第35讲 平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量基本定理、坐标运算及向量共线的坐标表示三大核心考点，依据高考评价体系明确理解定理、掌握运算、应用共线条件的考查要求，通过真题与模拟题分析，梳理出基底表示、坐标参数求解、共线点坐标确定等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”，以2025全国一卷帆船风速题、2026模拟共线参数题为例，提炼“基底分解法”“坐标方程法”，培养数学思维与数学语言素养。跟踪训练覆盖易错点，教师可依托方法总结与题型解析，指导学生高效突破向量难点，提升得分率。

第35讲平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示 考点一　平面向量基本定理及应用 [例1]　(1)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为边AB,BC上的点,且AM=MB,CN=2NB,记=a,=b,则=(　　) A.a+b　　　　　 B.a-b C.a+b D.-a+b [解析]　因为=++=-a+b+a=b-a, 所以==b-a.又==a, 所以=+=a+b-a=a+b. A (2)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为CD,CB的中点,G为线段EF上的一点,且=+m,则实数m的值为(　　) A. B. C. D. A [解析]　设=λ(0≤λ≤1), 则=+=++λ=++λ(+)=++-=+(1-). 因为=+m,所以 解得 方法总结 运算遵法则、基底定分解 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中,利用三角形法则列出向量间的关系. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意:同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的. 跟踪训练 1.(多选)设e1,e2是平面内不共线的两个向量,则下列四组向量中,能作为一个基底的是(　 　) A.e1+e2和-7e1+2e2 B.e1-2e2和-2e1+e2 C.e1+2e2和e1+e2 D.e2和e1+e2 ABD 解析:只有不共线的向量才可以作为一个基底, 对于A,因为≠,所以e1+e2和-7e1+2e2不共线,可以作为基底; 对于B,因为≠,所以e1-2e2和-2e1+e2不共线,可以作为基底; 对于C,因为e1+2e2=2×(e1+e2),所以e1+2e2和e1+e2共线,不可以作为基底; 对于D,因为≠,所以e2和e1+e2不共线,可以作为基底. 2.如图,在△ABC中,=2,=,设=a,=b,则=(　　) A.-a+b B.-a+b C.-a+b D.-a+b 解析:在△ABC中,=2,=,故=-=-a, ==(-)=b-a,因此=-=b-a+a=-a+b. A 考点二　平面向量的坐标运算 [例2]　(2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 [答案]　A 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 [解析]　如图,设点A(3,3),B(0,2),C(2,0),由题意知,视风风速对应的向量为,船速对应的向量为,因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量,所以船行风风速对应的向量为,则真风风速对应的向量为-==(-2,2),||==2,而2∈(1.6,3.3),故该时刻的真风为轻风. 方法总结 向量坐标运算问题的一般思路 1.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算. 2.巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用. 跟踪训练 3.已知=(-6,3),=(3,9),若=,则=(　　) A.(5,-3) B.(6,-2) C.(-3,5) D.(-2,6) 解析:因为=,所以-=(-), 解得=+=(3,9)+(-6,3)=(1,3)+(-4,2)=(-3,5). C 4.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A. B. C.2 D. B 解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2), 所以=(-4,4),=(-4,2),=(2,4). 因为=λ+μ(λ,μ∈R), 所以(-4,4)=λ(-4,2)+μ(2,4), 则解得λ=,μ=,所以λ+μ=. 考点三　向量共线的坐标表示 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 [例3]　已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  (3,3) [解析]　法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ), 则=-=(4λ-4,4λ).又=-=(-2,6), 由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得λ=.所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3). 法二:设点P(x,y),则=(x,y), 因为=(4,4),且共线, 所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3). 角度2　利用向量共线求参数 [例4]　(1)(2026·福建三明模拟)已知a=(2,1),b=(1,-2),若(a+λb)∥(3a-b),则λ=(　　) A. B.- C. D.- B [解析]　由a=(2,1),b=(1,-2),得a+λb=(2+λ,1-2λ),3a-b=(5,5), 若(a+λb)∥(3a-b),则5(2+λ)=5(1-2λ),解得λ=-. (2)(人A必修第二册P29例3改编)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.- B.- C.- D.- B [解析]　设网格中小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图所示,可知b=(3,3),a=(-2,1),c=(-1,-3),代入c=λa+μb(λ,μ∈R),得(-1,-3)= λ(-2,1)+μ(3,3),则所以λ+μ=-. 方法总结 利用向量共线的坐标表示求参数的步骤 第一步:根据已知条件求出相关向量的坐标; 第二步:利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组; 第三步:根据方程或方程组求解得到参数的值. 跟踪训练 5.(2026·山东青岛模拟)已知向量=(-3,1),=(1,-2),=(x-6,x+5),若点A,B,C不能构成三角形,则x的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:由题意可得=-=(4,-3),=-=(x-7,x+7), 若A,B,C三点共线,则点A,B,C不能构成三角形, 即-3(x-7)-4(x+7)=0,解得x=-1,所以x的值为-1. B 6.(人A必修第二册P30例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(1,2),(3,1),则顶点D的坐标为　　　　.  解析:由四边形ABCD为平行四边形,知==(1,2),设D(x,y),则= (3-x,1-y), 所以故顶点D的坐标为(2,-1). (2,-1) $