专题5 提升点8 圆锥曲线中二级结论的应用 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

　　　　　　　　　　　　　　　　　专题强化训练 [A　基本技能] 1．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝8y上的两点，且直线AB经过C的焦点，若y1＋y2＝12，则|AB|＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：选C.|AB|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝12＋＝16. 2．已知椭圆C：＋＝1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．2 C．4 D．6 解析：选B.设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知，S△PF1F2＝b2tan＝6·tan ＝2. 3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选D.记AB的中点为P(1，－1)，由kOP·kAB＝－，得－1×＝－，即a2＝2b2，又由题意知c＝3，即a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1. 4．过双曲线x2－y2＝2上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为(　　) A． B．1 C．2 D．4 解析：选B.双曲线x2－y2＝2的渐近线方程为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为|PA|×|PB|＝＝1. 5．黄金分割比ω＝≈0.618被誉为“人间最巧的比例”．离心率e＝的椭圆被称为“优美椭圆”．已知“优美椭圆”＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点P(异于椭圆的左、右顶点)，设直线PA，PB斜率分别为k1，k2，则k1k2＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.根据椭圆的第三定义，可求得k1k2＝－＝e2－1＝()2－1＝. 6．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：选A. 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈(0，)，则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线焦点弦的弦长公式知|AB|＝＝，|DE|＝＝，所以|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时取等号，所以|AB|＋|DE|的最小值为16. 7．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得∠F1MF2＝2α(α≠0)，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　) A．(0，sin 2α] B．(0，sin α] C．[sin 2α，1) D．[sin α，1) 解析：选D.由题，0＜2α＜π，则0＜α＜，由焦点三角形面积公式得S△F1MF2＝b2tan α，设M(x0，y0)，则|y0|≤b，所以S△F1MF2＝·2c·|y0|≤bc，故S△F1MF2＝b2tan α≤bc，所以b sin α≤c cos α，两边同时平方得(a2－c2)sin2α≤c2cos2α，解得sinα≤e，又0＜e＜1，所以sin α≤e＜1. 8．(2025·郑州第二次质量预测)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，倾斜角为锐角的直线FN与圆A：x2＋y2－6x＋6＝0相切，PN⊥l于点P，则△PNF的面积为(　　) A．2 B．4 C．4 D．16 解析：选C. 由y2＝4x可知F(1，0)，l：x＝－1，圆A的标准方程为(x－3)2＋y2＝3，所以圆心A(3，0)，半径r＝.如图，设NF与圆A相切于点Q，连接AQ，则AQ⊥NF，在Rt△QFA中，|AQ|＝，|AF|＝2，所以sin ∠QFA＝，∠QFA＝. 方法一：tan ∠NFA＝，所以直线NF的方程为y＝(x－1)，与抛物线C的方程联立得消去y可得3x2－10x＋3＝0，解得x＝或x＝3，由直线FN的倾斜角为锐角可知，xN＞xF，所以N(3，2)，所以|PN|＝|NF|＝xN＋＝3＋1＝4，故S△PNF＝|PN|yN＝×4×2＝4. 方法二：|NF|＝＝＝4＝|PN|.因为PN∥x轴，所以点F到PN的距离h＝|NF|sin ＝4×＝2，所以S△PNF＝|PN|·h＝×4×2＝4. 9．(多选)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD中点 解析：选BCD.设直线AB的倾斜角为θ，则θ＝.由抛物线的焦点弦的性质，得|AB|＝＝8，解得p＝3，则|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，＋＝＝，过点B作准线的垂线，垂足为B′(图略)，在Rt△DBB′中，cos θ＝＝＝，所以|BD|＝2|BF|＝4，又|DF|＝|BF|＋|BD|＝6＝|AF|，因此F为AD中点．综上，A错误，B，C，D正确． 10．(多选)(2025·邵阳二模)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C的右支交于A，B两点，则(　　) A.直线y＝x－1与C恰有两个公共点 B．双曲线C的离心率为 C．当∠F1AF2＝60°时，△AF1F2的面积为5 D．当直线AB的斜率为k1，过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时，k1k2＝ 解析：选BC.对于A，联立可得所以直线y＝x－1与C只有一个公共点(或双曲线C其中一条渐近线的斜率为，又直线y＝x－1过(0，－1)且斜率为，故不可能有两个公共点)，故A错误； 对于B，对于双曲线C，a＝2，b＝，c＝＝3，所以双曲线C的离心率为e＝＝，故B正确； 对于C，设|F1A|＝m，|F2A|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝36＝m2＋n2－2mn·cos 60°＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn＝16＋mn， 可得mn＝20，则S△AF1F2＝mn sin 60°＝×20×＝5(另解：S△AF1F2＝＝＝5)，故C正确； 对于D，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 线段AB的中点为M(，)， 则k1＝，k2＝＝， 则k1k2＝，由题意可得 所以－＝0，则k1k2＝＝(另解：直接利用结论k1k2＝＝)，故D错误． 11．(多选)(2025·黄冈二模)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．若|FA|＝3|FB|，则直线AB的倾斜角为60° B．以线段AB为直径的圆与l相切 C．存在直线AB，使得OA⊥OB D．若直线AO交l于点D，则BD⊥l 解析：选BD. 对于A，抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝－1.设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 消去x得y2－4my－4＝0，Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.① 由抛物线的定义知|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1. 因为|FA|＝3|FB|，所以x1＋1＝3(x2＋1)，即my1＋2＝3(my2＋2).② 联立①②可得m＝±，则直线AB的斜率k＝±，倾斜角为60°或120°，所以A错误；对于B，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为A′，B′，M′.根据抛物线的定义，|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，则|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)＝|AB|. 所以以线段AB为直径的圆与l相切，B正确； 对于C，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若OA⊥OB，则·＝x1x2＋y1y2＝0. 由y＝4x1，y＝4x2，可得x1x2＝＝1， 则1－4＝－3≠0，所以不存在直线AB使得OA⊥OB，C错误； 对于D，设点D的坐标为(x，y)，直线AO的方程为y＝x，令x＝－1，得y＝－. 因为y＝4x1，所以y＝－＝－. 又y1y2＝－4，则y＝y2，所以D点的纵坐标与B点的纵坐标相同，即BD⊥l，D正确． 12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA与PB的斜率之积为________． 解析：由题意知e＝2，即e2＝4，所以kPA·kPB＝＝＝e2－1＝3. 答案：3 13．已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，若|AF|＝3，则|AB|＝________． 解析：设∠AFO＝α，则由焦半径公式，|AF|＝＝＝3，解得cos α＝，由焦点弦公式，|AB|＝＝. 答案： 14．已知P是椭圆＋＝1(a1>b1>0)和双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝，则e1·e2的最小值为________． 解析：因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S△PF1F2＝b·tan＝，化简得b＝3b，即a－c2＝3(c2－a)，等式两边同除以c2，得－1＝3－，所以4＝＋≥，解得e1·e2≥，当且仅当＝＝2时，等号成立，所以e1·e2的最小值为. 答案： [B　综合运用] 15．(多选)(2025·焦作二模)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，斜率为且过点F2的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且|AF1|＝|AB|，则(　　) A．点F1到C的渐近线的距离为 B．|AB|＝10 C．C的离心率为2 D．分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦长为 解析：选ACD. 双曲线C：x2－＝1(b＞0)，则a＝1，对于A，C，连接BF1，由题意得tan ∠BF2F1＝，∠BF2F1为锐角， 所以 解得cos ∠BF2F1＝，sin ∠BF2F1＝， 由于|AF1|＝|AB|，所以|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a＝2，又|BF1|－|BF2|＝2a＝2，故|BF1|＝4， 设|F1F2|＝2c(c＞0)， 在△F1F2B中，由余弦定理可得|BF1|2＝|F1F2|2＋|BF2|2－2|F1F2||BF2|cos ∠BF2F1，即16＝(2c)2＋4－2×2c×2×，解得c＝2(负值已舍去)，故离心率为＝2， 点F1到C的渐近线的距离b＝＝，故A，C正确； 对于B，设|AF2|＝m(m＞0)，则|AF1|＝|AB|＝2＋m， 在△F1F2A中，由余弦定理可得(2＋m)2＝16＋m2－2×4×m×(－)，解得m＝6，故|AB|＝2＋6＝8， (另解：|AB|＝||＝8)故B错误； 对于D，因为|BF1|＝|F1F2|＝4，所以△BF1F2为等腰三角形， 过点F1作F1E⊥BF2于点E，因为|F1F2|＝|BF1|＝4，所以E为BF2的中点， 易知分别以BF1，F1F2为直径的圆的公共弦为F1E， 且|F1E|＝＝，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $