非对称韦达定理与应用 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中非对称韦达定理这一核心考点，围绕非对称结构的识别、转化方法及应用，构建“理论梳理-方法提炼-典例精析-习题巩固”的复习体系。通过考点解读明确非对称形式的特征，方法指导教授和积转换、配凑代换等策略，真题训练结合高考及模拟题实例，帮助学生突破韦达定理无法直接代入的解题难点。 讲义突出“问题转化”的教学创新，如在椭圆中证明斜率比值为定值时，引导学生通过反设直线联立方程，利用韦达定理进行和积转换，将非对称结构转化为对称型，培养数学思维中的推理能力与运算能力。设置分层练习匹配不同学生需求，配合即时方法总结，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生圆锥曲线解题能力提供系统支撑。

再难的题，都是你成长路上的试炼 非对称韦达定理与应用 在一元二次方程x2+bx+C=0中，若△>0，设它的两个根分别为x1,x2,则有根与系数关系： X,X281十X2=一号，X12=气，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 |1一2l,+x经房十高之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x1,x2的不同系数的代数式 的应第，比知求出是，密需或心十之美的结构，就相对校难地特化到立用韦达定理来处 理了。特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去×或y,也得到一个一元二次方 花，我们就会西格者同样的困空，我们把这种形知名+2x,y+y,爱或装气密之美中， x2的系数不1，X2对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”.或者在处理斜率比值的时 y1- KPA 81 x2y1-tx2kx8m-t图 候：kpg=实=1yt压=m-tx 82 还有诸如线段的比例关系会得到：&1=2或者y1=y,的结构。 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到X1十X2和1·X2之间 的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决： 1)利用关系式入+京=号+导=-2，将问题特化市达定理求解 (2)韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到X1十2和X1·2之间 x1·2的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法。 这样的非对称形式，即韦达定无法直接代入，可以通过下面的方法解决： (1)利用关系式入+贵=是+=⑧一2将问题转化韦达定理求解. x182 (2)韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型 具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：(x心2=g(t) m+=fe)→m(d)(c+)=n)x2 代入之后进 行代换消元解题.下面通过例题来分析 二.典例分析 再难的题，都是你成长路上的试炼 1,已知点下为椭圆E:等+号=1的右焦点，A,B分别为其左、右顶点，过F作直线1与椭圆交于M,N 两点（不与A,B重合），记直线AM与BN的斜率分别为k,k证明是为定值. 2(2024届湖北省宜昌二模)已知4、4分别是离心率e=2的椭圆E:二+若 2 :。+厅=1(a>b>0)的左右顶点，P是椭圆E 的上顶点，且PA·P4=-1. (1)求椭圆E的方程； (2)若动直线I过点(0，-4，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线AM恒过定点. 再难的题，都是你成长路上的试炼 3.(2018数学竞赛（重庆赛区）)设椭圆C的左、右顶点为A,B(a,0),过右焦点F1,0)作非水平直线1与椭圆C交于 点，记直线AP,BQ的斜率分别为k,名，试证：为定值，并求此定值（用a的函数 4,己知椭圆E:+少 疗十方1川a>6>0的右焦点为5.上顶点为H.0为坐标原点，∠0那=30，点》 在椭圆E上 (1)求椭圆E的方程： (2)设经过点F且斜率不为0的直线|与椭圆E相交于A,B两点，点P(-2,0),Q(2,0).若M,N分别为直线AP,BQ 与y轴的交点，记△MP2,△NPQ的面积分别为SMPQ,SANPO,求 SAM的值. SANPO 已刻椭圆C:二+口>h>0的右焦点F与猫物线：y2p四P>0的焦点相同，曲线C的离心率为 M(2,y)为E上一点且MF=3. 再难的题，都是你成长路上的试炼 (1)求曲线C和曲线E的方程； (2)若直线：y=c+2交曲线C于P、Q两点，1交y轴于点R ()求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）， (i)若RP=入RO,求实数2的取值范围. 圆C>♪>0的温心率为点4，B分别为C的上下顶点，点DT0川为B的四等粉法 (1)求椭圆C的方程； 再难的题，都是你成长路上的试炼 (2)若过点D的直线I与C交于异于A,B的E,F两点，且直线AE,BF交于点M,证明：点M在定直线上， 三、习题 7.已知B(-1,0),C(1,0)为ABC的两个顶点，P为ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6. (1)求点P的轨迹T的方程； (2)已知点N(-3,0),E(-2,0),F(2,0),直线PN与曲线C的另一个公共点为Q,直线EP与FQ交于点M,求证：当 点P变化时，点M恒在一条定直线上 若+片-1a>>0的离心率为号，且点25,5在椭圆E上 8.已知椭圆E:x+y 3，-3 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若过定点F(O,2)的直线交椭圆E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG=入F五，求1的取值范围， 5 再难的题，都是你成长路上的试炼 9.已知双圃线c:等卡=口>0b>0过点43，-回，且海近线方程为r士v5=0 (1)求双曲线C的方程： (2)如图，过点B(1,O)的直线1交双曲线C于点M、N直线MA、NA分别交直线x=1于点P、Q, PB队的值 BO V 10.（2024满北一校)如图，0为坐标原点，椭圆C:等+芳=1(a>6>0)的焦距等于其长羊维长，MN为能圆C 的上、下顶点，且MN=2√5 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(0,1)作直线I交椭圆C于异于M,N的A,B两点，直线AM,BN交于点T.求证：点T的纵坐标为定值3. 6 再难的题，都是你成长路上的试炼 B.0,B(√3.0分别是椭圆C千+片a>b>0)的左、石焦点，P是椭圆C上的-点 时，PF2=2IPF1. (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点Q(-4,0)的直线|与椭圆C交于M,N两点，点M关于x轴的对称点为点M',证明：直线NM'过定点. 再难的题，都是你成长路上的试炼 非对称韦达定理与应用答案 1.【详解】（反设直线）由题，A-2,0,B2,), x2,y2 设1：x=,w,N则=在2，与=产2，联立香，消x得43p+6-g=0, x=y+1 P 再难的题，都是你成长路上的试炼 6t y+2= 且△=362+36(4+312)=1442+144>0，则 4+312 9 。 y2=-4+32 (策略一：和积转换，一般是积转和)所以，=0+，代入得， y 1 3 4.+2+,-1.9=1-30+）-”2+2-， k222y+3)2+32 3 ,为定值，得证 19= x2-2y2-1 204+%)+3y21+2 91 6t 31 （策略二：配凑半代换)因此会-.4 9y2+3y2 91 4+32+3 ”3，得证 2.【详解】解：（1)由题意得4(-a,0),A,(a,0),P(0,b 则PA,·PA,=(-a,-b)(a,-b)=-a2+b2=-c2=-1,所以c=1, 又， a之，所以a=5,b=1,所以椭圆E的方程为5+y户=1. a2=b2+c2 (2)当直线1的斜率存在时，设直线1：y=x-4,A(x,),B(x2,2),则M(-x2,), x2 由2+2=1 消去y得1+2k2）x2-16x+30=0.由△=(-16k)2-1201+2k2)>0, y=x-4 得号所以+6品m安4， x+x2x+x2 x1+x2 直线AM的方程为y-=山x-), +x2 即y=+5x-=-4+x-=画-区++医-x- x1+x2 x+x2 x+x2 2西-4(x+)+(-_k-x+2西-4， 七+x x1+x2x+2 ,2k30 因为+场，所以经-4晨4 .30 X1+x2 4 1+2k2 直线仙的方程为可化为，之则直线仙恒过定心 当直线的斜率不存在时，直线4M也过点0，-)，综上知直线4M恒过定点0,4 再难的题，都是你成长路上的试炼 3.【详解】证明：设：xy1,代入椭圆方程导二得 (a2-12+a2)y2+2(a2-1y-(a2-1=0 2a2-1t 设P,(,则%+=a2-r+,%= (a2-12 (a2-lr2+a21 两式相除得架子，+，由题意知6与产。 x2-aty2-a+1· 从g信 因为 a2-2a+1a-1-a2-1 a2-1a+1a2+2a+1 所以瓷8品 4.【详解】(1)由<0=30，得6=5e(c为半焦距)，：点1)在椭圆E上，则 19 a+461. 又c=+d,解得a=2,=5,c=1,椭圆E的方程为号+号. (2)由（1)知E(1,0).设直线1：x=四y+1,Ax,),B(x2,y). x=my+1 由2兰)消去x得a+4+6m-9=0.显然4=14小>0.则+%=4 43 %3m子4m=引+为. -9 由P2,0,2,0,得直线P的斜率x本2，直线0的斜率=2 女3-2· 1m四2.瑞月 2PgloM1 OM IPOl-ONI lON 13 品 24+)-为 +2_1·SM=1 男+%+3识 39,=3··SN03 2+2 5.【详解】1)e=9=1a=2c,b=Q2-c=3c今椭☒U:42+s1 a 2 o 再难的题，都是你成长路上的试炼 又Mr=w+号=2+号=3p=2,c=号=1→椭圆C:苦+号=1，抛物线E:y=4r 2 2 43 (2)(iD设Po,Q联立3+22B+4F+6+4=0面4>0→> 4 且+3+4,34报1阳=k-小+2可 -16k 4 原点0到直线1距离 3+4k2 d=e,s.ne-FQld-2-司 2 2k-3,令 23+4k2 V1+k23+4k2 1=i2-3>0=4状-3-1，所以57n,4 ,品品9，当且仅当 33 1->0,1=25,★=±5时，等号成立，此时面积最大为 4 (ii)RP=(x,y-2),@=(x为-2，RP=元R0→x=元x,→元=， +片点+点5+-2，及++2=s+, 元龙3xx2 4 良02 64 元3+43+4”(2> →+2+e4163+21ae7-45.小7+45). 6.【详解】1)由题意可知，日5，因@，80-，且0为B的四等分点，所以 2b=4,所以b=2, c 5 又。=4+心，所以由设，解得=5，c=1,改椭圆c的方程为兮+号1. a2=4+c2 (2)由题意可知，直线1的斜率存在，设直线方程为y=x+1,Ex,),F(x,). 2+y=1 由5，得5++1015=0，所以+6=04=g、所以+=. 10k y=kx+1 再难的题，都是你成长路上的试炼 由(1)可知，A0,2,0,-2，,所以ke=2_,所以4E的方程为=x+2,同理 可知的方程为y=“,+x-2,将两直线方程联立方程组可知， 2x12x2 y-3.225+3x-.2++3-]-4,故点M在定直线=4上. X1 X2 3x1+x2 3x1+x2 kx -1 kx2 +3 7.【详解】(1)因为P为ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6， 所以P+Pq号x6=4>Bc,故由椭圆的定义可知P的轨迹c是以8-L0，C.o为焦点的椭 圆（不包括长轴的端点）， 故设点P的轨迹r的方程为号若=x如，所以a=2,。=1,所以=，所以的轨迹r的 方程为号号=x*2: (2)设直线P的方程为：x=my-3,P(x),(x4y4, x=my-3 联立方程，兰-得：3m+4-1+15=0,由4>0整理得：14m-240>0,即m≥5或 3 43 ms、5 3 则%+%45x片4所以2我+小，又直线P胆的方程为： 5 y2+2+2, y=,(x+2) 又直线05的方程为：产2-2-2，联立方程 my3-1 得： =4x-2) my4-5 x=2(2m5) -y4+5y3 无-代入上式得：9 3-5y)4,所以当点P运动时，点M恒 -y4+5-y4+5y33 在定直线x=-上 12 再难的题，都是你成长路上的试炼 c2 [a=V2 8.【详解】(1)由题意可知： 41 3+3=1 解得： b=1:椭圆C的标准方程为： a+ c=1 a2=b2+c2 +y2=1. 