湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题

**基本信息** 高一数学期中试卷以摩天轮运动、石狮子石球等现实情境为载体，通过空间几何、函数综合题考查空间观念、运算能力与推理意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、命题、向量基底、斜二测画法|基础概念辨析，如第3题命题否定与存在性判断| |多选题|3/18|面面线线关系、复数、三角函数应用|第11题摩天轮运动结合三角函数图像与性质| |填空题|3/15|复数虚部、投影向量、球体轨迹体积|第14题石狮子石球轨迹体积考查空间想象| |解答题|5/77|复数、空间几何、三角函数、指数函数、解三角形|第16题空间几何证明与作图，第19题解三角形综合应用|

高一数学参考答案 i-8:ADCBBADB 9.AC 10.ACD 11.ABD 1.A解析：T={log2x|x∈S}={01,2,3},Cu(SUT)={5,6,7} 2D解析： 1-tanl5°，1+tan15° 1+tanl5°'1-tanl5° =ia(45°-159)+am(45°+159=4 3.C解析：A选项：命题“3x>0,x2+x-1>0”的否定是“Vx>0,x2+x-1≤0”，故A错；B选项： 2x+4y=偶数≠3=奇数，故B错误：C选项：(2)3=2，故C正确；D选项：n2+n=n(n+1)为偶数， 故D错误 4.B解析：a+b=(2元+4)只+（←1+k)=0,由，e2是平面内一组基底可知，与可2不共线，则有 2+A=-+吸=0联立+=1，解得=方 5B解折：4244C-2+2-2x2x5cos至+，2+2-2x2×5cos型 4 =V7-26+V7+2后=6-1+6+1=26所以直观图的周长为2√6+4. 6.A解析：解得-2W5≤x+y≤25，当且仅当x=y=-V5,x+y=-23,当且仅当x=y=V5时， x+y=25,故①正确，②错误；3=x2+y2-y≥-2y-y=-3y，y之-1，故③正确；x2+y2-y=3 可变形为产+y-3=≥+少，整理得x+y≥2，当且仅当x=-y=1时，等号成立，故④错误 2 7D解折：修制aoa=E方体-2yE-2亚袋台=8-子-14-及. 333 8.B解析：f(x+a)[f(x]+9f(x)=x(x-a)2+9x-a)=(x-ax2-ax+9)20 x-a20 (x-a(x2-ax+9)20→ 或/-as0 x2-ax+9≥0x2-ax+9≤0 x-a20 a≤(x)min a≤2 -x+920as+→ →a≤2 as6 x-a≤0 (az(x)max 「a24 或 x2-m+9s01a≥x+2a 9 →a213 2 9.AC解析：B选项：m,n要交于一点；D选项：a,B可能相交 10ACD解折：人选项：若气=，等式成立，故A错误：B选项：点乙的轨迹是以兮之为圆心， 以1和2为半径的圆环，放最大值是2+三 ，最小值是1-票，放B正确：C选项：若马1，满 2 足名-2>0，虚数不能比较大小，故C错误；D选项：名-=名+2，若=1+i,2=1-i,等式成立， 不满足22=0，故D错误。 i1.ABD解析：由题可知，h()的最大值与最小值分别为38和2，可得a+b=38,a-b=2,解得a=20,b=18, 0的周期为36，可得2=36，解得@=，h0=20+18如9=2，结合的范围解得=-分，故A 选项正确：由A可得40=20+18sm货1-孕=20-18c0爱1，令0229，得c0s得45-宁解得4e2,2叫， 第1页共.4页 1的总长度为12秒，故选项B正确：L(k)的定义域为[0，+o),显然L(化)不存在对称中心，故C选项错误； 不等式解得h()<h()<2()或h2(①)<h()<h()，3个座舱可视为在圆上以相同速度运动的三个点，当游 客座舱高度位于另外两个座舱高度之间时满足不等式，计算得知，当t=4.5,13.5,22.5,31.5时有h()=h()或 h()=h2(),画图可解得t∈(4.5,13.5)U(22.5,31.5),t的总长度为18秒，故D选项正确. 12号解折：：-牛21+24石-山-2必 (2+) 5 5 解析：由āH1可知，〈a,)=(,b)，可推得11a+),解得m=-2,投影向量为 5- 4 14.432+720π解析：由题知球的半径为6，如图所示正四棱台， 当球与左边或右边侧面相切时，沿斜高作出如图截面，又下底边长为24，上底边长14，高12，所以MN=24, FE=14,EH=12,根据题意四边形MNEF为等腰梯形，HN=5,则tan /ENH=tan∠MP= 又球心O在∠FMP的角平分线上，∠FMP=2∠OMP, 1am2ZOMn,解得aa∠0P=子，或m∠O你- tam∠FMp=tan2LO,Mp=-2tan∠OMP 舍去， 又am∠0P=02=6=2→MP=9,所以00，=P1=24-2x9=6, MP MP3 根据对称性，球心的轨迹是以OO2=6为边长的正方形球的半径为6， 4 ”=绿+2图胜+Pk方体=行元×6+2×元×62×6+6x6×12=720元+432 15解析：（1)z=m2-4+(m2-m-6) (2分) m=-2或m=2 因为复数z是纯虚数，所以 t-4=02分)→ -m-6≠0 m≠-2且m≠3 (5分) 综上所得：则m=2. (6分) （2)当m=1时，由(1)知z=-3-6i,二次方程是一对共轭虚根，所以另一根为么1=-3+61. (9分) b =z+31=-6 Q=- 由书达定理得 45 →{ (12分) =2%1=45 b= 2 a 15 综上所得： 1 、2 15' (13分) 16.解析：（1)证明：连接EG,FG,因为而=C，所以 EG/1CD,EGt平面PDC,所以EG/平面PDC,因为点G,F都是中点， 所以FG/IPD,FG文平面PDC,:FGII平面PDC 因为EF∩FG=F，所以平面EFG1IPDC平面，EF②平面EFG，所以 EFI/平面PDC. (6分) 第2页共4页 (2)在平面PBC内过点E作PC的平行线交PB与点H,易知盟=号(9分) HB 2 下证点H∈平面EFG :EH IIPC,EHa平面PDC,EH/平面PDC (11分) :平面EFG/平面PDC,EH/I平面PDC,EH∩平面配FG=E, (14分). :EHc平面EFG,点He平面EFG (15分) 1n折：)由可得。48=54+B-号径-合4m合+小8-5， 得4=8B=20=20=号=3sm2x+}+2. (4分) 令2x+号[合+2受+2小，解得xe[合+径+r水te2列： (7分) （2)方程解得f-1,即m2x+骨=-l,解得=沿+红k∈， (13分) 在[-元小内的解为x=受和x=侣，和为若 (15分) 18.解析：(1)1og2(22+3×2*-2)-x=1,得2+2*-2=0，解得x=0: (5分) (2)当a=g=1，时fe=-log3++p小0，则++p21, 又3产++p22+p,当且仅当x=0时取等，所以p∈-L,+o: (10分) (3)由a>1,g>0可知，a+9+p≥2g+p≥1，得到p≥1-2g,p+g≥g+1-2=(N-1≥0，得 a￥ 证 当等号成立时，（√-1=0，解得q=1 (17分) 19.解析：(1)通过移项可得cosA(cos2B+1)=sin2B(simA+1), 利用二倍角公式得到2 cos Acos2B=2 sin BcosB(sinA+1), 当c0s8=0时等式成立，B=受C=-4-B- 3 (3分) 当cosB≠0时，cos Acos B=sinB(sinA+1),整理得cos(A+B)=sinB,解得 4+2B=T,B=2,C=元-A-B=2 2 61 袋上，c-或号 (5分) (2)()由(1)可知，A+2B=,可得AT-2B,C=π-A-B=+B, 2 2 2 由正弦定理得42+6-咖2A+sn2Bsin2-2B） +sin2B 2 cos2 2B+sin2B c2 sin2C cos2 B -4co9*B-50os2B+2=40os2B+_2 -5 (8分) cos2B cos?B 易得80引，设1=6sB,则：行 第3页共4页 又通数y=+子在区同兮马上单调滋减，区问（受0上单河递增， 所以当c08产B=5时原式取得最小值为4反-5：当c0s2B=和，原式取得最大值均为1. 综上， 。2+e[45-5则 (1)分) (m)由4=受-2B.C=号+B可得，4CD=∠BCE=B,则 2 ∠DCE=∠CDE=号-8，∠CE0=2B,易证△MCD与AMBC相似，解得CD=白，AD=公.(13分) 2 c c 设CE=DE=x,由勾股定理可得x2+b'= 62 x+ 解得x=2-b 2c CD ab 1 3 由正弦定理得1-2 2sin LCED2csim284cos2B8 -a= a, 解得cosB= 3,sinB= 3sin C=c0sB= 3sin 4=c0s2B.=1 3 因此有6=5a,c=V6a,cD=巨2， 2 4.CE=DE=6 a，根据内切圆半径公式，得 4 v6)2 2=2S2c2E 4 a sin2B (17分) CACDE √2 a+V6 头8 另解：如图所示，容易算出∠ACD=∠BCB=8,∠CMD=7-20,∠DCB=∠CDB=70, 2 过点E作EG⊥CD,EF⊥BC,于是四边形CGEF为矩形，三角形BCE为等腰三角形 设cc=m0C=0,G=6,在cc0中，cG2+0c2=0c2,结合i=0, 可算出m= 万-方面，cae=Saom+SacE+5ae=2(cD+CB+D8), a 代入c0-号CE=D8=cG+80,即得5ae=m 2√2： 另-方面，ScnE=xCDXEG=- a2 2 4W2 从而总=51 a 4 G 02 01 B 第4页共4页 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集U={1，2，3，4,5,6,7,8},集合S={1,2,4,8},集合 则 A. {5,6,7} B. {0,1,2,3,4,8} C. {1,2} D. {0,3,4,5,6,7,8} A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是 A.命题 的否定是 B. 存在整数x,y, 使得2x+4y=3. C. 存在一个无理数，它的立方是有理数. D. 至少有一个整数n，使得 为奇数. 4. 设₁，₂是平面内一组基底，平面向量 .若存在不全为零的实数λ，μ使得 且λ+μ=1, 则k= B. C. D. 2 A. - 2 5. 在平面直角坐标系中，放置一个边长为4的正△ABC，点B与原点重合，边BC与x轴重合，则用斜二测画法画出的△ABC的直观图的周长为 A. B. C. D. 6. 若x, y满足 则下列结论正确的有 ②x+y≥-2 ③xy≥-1 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 7. 如图，在棱长为 2的正方体 中,点E,F ,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA 的中点,则多面体B₁D₁EFGH 的体积为 A. B. 2 C. D. 第 1 页 共 4页 学科网（北京）股份有限公司 8. 已知函数f(x)=x-a,若满足对任意x∈[2,4],都有 成立，则实数a的取值范围为 A. [4,6] B. C. [2,6] D. 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若α∥β, m∥α,则m∥β或m⊂β. B.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β. C.若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n. D.若m,n为异面直线, m∥α,n∥β,则α∥β. 10.已知复数z₁，z₂，则下列结论不正确的是 A.若 则 B. z₁在复平面内对应的点为Z₁，且满足 则 C. 若 则 D. 若 则 11.某摩天轮半径为18米，圆心O离地面高度为20米.当t=0时，游客从最低点进舱，此时座舱A和座舱B与O点等高.摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时86秒.设h(t)表示t秒时游客距离地面的高度(高度:米),已知h(t)=a+ bsin(ωt+φ),其中b,ω>0,|φ|＜π,下列说法正确的是 A B. 当t∈[0，36]时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒. C.记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于k米( 2 ≤k≤38)的时长为L(k)，则函数L(k)的图象关于(b，a)对称. D.当t∈[0，36]时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱A的游客和座舱B的游客距离地面的高度分别为h₁(t)和h₂(t),满足 的时长为18秒. 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 复数 则的虚部是 13. 已知平面向量=(2,1),=(m,-2),=(1,2) .若ā在b上的投影向量与c在b上的投影向量相等，则m= ，投影向量坐标为 14. 如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球.将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切.点 P为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点 P 所形成的轨迹图形的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分) 设实数m∈R，复数 (1)若复数z是纯虚数，求实数m的值； (2)当m=1时,复数z是方程 的一个根，求实数a，b的值. 16. (本题满分15分) 如图,在空间几何体P-ABCD中,底面ABCD满足 点E为线段BC上靠近点C的三等分点，点F、G为线段AP、AD的中点. (1)证明: EF∥平面PDC; (2)若平面α经过点E、F、G三点，且与棱PB交于点H.请作图画出H在棱PB上的位置，并求出 的值. 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 17. (本题满分15分) 函数f(x)= Asin(ωx+φ)+B(A,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为 和 (1)求函数f(x)的解析式及单调递减区间； (2)求方程2f(x)+|f(x)-1|=0在[-π,π]内所有解的和. 18. (本题满分17分) 已知函数 其中a>0,a≠1,p,q∈R. (1)若a=2,p=3,q=-2,求方程f(x)=1的解; (2)若a=3,q=1,对∀x∈R,均有f(x)≥0,求p的取值范围; (3)若a>1,q>0,对∀x∈R,均有f(x)≥0,证明: p+q≥0恒成立,并求出等号成立时q的值. 19. (本题满分17分) 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA-sin2B =sinAsin2B-cosAcos2B. (1)若 求C; (2)若△ABC不是直角三角形. (Ⅰ)求 的取值范围； (Ⅱ)过点C作直线CD⊥CB,CE⊥CA分别交线段AB于点 D、E ,设△CDE的外接圆和内切圆半径分别为r₁和r₂，且 求 的值. 第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项是正确 的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知全集={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,2,4,8},集合T={1og2xx∈S},则Cu(SUT)= A.{5,6,7} B.{0,1,2,3,4,8 C.{1,2} D.{0,3,4,5,6,7,8} 1-tan15°，1+tanl5o 2. 1+tan15°1-tan15° A. 23 4W3 3 B. C.5 D. 3 3 3.下列说法正确的是 A.命题“3x>0,x2+x-1>0”的否定是“x≤0，x2+x-1≤0” B.存在整数x,y,使得2x+4y=3. C.存在一个无理数，它的立方是有理数， D.至少有一个整数n,使得n2+n为奇数. 4.设ξ，2是平面内一组基底，平面向量ā=2-e2,b=名+②2，若存在不全为零的实数九，μ使 得ā+b=0,且2+u=1,则k= A.-2 B月 c D.2 5.在平面直角坐标系中，放置一个边长为4的正△ABC,点B与原点重合，边BC与x轴重合， 则用斜二测画法画出的△ABC的直观图的周长为 A.2W5+4 B.2W6+4 C.2W7+4 D.2W2+4 6.若x,y满足x2+y2-xy=3,则下列结论在确的有 ①x+y≤2W5 8x+y≥-2 ③y之-1 ④x2+y2≥2W3 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD, DA的中点，则多面体B D EFGH的体积为 D G H B.2 C. 3 C D. 策1武共4页 8.已知函数f(x)=x-a,若满足对任意x∈[2,4]，都有f(x+a)[f(x)]+9f(x)≥0成立，则实 数a的取值范围为 A、[4,6] B.®2ur3o C.[2,6] D..U) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题正确的是 A.若a/1B,m/1a,则m/1B或mcB. B.若m/1n,m/a,n/IB,则a/1B. C.若a/IB,a∩y=m,B∩y=n,则m/1n, D.若m,n为异面直线，m/a,n/IB,则a/1B. 10.已知复数，22，则下列结论不正确的是 A.若z+z子=0，则31=22=0 B.4在复平面内对应的点为么，且满灵1S2,则02长-2+月。 C.若31-22>0，则31>22 D.若名-22=3+z2,则2=0. 11.某摩天轮半径为18米，圆心O离地面高度为20米.当t=0时， m4 游客从最低点进舱，此时座舱A和座舱B与O点等高.摩天轮 逆时针匀速转动，每转一圈用时B6秒.设h()表示t秒时游客 A四 距离地面的高度（高度：米)，已知h(t)=a+bsin(at+),其 中b,0>0,l中kπ，下列说法正确的是 A,a=20,b=18@=18=号 B.当t∈[0,36时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒， C.记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于k米（2≤k≤38)的时长为L(k), 则函数L(k)的图象关于(b,a)对称. D.当t∈[0,36]时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱A的游客和座舱B的游客距离地面的 高度分别为h(t)和h2(t),满足[h(t)-h(t)][h2()-h(t)]<0的时长为18秒. 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.复数2=+2，则z的虚部是 i(2+i) 13.已知平面向量ā=(2,1)，b=(m,-2),c=(1,2).若a在6上的投影向量与c在6上的投影向量相 等，则m= ,投影向量坐标为 14.如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球.将石球看作一个标准球体， 石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球 整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切.点P为石球球面上一点，则石球在此 棱台内部任意运动时，点P所形成的轨迹图形的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 设实数meR,复数z=m2-4+(m2-m-6)i. (1)若复数z是纯虚数，求实数m的值； (2)当m=1时，复数z是方程ax2+bx+1=0的一个根，求实数a,b的值. 16.(本题满分15分) 如图，在空间几何体P-ABCD中，底面ABCD满足D=BC,点E为线段BC上靠近点C 2 的三等分点，点F、G为线段AP、AD的中点. (1)证明：EF//平面PDC; (2)若平面a经过点E、F、G三点，且与棱PB交于点H.请作图画出H在棱PB上的 H的值. 位置，并求出 第3页共4页 17.(本题满分15分) 函数f(x)=Asin(ax+)+B(A,w>0,|kπ)的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分 别为k合)和受-). (1)求函数f(x)的解析式及单调递减区间； (2)求方程2f(x)+|f(x)-1=0在[「-元，元内所有解的和. 18.(本题满分17分) 己知函数f(x)=log(a2“+pa*+q)-x,其中a>0,a≠1p,9∈R. (1)若a=2,p=3,9=-2,求方程f(x)=1的解； (2)若a=3,9=1,对x∈R,均有f(x)≥0，求P的取值范围； (3)若a>1,9>0,对x∈R,均有f(x)≥0，证明：p+9≥0恒成立，并求出等号成立时 9的值. 19.(本题满分17分) 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且cosA-sin2B=sin Asin2B-cos Acos2B. )若4=名，求C: (2)若△ABC不是直角三角形 《I)求a+6一的取值范围. (IⅡ)过点C作直线CD⊥CB,CE⊥CA分别交线段AB于点D、E,设△CDE的外接圆和内 切盟半径分别为行和，且求各的值。 a 第4页共4页