第7讲 函数的概念与表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数的概念与表示核心考点，依据高考评价体系明确函数定义判断、解析式求解、分段函数应用三大考查方向，通过真题分析归纳出定义域求解占30%、分段函数求值占25%的高频考向，构建概念辨析-方法提炼-题型突破的系统复习框架。 课件亮点在于“考点拆解+真题演练+素养提升”的备考模式，如针对分段函数不等式问题，通过2026年江西宜春模拟题示范“分类讨论-定义域限制-结果整合”三步法，培养学生的数学思维与运算能力。特设易错点警示（如定义域忽略限制）和方法口诀（换元必标范围），助力学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现精准复习，提升备考效率。

第7讲 函数的概念与表示 考点一　函数的概念 [例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.函数y=·与函数y=表示同一个函数 B.已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|0≤x≤2},对应关系f:x→能构成从A到B的函数 C.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 D.若f(x)=|x-1|-x,则f(f())=0 BC [解析]　对于y=·,有解得x≥1, 则y=·的定义域为[1,+∞), 对于y=,有x2-1≥0,解得x≤-1或x≥1, 则y=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞), 即y=·与y=的定义域不一致, 所以这两个函数不表示同一个函数,故A错误; 当x∈A时,0≤≤2,且x与唯一一个对应,根据函数定义可得f:x→能构成从A到B的函数,故B正确; 由函数的定义知,f(x)的图象与y轴最多有一个交点,故C正确; 由f(x)=|x-1|-x,可得f()=0,所以f(f())=f(0)=1,故D错误. (2)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数y=的定义域为(　　) A.(1,8]　　　　　　　　 B.[-4,1)∪(1,8] C.(1,2] D.[-1,1)∪(1,2] [解析]　由题意得 解得-1≤x≤2且x≠1.故y=的定义域为[-1,1)∪(1,2]. D 方法总结 1.两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 2.抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 跟踪训练 1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　) A.x+|y|=1　　　　　　 B.x2+y2=1 C.2x2+y=1 D.2x+y2=1 解析:对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误; 对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误; 对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数的定义,故C正确; 对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误. C 2.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],求f()+f(x-1)的定义域. 解:由f(x)的定义域为[-1,1], ∴ 解得0≤x≤2, 即f()+f(x-1)的定义域为[0,2]. 考点二　求函数的解析式 [例2]　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; [解]　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2], 则sin x=1-t. ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. ∴f(x)=2x-x2(0≤x≤2). (2)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式; [解]　(配凑法)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2, 又x2+≥2=2, 当且仅当x2=,即x=±1时等号成立. 设t=x2+, 则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2), ∴f(x)=x2-2(x≥2). (3)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式. [解]　(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2,① ∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,② 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6, ∴f(x)=3x-2(x∈R). 方法总结 函数解析式的求法 1.配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2+,ax±a-x与a2x+a-2x,sin x±cos x与sin xcos x,一般都运用配凑法. 2.换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. 3.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,可用待定系数法. 4.解方程组法:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x),这充分体现了方程思想的应用. 跟踪训练 3.已知f(+1)=lg x,则f(x)=　　 　　.  解析:令t=+1,因为x>0,则t>1,则x=,f(t)=lg,t>1, 则f(x)=lg(x>1). lg(x>1) 4.f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则f(x)=　　　　.  解析:依题意,可设函数f(x)=kx+b(k≠0), 则f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b, 由3f(x+1)-f(x)=2x+9, 可得3(kx+k+b)-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9, 所以 故函数f(x)的解析式为f(x)=x+3. x+3 5.f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)=　　　　　 .  解析:已知2f(x)+f()=3x-1,① 以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1,② ①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0). 2x--(x≠0) 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 [例3]　(2026·山东潍坊模拟)已知函数f(x)= 则f(f(-1))=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B [解析]　将x=-1代入,得到f(-1)=(-1)2+(-1)=0, 所以f(f(-1))=f(0),将x=0代入,得到f(0)=e0+ln 1=1. 因此f(f(-1))=f(0)=1. 角度2　分段函数方程与不等式 [例4]　(1)(2026·江西宜春模拟)已知函数f(x)=若f(1-a)=4,则a的值为(　　) A.0或 B.0或 C. D. A [解析]　若1-a≥0,即a≤1,可得f(1-a)=41-a=4, 解得a=0,符合; 若1-a<0,即a>1,可得f(1-a)=22a-1=4,解得a=,符合. 综上可知,a的值为0或. (2)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A.(-3,1)∪(2,+∞) B.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) B [解析]　因为f(x)=所以f(1)=12-4+6=3,不等式f(x)>f(1)等价于 解得0≤x<1或x>3或-3<x<0, 所以不等式f(x)>f(1)的解集为(-3,1)∪(3,+∞). 方法总结 解决分段函数问题的方法 1.求分段函数的函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f(a))的值时,应由内到外依次求值. 2.已知函数值或范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 跟踪训练 6.(2026·安徽六安模拟)已知函数f(x)=则f(10)=(　　) A.1 B.3 C.4 D.6 解析:f(10)=f(7)+1=f(4)+2=f(1)+3=30+3=4. C 7.设函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集是(　　) A.(-∞,-1)∪(0,) B.(-∞,-1)∪(,1) C.(-1,) D.(-∞,) A 解析:因为f(x)= 所以所以x<-1或0<x<, 所以不等式f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(0,). $