2 (2)①当直线GH斜率不存在，方程为x=0,则FG=F丽，} y=+2 得： 宜线GH斜率存时，设直线GH方程为y=“+2,联立L +2+46+3=0. 由a=16-12对村>0得：发2>号设，小，则+5 -4k-8k 2 2*1+22, 3 6 xx2=1 2+k31+2k2, 又FG=F丽，（x-2》=x-2》,x=x,则元=5， +-当+点+2=++2=， 32k2 32 30+2)2+】 入 23 2宁，所以+29，解得：}<，又0<1， 所以4天之一< 3( 1 ≤元<1 3 综上所述：的取值范围为5). 9.【详解】(1)双曲线C的渐近线方程为x±√3y=0,则可设双曲线C的方程为 苦-r-00， 代入点A3-2),即-(=1=元，故双曲线C的方程为号y=1. 再难的题，都是你成长路上的试炼 (2)由双曲线C的方程为写少=1的方程可得a=5,6=1c=+=2, 由题意可得点B(1,0),则有：当直线1与y轴垂直时，则M(-5,0,N5,0,可得直线 AM:y=- 51,则9，即点 同理可得：点Ql, 放Pg-@-5,即岛，当直线1不与轴垂直时，设直线=+16小M, x=y+1 2t 2 联立方程 x2 -1’消去X得-3y+2-2=0，则A>0+2=2-3,片=2=3 得直线出等-导， 令x=1,则-y+V2×-2-2=-N1中2必，即点P1,-) 同理可得：点 出-2 %-2 -2 .(V21+2y(21+2_(V21+2[.-2y+(,-2y]_(N2+2[2y-2y+⅓] y-2 y2-2 (y-2(2-2) (y-2)(y2-2） +” =0 (y,-2(少2-2 即点0关于x轴对将，成a,用器，综上所途：园的值为1 10.【详解】解：(1)由题意可知：2c=a,2b=23,又a2=b2+c2, 有6=店c=L=2,放裤圆c的方程为：苦+背= 14 再难的题，都是你成长路上的试炼 (2)由题意知直线的斜率存在，设其方程为y=c+1,用AB的横坐标表示T的纵坐标， 再联立1的方程和椭圆的方程，消去y得4k2+3)x2+8x-8=0，利用韦达定理化简T的纵坐 标后可得所求的定值. 设Ax,y),B(x2y2（xx≠0)， y=kx+1 联立直线方程和椭圆方程得 3x2+42-12=0,消去y得(4k2+3列x2+8x-8=0, -8k -8 X1+X2 4k2+3642+3’且有￥+x=2, y=+3 x-V3 又w:y=t5x-5,1wy=15 X2 x·x+3, 得 .x+V3 y-3_y-5 X2 y+v3 2+V5’ 放’-5：+1-5 X2 五+-，整理得到5+，放 y+v3 x,+1-V5kxx2+(1+V5)x 231+V3)x-1-V3)x2 y=5x[2+20-+1]=v5x2+++5--5×3++5--3. (1+V5)x-1-V5)x2」 1+V3)x-(1-V3)x2 V3(x+x2)+(x-x2 故点T的纵坐标为3. 11.【详解】（1)由F(-V3,0),F,(3,0)得c=√5，a2=b2+(3)2=b2+3,由椭圆的定义得 PR+P=2a,:PF=2PRl,PF+2Pm=2aPF-a,PR1FR,所以点P的坐 22 标为5，±号，将点P的坐标代入椭圆的方程中有，±与0 -a 1,又 a2 42）2 a2=b2+3,b=a2-3,.5y 1解得。-9或a-号当-号 a a2-3 6=a-3=名<0，故舍去；当a2=9,62=a2-3=9-3=6,所以椭圆的标准方程为： 15 再难的题，都是你成长路上的试炼 x2 y2 =1. 96 (2)由题意可知，直线1的斜率必然存在，故设直线1的方程为y=k(x+4),设 x2,y2 M(,,N飞，，则w,,联立方程组9+6=1，得3+2列r+24x+48-18=0, y=k(x+4) △=(24k2-43k2+2(48k2-18=-168k2+144>0, 24k2 解得k2<+3X+2；x48又N，M，设直线W的防 程为y-=山(x-为=+”x-, x2-x1 x2-x y=+出x-+出x+片=t4x-+5+5。-25=+4x-+5 X2-x1X2-X1 x2-x1X2-X1x2-X1x2-x1 x2-x1 _k(+4到+k(+4x-+45+k,+4到 X2一X X2-X1 _k(x+名)+8x-2+4(x+ 24k2】 k +8k 24k2 3k2+2 3k2+2 X2- x2-X x2- X2- -+2*-6习-.当x=时.-，所以 16k 36k 16k 直线Nw'过定点( 6