下底面的射影，E是正四面体外接球的球心，AO是正四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，是球的半径，则，解得， 在中，， 在中，，即，即， 解得，所以， 由于到正四面体各面的距离相等，则E到平面的距离为. 12．A【详解】设数集具有性质， 由题意可得：与；与；与中恰有一组共线， 当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意， 当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意， 当与共线时，可得，此时另外两组不共线，符合题意， 故的取值为：，，9； 若数集具有性质，可得，，9， 当时，由数集具有性质P， 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，27； 故具有性质P可得，，，，9，27； 当时，具有性质P， 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 故具有性质P，可得，，，，，9； 当时，具有性质P， 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 若与；与；与中恰有一组共线，可得，； 故具有性质P，可得，，，，27，81； 综上，满足条件的的组数是 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13．， 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 14．4 【详解】在上的投影向量为，所以4. 15． 2 【详解】根据正弦定理得，又，故， 根据余弦定理得，化简可得，又，得， 由的面积为可得，，即， ，，化简可得， 代入得，. 16．1 【详解】试题分析：设．． ,当且仅当时取等号．所以的最小值为1． 17．①④ 【详解】对于①，如下图所示： 在边长为1的正方体中，易知平面， 因为点是棱上的一个动点，可设点到平面的距离为， 且，则三棱锥的体积， 故①正确； 对于②，连接，，因为在平行四边形中， ，所以不垂直，所以使得不垂直平面， 所以②不正确. 对于③，当点与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交， 故③错误； 对于④，根据题意，作图如下： 因为正方体中，易知平面，所以， 设，则，， 在中，， ， 则该截面面积， 由，当时，，故④正确； 三、解答题（共3小题，共32分） 18．（1）； （2）或 【详解】（1）因为且得 ，解得， 因此. 设与夹角为，根据向量夹角余弦公式 计算得，，， 代入得. （2）因为，所以， 即，代入坐标得， 整理得 ， 因式分解得， 即或.检验可知，当取这两个值时，三个向量均为非零向量，符合题意. 因此或. 19．（1）证明见解析； （2）选①②，四边形的面积为，若选③，四边形不存在. 【详解】（1）在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）选条件①：，则，由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，又， 所以四边形的面积. 选条件②：，由（1）得，设， 在中，由余弦定理得， 即，则是方程的两个根， 于是，即，， 由，得，则，， 所以四边形的面积. 选条件③：，由（1）得， 在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在. 20．（1）证明见解析； （2）； （3）存在， 【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 答案第8页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $