非对称韦达定理与应用 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

非对称韦达定理与应用

在一元二次方程 中，若 设它的两个根分别为x₁，x₂，则有根与系数关系： 借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x₁，x₂的不同系数的代数式的应算，比如求 或 之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了。特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如 或 之类中x₁，x₂的系数不 对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”.或者在处理斜率比值的时候：

还有诸如线段的比例关系会得到： 或者 的结构.

我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 和 之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法.

这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：

(1)利用关系式 将问题转化韦达定理求解.

(2)韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 和x₁·x₂之间 的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法.

这样的非对称形式，即韦达定无法直接代入，可以通过下面的方法解决：

(1)利用关系式 将问题转化韦达定理求解.

(2)韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析

 

二.典例分析

1.已知点F为椭圆 的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为 证明 为定值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.（2024届湖北省宜昌二模）已知、分别是离心率的椭圆的左右顶点，P是椭圆E的上顶点，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3．（2018数学竞赛（重庆赛区））设椭圆C的左、右顶点为A，，过右焦点作非水平直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP，BQ的斜率分别为，，试证：为定值，并求此定值（用a的函数表示）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．