精品解析：2026年广西来宾市初中学业水平模拟大作业（二）数学试题

2026年初中学业水平模拟大作业（二）数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选和未选均不得分．） 1. 如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下7 ℃可记作（ ） A. -7 ℃ B. +7 ℃ C. +12 ℃ D. -12 ℃ 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 两根长方体的木块如图所示放置，则其主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第三象限，到横轴的距离为，到纵轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ） A. B. C. D. 7. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两个实数根是，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. C. D. 1 12. 如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 分解因式：_______． 14. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计已突破3017000000元，其中数据3017000000用科学记数法表示为_________． 15. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）计算： （2）解方程： 18. 某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： （1）所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． （2）请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． （1）结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； （2）平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； （2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 21. 如图1，在矩形中，，，沿对角线剪开，再把沿方向平移，得到图2，其中交于，交于． （1）在图2中，除与外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明； （2）设．①当为何值时，四边形是菱形？②设四边形的面积为，求的最大值． 22. 综合与实践 【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密结合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺量出的长度． 【问题解决】已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） （3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，如果将圆柱换成正方体也能得出的长度．如图5，设正方体的棱长为．请用含、的式子表示的长度． 23. 综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟大作业（二）数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选和未选均不得分．） 1. 如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下7 ℃可记作（ ） A. -7 ℃ B. +7 ℃ C. +12 ℃ D. -12 ℃ 【答案】A 【解析】 【详解】通过题意我们可以联想到数轴，零摄氏度即原点，大于零摄氏度为正方向，数值为正数， 小于零摄氏度为负数．故选A 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故D正确． 3. 两根长方体的木块如图所示放置，则其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，根据主视图是从正面看到的图形判定则可． 【详解】解：从正面看有两列，左边是一个矩形，右边是一个正方形． 故选：A． 4. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 5. 若点在第三象限，到横轴的距离为，到纵轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，判定点所在象限，根据第三象限点的坐标特征及点到坐标轴的距离确定坐标符号和数值． 【详解】解：第三象限内点的横、纵坐标均为负数， ∵到横轴（轴）的距离为，即纵坐标绝对值， ∴， 到纵轴（轴）的距离为，即横坐标绝对值， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是到3之间，再结合每个选项的无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是到3之间， ∵， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， 故B选项符合题意； ∵， ∴， 故C选项不符合题意； ∵， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：B． 7. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，并将不等式的解集表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键．分别求出不等式①，②的解集，再将其表示在数轴上即可得出结论． 【详解】解：将不等式组的解集表示在数轴上为： 故选：A． 8. 若一元二次方程的两个实数根是，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根是，， ∴． 9. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解． 【详解】解：设放大后的长为． 由题意：， 解得：． 所以放大后的矩形的长为． 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线的顶点在第一象限，即对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴ ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 综上所述，D选项的结论错误． 11. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得， ， 整理得， 解得， ∴这个数为， 故选：A． 12. 如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小， 在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴等边的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用提取公因式法分解因式，提出公因式进行分解即可． 【详解】解：． 14. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计已突破3017000000元，其中数据3017000000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 15. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外接圆、勾股定理等知识点．如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 16. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，设，得到，证明，列出比例式求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，设， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 在中，； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：， 检验：时，， ∴原方程的解为． 18. 某校开展“数学节”活动，每个学生都参加说题活动．为了解学生的说题水平，从全校学生的说题成绩中随机抽取50名学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：．下面给出了部分统计信息： 说题成绩在组的人数统计表 成绩（分） 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 2 2 3 0 4 3 1 4 1 根据以上信息解决下列问题： （1）所有抽取学生的说题成绩的中位数是_____分． （2）请估计全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）83 （2）720人 【解析】 【分析】本题考查了统计表和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，中位数为第25，26个数据的平均数， 由条形统计图可得第25，26个数据在组， 而， ∴第25，26个数据为，， ∴中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校1200名学生的说题成绩不低于80分的人数为720人． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． （1）结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； （2）平移得到，其中点A，B，C的对应点分别是，且点与点B关于原点O中心对称，画出，并说明是由怎样平移得到的？ 【答案】（1）； （2）见解析，是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案． （2）根据中心对称的性质可得点，再根据平移的性质画图，可得答案． 【小问1详解】 解：由图可得，，． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 则是由向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到的． 20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； （2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】（1）400 （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可； （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答． 【小问1详解】 解：； 故答案为：400； 【小问2详解】 解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则， 解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 21. 如图1，在矩形中，，，沿对角线剪开，再把沿方向平移，得到图2，其中交于，交于． （1）在图2中，除与外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明； （2）设．①当为何值时，四边形是菱形？②设四边形的面积为，求的最大值． 【答案】（1）≌，≌；理由见解析；（2）①；②最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据图形得到全等的三角形≌，≌，利用ASA证明≌； （2）①证明∽△ABC，求出，证明△∽△BAC求出，根据菱形的性质得到，即可求出x； ②证明四边形是平行四边形，利用面积公式求出面积y，再配方为顶点式即可得到y的最大值. 【详解】（1）≌，≌， 证明∵图1中，，∴． ∵，∴； ∵，， ∴≌． （2）①∵，，∠BAC=90°， ∴AC=5， ∵∥BC， ∴∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ∵∥AC， ∴△∽△BAC， ∴, ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得； ②∵AB∥，∥BC， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴y最大值为． 【点睛】此题考查矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定定理，二次函数的性质. 22. 综合与实践 【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图所示，由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密结合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺量出的长度． 【问题解决】已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） （3）【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，如果将圆柱换成正方体也能得出的长度．如图5，设正方体的棱长为．请用含、的式子表示的长度． 【答案】（1） （2）是 （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求出，即可求解，再由求解即可； （3）先解求出，即可求解，再同上可求解． 【小问1详解】 解分别与，相切于点，， ，； 【小问2详解】 解：∵钢柱的底面圆半径为， ， ，， ， ， 同理， ， ， ∴该部件的长度符合要求； 【小问3详解】 解：如图，用游标卡尺测量出的长度． ∵正方体的棱长为， ， ， ， ， ． 23. 综合与实践 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形，O是上一点，连接，存在点O，使得且，我们称四边形是“可等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． 初步探索 （1）如图①，矩形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是_______； 类比探究 （2）如图②，四边形是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为G和H．请写出，，之间的数量关系，并证明； 拓展应用 （3）如图③，在中，，，，点B，C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），两点之间的距离为或． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则，证明，即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到结论； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图（1），过点作于点，则． 矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， 即． 故答案为： （2）． 证明：，． ， ． 四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ． （3），，， ． 由题意，得点，均不可能在边上，故分两种情况讨论． a．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（2），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则． 同理（2）可得， ，． 设，则． ， ， ， 即， 解得， ． b．当点在边上，点在边上，且四边形为“可等垂四边形”时，如图（3），则． 设点为它的“等垂点”，连接，，过点作于点，则， ， ， ，， ． 同理可证，． ， ． 连接，则． 综上，，两点之间的距离为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，读懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $