精品解析：2026年山东省聊城市 阳谷县嘉和城中学中考模拟考试 数学试卷

2026年山东省聊城市阳谷县阳谷县嘉和城中学中考模拟考试 数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列说法中，错误的是（ ） A. 在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B. 与互为相反数 C. 若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D. 的相反数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看是上下两个矩形，两矩形的公共边是虚线， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 甲乙两家公司在去年1～8月份期间的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. 1～8月间甲公司的利润一直在下跌 B. 1～4月间乙公司的利润在上升 C. 在8月份，两家公司获得相同的利润 D. 乙公司在9月份的利润一定比甲公司多 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从折线统计图中获取数据做出分析的能力，正确识图获取数据是做出判断的前提和关键．根据折线统计图中所反映的数据增减变化情况，做出判断即可． 【详解】解：A、由图可知甲公司的盈利一直在下跌，说法正确，故选项不符合题意； B、由图可知乙公司的盈利在1月份至4月份期间持续上升，说法正确，故选项不符合题意； C、在8月份，两家公司获得相同的盈利，说法正确，故选项不符合题意； D、因为折线统计图不能预测趋势，所以乙公司在9月份的盈利不一定比甲的多，说法错误，故选项符合题意． 故选：D． 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，先解，求出，即可得到，再由正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ∵， ∴ ∴， ∴． 5. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键． 根据“第二次每人所得与第一次相同”，列方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 6. 我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 【答案】D 【解析】 【分析】设两条直角边长为x、y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可． 【详解】设两条直角边长为x， 大正方形面积为9，小正方形面积为5， ， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键． 7. 如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正六边形的性质得到，，再由等腰三角形性质得到，，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在正六边形中，，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线， ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中正多边形求线段长，涉及正六边形性质、等腰三角形判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3．则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用．依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解． 【详解】解：由题意，设， ． 又， ． 故选：A． 9. 如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　） A. BE＝DF B. AECF C. AF＝AE D. 四边形AECF为平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件． 【详解】解：A、在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF， 故A可以使AE＝CF，不符合题意； B、∵AE∥CF，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF， 故B可以使AE＝CF，不符合题意； C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF， 故C符合题意； D、∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF， 故D可以使AE＝CF，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 方程的两根是， C. 不等式的解集是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 二 、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 因式分解：3x+9y＝_____． 【答案】3(x+3y) 【解析】 【分析】通过提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式＝3（x+3y）． 故答案是：3（x+3y）． 【点睛】考查了因式分解﹣提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，以原点O为位似中心将进行放缩．若放缩后点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，由条件确定相似比是解题关键． 从点A的变化可以看出，位似变换将点A的横、纵坐标都乘2，根据题意直接求解即可． 【详解】解：从点A的变化可以看出，位似变换将点A的横、纵坐标都乘2， ∴点B应发生相同的变化． ∴点B的对应点的坐标为． 故答案为． 13. 如图，在边长为5的菱形中，，点E、点F分别在、上，且，连接，若，则的长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接BD，过点F作FG⊥BC于G，先证明△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°=∠EBF，AB=DB，然后证明△ABE≌△DBF得到DF=AE=2，BE=BF，则CF=3，△BEF为等边三角形，然后在直角△CFG中求出CG，FG，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BD，过点F作FG⊥BC于G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠C=∠A=60°，AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°=∠EBF，AB=DB， ∴∠BDF=∠BAE=∠ABD=60°， ∴∠ABD-∠EBD=∠EBF-∠EBD， ∴∠ABE=∠DBF， ∴△ABE≌△DBF（ASA）， ∴DF=AE=2，BE=BF， ∴CF=3，△BEF为等边三角形， ∵∠C=60°，∠FGC=90°， ∴， ∴,， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14. 已知A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程与甲行驶时间之间的函数图象如图所示． （1）乙骑摩托车的速度是______； （2）当乙再次追上甲时，甲还需要骑行______小时可以到达B地． 【答案】 ①. 60 ②. ## 【解析】 【分析】（1）先算出甲的速度，甲行驶用时；乙晚出发，行驶用时，则可求出乙的速度； （2）乙在甲行驶后继续前进，列出路程表达式、；联立求出再次相遇的时间，再根据甲全程需，进而即可求解． 【详解】解：（1）由图可得，甲的速度：， 甲行驶用时：， ∵乙比甲晚出发， ∴乙行驶用时：， 乙的速度：； （2）∵乙在甲行驶时到达处，停留半小时，甲行驶时乙重新出发，且甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的路程：，乙重新出发后路程：， ∴当乙再次追上甲时， 解得， ∵甲全程需， ∴剩余时间． 15. 如图、直线、分别与相切于点、若的半径为，则弧的长为______结果保留 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据切线的性质得到，根据四边形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接，， 直线、分别与相切于点A、， ， ， ， 的半径为， 的长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长的计算，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在中，，平分，平分，，分别为射线上的动点．若，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】确定是的角平分线，根据角平分线的对称性，将进行转化，将转化为点到射线的最短路径问题，利用“垂线段最短”的性质，可知的最小值等于点到所在直线的垂线段长度，结合是等腰直角三角形，是的角平分线的条件，通过三角形等面积法建立方程，可求出上述垂线段的长度． 【详解】过点作交于点，作点关于的对称点， ∵平分， 且，， ∴， 且，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴设， ∴， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵平分，根据角平分线的对称性， ∴一定落在上， ∴， ∴， ∴时，取得最小值， 如图所示，交延长线于点， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 三 、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解方程和方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项合并得，； 【小问2详解】 解： 整理得， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内的两项按照易分母分式相减，再将除法化为乘法约分化简结果，最后将m的值代入计算. 【详解】原式 ， 令，原式. 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确计算分式的混合运算是代入计算的前提. 19. 如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接与相切吗？请说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）与相切，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图-作垂线，切线的判定，等边对等角．掌握作垂线的方法，以及切线的判定的方法，是解题的关键． （1）根据作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，等边对等角，得到，，再根据等量代换，得到，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，垂直平分线l为所求． 【小问2详解】 证明：是的切线，理由如下： 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线． 20. 如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质、线段垂直平分线的性质可证明，继而求解即可； （2）先由勾股定理求出，再由等腰直角三角形的性质得出，通过证明，再由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 21. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 【答案】7.7米 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，． 设米， 在中，， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根． 米， （米）， 答：电池板离地面的高度约为米． 22. 为减轻学生的作业负担，某地教育局规定初中阶段学生每晚的作业量不超过1.5小时，一个月后，九年一班芳芳对本班每位同学晚上作业时间进行了一次调查，并根据收集的数据绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（每组包含最大值，不包含最小值），并知1﹣1.5h占45%，2～2.5h占10%，请根据以上信息解答问题． （1）求该班共有多少名学生； （2）求该班作业时间不超过1小时和超过2.5小时的共有多少人； （3）若该市九年级共有3000名学生，请估计他们中完成作业超过1.5小时而不超过2.5小时的有多少人． 【答案】（1）40人；（2）12人；（3）750人． 【解析】 【分析】（1）根据1﹣1.5h占45%且有18人即可求出答案； （2）先求出2～2.5h的人数，再用总人数减去1～2.5h的人数即可得到答案； （3）根据样本中的完成作业超过1.5小时而不超过2.5小时的比例即可求出答案. 【详解】解：（1）该班的学生总人数为18÷45%＝40（人）； （2）40×10%＝4（人），40﹣18﹣6﹣4＝12（人）， 答：该班作业时间不超过1小时和超过2．5小时的共有12人； （3）×3000＝750（人）， 答：估计他们中完成作业超过1．5小时而不超过2．5小时的有750人． 【点睛】此题考查数据的计算，能根据样本中的部分数据求出样本的总数据，根据样本该部分的比例计算总体的数据. 23. 已知反比例函数图象经过一、三象限． （1）判断点在第几象限； （2）若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系； （3）设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，． 【答案】（1）第二象限 （2）a＞c＞b （3）8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键． （1）由反比例函数图象经过一三象限确定的取值范围，从而判断点所在象限； （2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断； （3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时的值，从而列方程求解． 【小问1详解】 解：反比例函数图象经过一、三象限， ，， 点在第二象限； 【小问2详解】 解：反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随的增大而减小， 又点，在反比例函数上， 可得， 解得：， ，，的大小关系为：； 【小问3详解】 解：∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴在每一象限内随x的增大而减小， 又∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴在每一象限内随x的增大而增大， 又∵，当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， ∴当时，；当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴当时，代入中， ∴， ∴，， 若， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴当时，． 24. 如图，为的弦． （1）用尺规作图：过点作的垂线，垂足为，交于，两点保留作图痕迹，不要求写作法和证明； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】根据要求作出图形即可； 证明是等边三角形，利用垂径定理求出，可得结论； 【小问1详解】 解：所作图形，如图所示： ； 【小问2详解】 连接，， ，是直径， ， 是等边三角形， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市阳谷县阳谷县嘉和城中学中考模拟考试 数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列说法中，错误的是（ ） A. 在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B. 与互为相反数 C. 若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D. 的相反数是 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 甲乙两家公司在去年1～8月份期间的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. 1～8月间甲公司的利润一直在下跌 B. 1～4月间乙公司的利润在上升 C. 在8月份，两家公司获得相同的利润 D. 乙公司在9月份的利润一定比甲公司多 4. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 以上都不对 7. 如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3．则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9. 如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　） A. BE＝DF B. AECF C. AF＝AE D. 四边形AECF为平行四边形 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 方程的两根是， C. 不等式的解集是 D. 当时，随的增大而减小 二 、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 因式分解：3x+9y＝_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，以原点O为位似中心将进行放缩．若放缩后点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 13. 如图，在边长为5的菱形中，，点E、点F分别在、上，且，连接，若，则的长度为____________． 14. 已知A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程与甲行驶时间之间的函数图象如图所示． （1）乙骑摩托车的速度是______； （2）当乙再次追上甲时，甲还需要骑行______小时可以到达B地． 15. 如图、直线、分别与相切于点、若的半径为，则弧的长为______结果保留 16. 如图，在中，，平分，平分，，分别为射线上的动点．若，则的最小值为__________． 三 、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解方程和方程组： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接与相切吗？请说明理由． 20. 如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 21. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 22. 为减轻学生的作业负担，某地教育局规定初中阶段学生每晚的作业量不超过1.5小时，一个月后，九年一班芳芳对本班每位同学晚上作业时间进行了一次调查，并根据收集的数据绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（每组包含最大值，不包含最小值），并知1﹣1.5h占45%，2～2.5h占10%，请根据以上信息解答问题． （1）求该班共有多少名学生； （2）求该班作业时间不超过1小时和超过2.5小时的共有多少人； （3）若该市九年级共有3000名学生，请估计他们中完成作业超过1.5小时而不超过2.5小时的有多少人． 23. 已知反比例函数图象经过一、三象限． （1）判断点在第几象限； （2）若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系； （3）设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，． 24. 如图，为的弦． （1）用尺规作图：过点作的垂线，垂足为，交于，两点保留作图痕迹，不要求写作法和证明； （2）已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $