第27讲　数列的概念与简单表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列核心考点，依据高考评价体系梳理了数列概念、通项公式、前n项和、单调性及周期性等考查要求。通过教材经典题改编与模拟题分析，明确通项公式求解、Sn与an关系转化等高频考点占比，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养渗透”，如以2025年泉州三检题为例，通过作差法分析数列单调性，培养学生的数学思维（推理能力）。结合由Sn求an的转化技巧，渗透数学语言（模型观念），特设易错点分析与答题模板，帮助学生高效突破考点，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

第六章 第27讲　数列的概念与简单表示 数　列 1 1．(教材经典题改编)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的第______项 (　　) A．9　 B．10 C．11　 D．12 【解析】 　　　　令n2＋2n＝120，得n＝－12(舍去)或n＝10，所以120是数列{an}的第10项． B 2．(教材经典题改编)(多选)根据下面的图形的规律及相对应的点数，判断下列说法正确的是 (　 　) A．第五个图形对应的点数为20 B．第五个图形对应的点数为21 C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4 D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3 【解析】 　　　　设第n个图形对应的点数为an(n∈N*)．因为a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，所以该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公式为an＝1＋5(n－1)＝5n－4． BC 【解析】 ABC 4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为________________． 【解析】 　　　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2；当n＝1时，a1＝S1＝－2，满足an＝－4n＋2，故{an}的通项公式为an＝－4n＋2． an＝－4n＋2 【解析】 1．数列的有关概念 名称 概念 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的_________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．常见用法还有：an＝ 序号n 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数________ 无穷数列 项数________ 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 3．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是__________，对应的函数值是_________________，记为an＝f(n)． 序号n 数列的第n项an 目标 1 数列中的项与通项公式 1 【解析】 A 　　　(2) 数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式是an＝ (　　) 【解析】 1 C 已知数列的前几项求通项公式，主要从结构特征来考虑： (1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1或n－1奇偶交错． (2) 分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． D 变式1　(2)(2025·临沂期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝1，an＝ an－1＋2an－2(n≥3)，则S9＝ (　　) A．341　 B．340 C．61　 D．60 【解析】 　　　　因为a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋2an－2，所以a3＝a2＋2a1＝1＋2＝3，a4＝a3＋2a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋2a3＝5＋6＝11，a6＝a5＋2a4＝11＋10＝21，a7＝a6＋2a5＝21＋22＝43，a8＝a7＋2a6＝43＋2×21＝85，a9＝a8＋2a7＝85＋2×43＝171，所以S9＝1＋1＋3＋5＋11＋21＋43＋85＋171＝341． A 目标 2 由an与Sn的关系求通项 　　　(1) 设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝－1，b5＝8b2，(1－2n)Sn＝n(n＋1)Tn，则an＝_______． 2 【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－n(n－1)＝2n，又a1＝2也满足上式，所以an＝2n． 2n an＝___________________________． 【解析】 2 Sn与an的关系问题转化的两个方向： (1) 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2) 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 变式2　(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝__________． 【解析】 综上，an＝4－3n． 4－3n 目标 3 数列的函数性质 视角1　单调性与最值 　　　　　(1) (2025·泉州三检)(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋n－k＋2，则下列说法正确的是 (　　　) 3－1 【解析】 【答案】 ABD 【解析】 3－1 3 探究数列的单调性可以从连续函数角度考察，但在数列中可采用作差、作商比较法．其中，作差比较法是根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列． 视角2　周期性 　　　　　(2025·滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 025＋b2 026＝ (　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 　　　　由题意知数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，是以8为周期的周期数列，所以b2 025＋b2 026＝b1＋b2＝2． B 3－2 解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 【解析】 A 【解析】 C 【解析】 C 3．(2025·汕尾、肇庆二模) 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2＋3n＋2，则下列判断正确的是 (　　) A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11 【解析】 a5＝2×5＋2＝12，故B错误．由Sn＝n2＋3n＋2知，数列{Sn}为递增数列，Sn不存在最大值，故C错误． 【答案】D 【解析】 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为 (　　) A．－9　 B．－7 C．－3　 D．－19 【解析】 　　　　令an＝2n－11＜0，因为n∈N*，所以解得n＝1，2，3，所以数列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19． D 【解析】 A 3．已知数列{an}满足anan＋1＝2an＋1－an－1，且a1＝3，则a2 026＝ (　　) 【解析】 A 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn＝n(n∈N*)，则下列说法正确的是 (　　) C．若a1＝－1，则S2 026＝1 013 D．若a1＝1，则{an}的最小项的值为－1 【解析】 　　　　当n＝1时，S2＋S1＝2a1＋a2＝1，当n≥2时，Sn＋Sn－1＝n－1，则an＋1＋an＝1，而a1＋a2＝1不一定成立，故{an＋1＋an}不一定是常数列，A错误； 由an＋1＋an＝an＋an－1＝…＝a3＋a2＝1，显然an＋1＝an－1＝an－3＝…且an＝an－2＝an－4 ＝…，即{an}不单调，B错误； 若a1＝－1，则a2＝3，a3＝－2，故n≥2时，{an}的偶数项为3，奇数项为－2，而　S2 026＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 024＋a2 025)＋a2 026＝－1＋1 012＋3＝1 014，C错误； 若a1＝1，则a2＝－1，a3＝2，故n≥2时，{an}的偶数项为－1，奇数项为2，故{an}的最小项的值为－1，D正确． 【答案】 D 5．已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是 (　　) 【解析】 C 二、多项选择题 6．已知数列{an}满足a1＝1，Sn－1＝3an(n≥2)，则下列结论正确的是 (　 　) 【解析】 【答案】 AC A．数列{an}有最小项，也有最大项 B．使an∈Z的项共有5项 C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个 D．使Sn取得最小值的n为4 【解析】 要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误． 因为当n≤4时，an＜0，当n≥5时，an＞0，所以当n＝4时，Sn取得最小值，故D正确． 【答案】ABD 8．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1，2，…)，则下列说法正确的是 (　　　) A．{an}的第2项小于3 B．{an}为等比数列 【解析】 【答案】ACD 三、填空题 9．洛卡斯是19世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{Ln}为1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln＋2＝Ln＋1＋Ln(n∈N*)．设数列{Ln}的各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}，则a2 025＝_____． 【解析】 　　　　{Ln}的各项除以4的余数分别为1，3，0，3，3，2，1，3，0，…，故可得{an}的周期为6，且前6项分别为1，3，0，3，3，2，所以a2 025＝a6×337＋3＝a3＝0． 0 【解析】 【解析】 158 12．已知数列{an}，若存在正整数T，对一切n∈N*，都有an＋T＝an，则称数列{an}为周期数列，T是它的一个周期． 【解答】 12．已知数列{an}，若存在正整数T，对一切n∈N*，都有an＋T＝an，则称数列{an}为周期数列，T是它的一个周期． (2) 数列1，2，1，2，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前n项和Tn． 【解答】 13．(2026·苏州期初)已知数列{an}的前n项为Sn，且Sn＝n2．正项等比数列{bn}的首项为1，Tn为其前n项和，且T5＝5T3－4． (1) 求an，bn； 【解答】 　　　　由Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，所以an＝2n－1． 13．(2026·苏州期初)已知数列{an}的前n项为Sn，且Sn＝n2．正项等比数列{bn}的首项为1，Tn为其前n项和，且T5＝5T3－4． (2) 当λ＞0时，若λSn≤Tn＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值． 【解答】 B组　创新题体验 14．(2025·德州期中节选)已知数列{an}，从中选取第i1项，第i2项，…，第im项(i1＜i2＜…＜im)，顺次排列构成数列{bk}，其中bk＝aik，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列． (1) 写出2，8，4，7，5，6，9的三个长度为4的递增子列； 【解答】 　　　　根据题意可知，从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列，即可得出符合题意的递增子列，可取2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；2，4，6，9；2，5，6，9；4，5，6，9中任意三个． 14．(2025·德州期中节选)已知数列{an}，从中选取第i1项，第i2项，…，第im项(i1＜i2＜…＜im)，顺次排列构成数列{bk}，其中bk＝aik，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列． (1) 写出2，8，4，7，5，6，9的三个长度为4的递增子列； 【解答】 若b4＝11，则b1＋b4＝2＋11＝13＝b2＋b3，不符合题意； 若b4＝14，则b1＋b3＝10，b2＋b3＝13，b1＋b4＝16，b2＋b4＝19，b3＋b4＝22；b1＋b2＋b3＝15，b1＋b2＋b4＝21，b1＋b3＋b4＝24，b2＋b3＋b4＝27；b1＋b2＋b3＋b4＝29，以上数值均不相同，所以b4的最小值为14． 　　　　由Sn＝n2＋3n＋2可知，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋3(n－1)＋2，因为an＝所以an＝故数列{an}是从第二项开始的等差数列，故A错误． $