精品解析：第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学四年级

**基本信息** 聚焦小学四年级数学思维竞赛，20道填空题覆盖计算、几何、数论等领域，突出运算能力与推理意识的综合考查，适配竞赛对思维梯度的要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|20题|整数运算（第1-2题）、平方差公式（第3题）、数列规律（第4题）、几何面积（第6题）、数字谜（第7题）|第3题通过平方差公式简化计算考查运算能力；第15题海螺形面积结合等腰直角三角形性质考查几何直观；第9题汉字除法数字谜培养模型意识，体现竞赛对逻辑推理的高阶要求。|

第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学四年级 一、填空题。 1. 计算： （ ）。 2. 计算： （ ）。 3. 计算：302－292＋282－272＋262－252＋…＋42－32＋22－12＝（ ）。 4. 有一列数组，它们依次是（1，6，10）（2，12，20）（3，18，30）。第99组中的三个数的和是（ ）。 5. 三个不同的两位数的和是完全平方数，这三个数的和最大是（ ）。 6. 等腰直角三角形，斜边长是9厘米，那么这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 7. 如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么 （ ）。 8. 如图，厘米，厘米， 厘米，点在线段上，阴影部分的面积是88平方厘米，那么的长度是（ ）厘米。 9. 下面的除法中，不同的汉字代表不同数字。“未来更美好”代表的五位数是（ ）。 10. 张师傅某天生产了195个零件，他把它们分成了甲、乙、丙三堆。其中甲堆的零件数量是乙堆的4倍，甲堆的零件数量还是丙堆的7倍。那么甲堆有（ ）个零件。 11. 下图的幻方中“☆”处是（ ）。 ☆ 13 14 18 12. 一列火车长170米，每秒行12米；另一列火车长100米，每秒行15米。两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过（ ）秒。 13. 如图在直角梯形中，和都是等腰直角三角形。如果的面积是的面积为49。请问：梯形的面积是（ ）。 14. 如图所示，将自然数列有规律地填入方格表中。第30行第4列是（ ）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 如图所示，在有公共边的两个等腰直角三角形中，较小的三角形的斜边是较大的三角形的直角边。已知最小的等腰直角三角形的斜边长为2。那么这个海螺形的面积是（ ）。 16. 下表中是三行各按一定规律排列的数列，那么当这一行的数是30时，同一列中行和行的数之和是（ ）。 2 4 6 8 10 1 5 9 13 17 2 5 10 17 26 17. 如图所示， 厘米，长方形中的 厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是（ ）平方厘米。 18. 如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，第20行左起第4个数是（ ）。 19. 如图所示的除法算式中，每个□各代表一个数字，则被除数是（ ）。 20. 将自然数排列如下表。 在这个表里用长方形框出了两行六个数（图中长方形仅为示意）。如果框起来的六个数的和为423，问这六个数中最大的数是（ ）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学四年级 一、填空题。 1. 计算： （ ）。 【答案】2040 【解析】 【分析】利用凑整的方法进行简便计算。 【详解】16×125＋8×25－32×5 ＝（2×8）×125＋（2×4）×25－（32×5） ＝2×（8×125）＋2×（4×25）－（32×5） ＝2×1000＋2×100－160 ＝2000＋200－160 ＝2200－160 ＝2040 2. 计算： （ ）。 【答案】2 【解析】 【分析】我们用交换运算顺序的方法进行简便计算。 【详解】 ＝5.6÷0.7×0.25 ＝（5.6÷0.7）×0.25 ＝8×0.25 ＝2 3. 计算：302－292＋282－272＋262－252＋…＋42－32＋22－12＝（ ）。 【答案】465 【解析】 【分析】观察算式的规律，每两项为一组，形式是n2－（n－1）2，可以用平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）来简化计算，再利用高斯求和公式对所有组的结果求和。 【详解】302－292＋282－272＋262－252＋…＋42－32＋22－12 ＝（302－292）＋（282－272）＋（262－252）＋…＋（42－32）＋（22－12） ＝（30＋29）×（30－29）＋（28＋27）×（28－27）＋（26＋25）×（26－25）＋…＋（4＋3）×（4－3）＋（2＋1）×（2－1） ＝（30＋29）×1＋（28＋27）×1＋（26＋25）×1＋…＋（4＋3）×1＋（2＋1）×1 ＝30＋29＋28＋27＋26＋25＋…＋4＋3＋2＋1 ＝（30＋1）×30÷2 ＝31×30÷2 ＝465 4. 有一列数组，它们依次是（1，6，10）（2，12，20）（3，18，30）。第99组中的三个数的和是（ ）。 【答案】1683 【解析】 【分析】分别观察每组里三个位置的数字，找出各自的变化规律。根据规律算出第99组的三个数，然后把三个数相加求出总和。 【详解】分别分析数组中三个数的规律： 每组第1个数：1，2，3……，规律为：组数×1 每组第2个数：6，12，18……，规律为：组数×6 每组第3个数：10，20，30……，规律为：组数×10 求第99组的三个数： 第1个数：99×1＝99 第2个数：99×6＝594 第3个数：99×10＝990 99＋594＋990＝1683 第99组中的三个数的和是1683。 5. 三个不同的两位数的和是完全平方数，这三个数的和最大是（ ）。 【答案】289 【解析】 【分析】先确定三个不同的两位数的和的取值范围，从这个取值范围内找出最大的完全平方数。 【详解】三个不同的两位数相加， 最小取：10＋11＋12＝33 最大取：97＋98＋99＝294 33到294之间的完全平方数有： 62＝36，72＝49，……，172＝289，182＝324（大于294，舍去） 所以最大的完全平方数为172＝289，即这三个数的和的最大值为289。 6. 等腰直角三角形，斜边长是9厘米，那么这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】20.25 【解析】 【分析】遇到已知斜边求面积的等腰直角三角形，常用技巧是把两个一模一样的这种三角形拼在一起，能拼成一个正方形。这个正方形的对角线就是原来三角形的斜边。正方形的对角线×对角线÷2就能得到大正方形的面积，然后还要÷2才能得到单个三角形的面积。 【详解】9×9÷2÷2＝20.25（平方厘米） 7. 如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么 （ ）。 【答案】21 【解析】 【分析】先看个位加法，因为三个B相加，和的个位是C，所以可先列出个位加法的等式，同时考虑个位相加向十位的进位。 再看十位加法，三个B加上个位的进位，和的个位是A，因此列出十位加法的等式，同时考虑十位相加向百位的进位。 最后看百位，因为两个两位数加一个三位数和为三位数，所以百位的A加上十位的进位等于C，结合不同字母代表不同数字的条件，依次推导A、B、C的取值，再求和。 【详解】个位：B＋B＋B＝3B，和的个位是C，记进位为x（x只能是0/1/2，因为3×9＝27），得：3B的个位是C。十位：B＋A＋B＋x＝2B＋A＋x，和的十位是A，记进位为y，得：2B＋A＋x＝10y＋A，化简得2B＋x＝10y。百位：仅第三个加数有百位A，加上进位y得和的百位C，得A＋y＝C。  2B＋x＝10y，说明左边是10的倍数，尝试得：只有y＝2、x＝2时，2B＝18，得B＝9，符合要求。 个位3B＝3×9＝27，个位是7，得C＝7；根据百位关系A＋y＝C，y＝2，所以A＝7－2＝5。 原式：99＋59＋599＝757，正好是CAC（C＝7，A＝5，C＝7），且三个数字不同，符合要求。 所以A＋B＋C＝5＋9＋7＝21。 8. 如图，厘米，厘米， 厘米，点在线段上，阴影部分的面积是88平方厘米，那么的长度是（ ）厘米。 【答案】6 【解析】 【分析】连接点B和D，阴影部分被分成两个三角形，分别求两个三角形的面积，两个面积相加即为阴影部分的面积，进而求出DE的长度。 【详解】连接点B和D，由图示可知∠BCD和∠BAD是直角，可得： ＝64（平方厘米） ＝4DE 即88＝4DE＋64 4DE＝88－64 4DE＝24 DE＝6（厘米） 9. 下面的除法中，不同的汉字代表不同数字。“未来更美好”代表的五位数是（ ）。 【答案】71928 【解析】 【分析】利用竖式中倒数第一步和倒数第二步来缩小除数的取值范围，在这个范围内取值，进行验证，确定符合条件的数。 【详解】我们把除数记作（即“中国”） 观察竖式最后一步：8×＝2□□，可得200≤8×＜300，即25≤＜37.5，取整数得 25≤≤37 倒数第二步：9×＝3□□，可得300≤9×＜400，即34≤≤44（取整数） 即34≤≤37 可以取：34、35、36、37 当＝34时，“中国”＝34，“未来更美好”＝34×1998＝67932，“中”＝3，“美”＝3，重复，不符合条件； 当＝35时，“中国”＝35，“未来更美好”＝35×1998＝69930，“中”＝3，“美”＝3，重复，不符合条件； 当＝36时，“中国”＝36，“未来更美好”＝36×1998＝71928，没有重复数字，符合条件； 当＝37时，“中国”＝37，“未来更美好”＝37×1998＝73926，“中”＝3，“来”＝3，重复，“国”＝7，“未”＝7，重复，不符合条件。 所以“未来更美好”代表的五位数是71928 10. 张师傅某天生产了195个零件，他把它们分成了甲、乙、丙三堆。其中甲堆的零件数量是乙堆的4倍，甲堆的零件数量还是丙堆的7倍。那么甲堆有（ ）个零件。 【答案】140 【解析】 【分析】甲是乙的4倍、甲是丙的7倍，说明甲的数量既是4的倍数，也是7的倍数，先求出4和7的最小公倍数，以甲为标准，换算出乙、丙对应的份数，再算出三堆总份数。 用零件总数除以总份数，求出1份的数量，最后算出甲堆零件数。 【详解】4和7的最小公倍数是4×7＝28 设甲堆有28份，那么乙堆有28÷4＝7（份），那么丙堆有28÷7＝4（份）。 甲乙丙一共有28＋7＋4＝39（份）零件。 一份零件的个数：195÷39＝5（个） 甲堆的零件个数：5×28＝140（个） 11. 下图的幻方中“☆”处是（ ）。 ☆ 13 14 18 【答案】15 【解析】 【分析】依据三阶幻方的性质可知，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。三阶幻方的核心规律：幻和＝中心数的3倍，也就是任意一行的三数之和＝中心数的3倍。 【详解】根据分析，设中心数为a（如图所示）， 则幻和为： 右下角的数在最右边的竖列中，为： ☆代表的数在对角线上，和中心数，右下角的数，组成一组幻和， 所以☆代表的数为： 。 12. 一列火车长170米，每秒行12米；另一列火车长100米，每秒行15米。两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过（ ）秒。 【答案】10 【解析】 【分析】这是一道相遇问题，两车从车头相遇到车尾离开，一共行驶的路程是两列火车的长度和，速度是两车的速度和。根据路程＝速度×时间，求出时间。 【详解】总路程：170＋100＝270（米） 总速度：12＋15＝27（米/秒） 时间：270÷27＝10（秒） 13. 如图在直角梯形中，和都是等腰直角三角形。如果的面积是的面积为49。请问：梯形的面积是（ ）。 【答案】121 【解析】 【分析】两个三角形都是等腰直角三角形，已知两个三角形的面积，可以求出两个三角形的直角边长的平方数，利用梯形的面积公式也可以列出一个与两个直角三角形直角边相关的式子，进而求出梯形的面积。 【详解】△ACE是等腰直角三角形，设AC＝AE＝a △BDE是等腰直角三角形，设BE＝BD＝b ＝16 a²＝32 ＝49 b²＝98 a²＝32＝16×2＝4×4×2 b²＝98＝7×7×2 a²×b²＝（ab）² （4×4×2）×（7×7×2）＝（ab）² （ab）²＝（4×7×2）² ab＝4×7×2＝56 AB＝AE＋BE ＝（AC＋BD）×（AE＋BE）÷2 ＝（a＋b）×（a＋b）÷2 ＝（a²＋b²＋2ab） ÷2 ＝（32＋98＋2×56）÷2 ＝（32＋98＋112）÷2 ＝（130＋112）÷2 ＝242÷2 ＝121 14. 如图所示，将自然数列有规律地填入方格表中。第30行第4列是（ ）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【答案】134 【解析】 【分析】观察数表可知，两行9个数为一个周期，奇数行占6个数，偶数行占3个数，据此计算前29行的数字个数，再依次数出第30行第4列的数字即可。 【详解】前29行里共有15个奇数行、14个偶数行，总数字个数为： 15×6＋14×3 ＝90＋42 ＝132 即前29行最后一个数是132。 第30行（偶数行）的数依次是：第2列是132＋1＝133，下一个有数字的位置就是第4列，即133＋1＝134。 15. 如图所示，在有公共边的两个等腰直角三角形中，较小的三角形的斜边是较大的三角形的直角边。已知最小的等腰直角三角形的斜边长为2。那么这个海螺形的面积是（ ）。 【答案】255 【解析】 【分析】依次求出每个三角形的面积，最后相加即为海螺型的面积。 【详解】两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，这个正方形的对角线相等且互相垂直，两条对角线相交把这个正方形分成了四个完全相同的等腰直角三角形，这四个小的等腰直角三角形的边长即为原来三角形的斜边的一半；原三角形的面积＝（斜边×斜边上的高）÷2，斜边上的高为四个小三角形的直角边长，即为斜边的一半。 这个海螺型共有8个等腰直角三角形，我们按照面积从小到大依次标记为第1个三角形、第2个三角形、第3个三角形……第8个三角形。 第1个三角形：等腰直角三角形，已知斜边长＝2，那么斜边上的高＝斜边长 这个三角形的面积为： （斜边长×高）÷2 ＝（斜边长×斜边长）÷2 ＝（2××2）÷2 ＝1 如图，从第1个三角形的斜边下面的顶点向第2个三角形的斜边作垂直线，则第2个三角形被平分为两个相同的小三角形，面积相等，上面的小三角形与第1个三角形组成一个正方形，这两个三角形面积也相等，因此可得出： 第2个三角形的面积＝2×第1个三角形的面积＝2×1＝2 同理可得： 第3个三角形的面积＝2×第2个三角形的面积＝2×2＝4 第4个三角形的面积＝2×第3个三角形的面积＝2×4＝8 第5个三角形的面积＝2×第4个三角形的面积＝2×8＝16 第6个三角形的面积＝2×第5个三角形的面积＝2×16＝32 第7个三角形的面积＝2×第6个三角形的面积＝2×32＝64 第8个三角形的面积＝2×第7个三角形的面积＝2×64＝128 海螺形的面积为8个三角形的面积之和： 1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝255 16. 下表中是三行各按一定规律排列的数列，那么当这一行的数是30时，同一列中行和行的数之和是（ ）。 2 4 6 8 10 1 5 9 13 17 2 5 10 17 26 【答案】283 【解析】 【分析】观察表格可知，A行是2、4、6、8、10…是一个偶数数列，第N个数就是2N，30这个数就在第15列；B行是1、5、9、13、17…是一个等差数列，第N个数就是4N－3，则可求出第15列的数；C行是2、5、10、17、26…，规律是3、5、7、9…递增，递增的差为2N－1，则根据规律可求出第15列的数，将B行第15列的数加上C行第15列的数，就是所求结果。 【详解】30÷2＝15 4×15－3 ＝60－3 ＝57 2×15－1 ＝30－1 ＝29 2＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29＝226 57＋226＝283 17. 如图所示， 厘米，长方形中的 厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是（ ）平方厘米。 【答案】9 【解析】 【分析】这道题给了我们阴影部分的面积，不能直接用，一定是通过将BC、DE都表示出来后，列方程表示出阴影部分的面积。根据相似模型“倒8字”的△ABC与△CDE，可以得到BC与CD的比，又知道EF的长，于是再根据线段的比转化为△CDE与△BCE的面积的比。 【详解】设CD长为x厘米，BC长（9－x）厘米； 由DE平行于AB，可知△ABC与△CDE相似，DC∶BC＝DE∶AB，即 x∶（9－x）＝DE∶12，DE＝，S△BCE＝（9－x）×÷2； 即6x＝18，解得x＝3，BC＝DE＝6厘米； S△DCE＝3×6÷2＝9（平方厘米） 18. 如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，第20行左起第4个数是（ ）。 【答案】194 【解析】 【分析】观察数表，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数……以此类推，第n行就有n个数。先计算前19行一共有多少个数，此数量就是第19行的最后一个数。 第20行左起第4个数，就是“前19行的总个数＋4”。 【详解】计算前19行的数的总个数： 这是一个首项为1、末项为19、项数为19的等差数列。 根据高斯求和公式： 1＋2＋3＋……＋19 ＝（1＋19）×19÷2 ＝20×19÷2 ＝190 190＋4＝194 第20行左起第4个数是194。 19. 如图所示的除法算式中，每个□各代表一个数字，则被除数是（ ）。 【答案】4620 【解析】 【分析】已知除数的个位，且除数乘商的十位数字得到的积个位是6，由此可以计算出商的十位上的数字。 再根据商的十位上的数字乘除数得到一个四百多的三位数，可试出除数的十位数字。 最后根据商的个位乘以除数，得到的是一个两位数，可以试出商的个位数。 最后用“除数×商＋余数”求出被除数。 【详解】因为除数乘商的十位数字得到的积个位是6，只有7×8＝56，所以商的十位上是8。 因为除数与商十位数字的积与被除数的前三位数的差是一位数，所以除数与商十位数字的积也应该是四百多，只有57×8＝456，所以除数是57。 因为商的个位数字乘除数57得到了一个两位数，所以商的个位数字只能是1，商是81。 被除数＝81×57＋3＝4617＋3＝4620 20. 将自然数排列如下表。 在这个表里用长方形框出了两行六个数（图中长方形仅为示意）。如果框起来的六个数的和为423，问这六个数中最大的数是（ ）。 【答案】75 【解析】 【分析】观察数表中的规律：这100个自然数是按照1~100的顺序，从左向右依次排列，一行7个数，同一行相邻两个数相差为1，同一列相邻两行的数相差为7。据此设其中一个数为a，则其他5个数都可以表示出来，6个数相加为423，即可求出a的值，进而求出最大的数。 【详解】设框出来的6个数中，第一行中间的数为a，那么： 第一行三个数为：a－1，a，a＋1 第二行三个数为：（a－1）＋7，a＋7，（a＋1）＋7 6个数的和： a－1＋a＋a＋1＋（a－1）＋7＋a＋7＋（a＋1）＋7＝423 化简得 6a＋21＝423 6a＝402 a＝67 最大的数（a＋1）＋7＝（67＋1）＋7＝75 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $