第5章《图形的轴对称》期末单元复习卷（一）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以图形的轴对称为核心，整合概念识别、性质应用及综合探究，通过梯度题型培养几何直观与推理意识，构建从基础到复杂的知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2题|轴对称图形识别、对称性质直接应用|从图形表象到对应关系，建立轴对称概念认知| |性质应用|单选3-8题、填空11-14题|等腰三角形分类讨论、垂直平分线与角平分线性质计算|以性质定理为核心，连接边、角、线段关系，形成逻辑推导链| |综合探究|解答16-25题|作图、证明、动态折叠与多结论判断|融合尺规作图、全等推理及空间变换，体现知识应用的综合性与创新性|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第五章 图形的轴对称 期末单元复习卷 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.校徽，不仅仅是一个简单的图案，它承载的是学校的文化、精神以及历史的传承．下列校徽上的图案是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 2.如图，与关于直线对称，，，则的度数为（       ）． A. B. C. D. 3.等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为（       ） A. B. C. D.或 4.如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点和，，，则为（       ） A. B. C. D. 5.如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（       ） A. B. C. D. 6.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ） A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条角平分线交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 7.如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（     ） A.3.6 B.4.8 C.6.4 D.8 8.如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（     ） A.14 B.16 C.18 D.20 9.如图，已知长方形纸带，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，为（        ） A.20º B.80º C.50º D.40º 10.如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：①点O到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（       ） A.①②③ B.①②④ C.②③ D.②③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.等腰三角形的周长是，，则底边长是________ 12.如图，已知点、直线同侧两点，点’、关于直线对称.连接’交直线于点,连接若’＝，则的长为________  13.如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是___________． 14.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，，，则__________． 15.如图，在锐角中，，，的面积为，为内部一点，分别作点关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为    ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 17.（6分）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，求另外两边长． 18.（7分）如图，点、在上，，，，与交于点，求证：． 19.（7分）如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 20.(9分) 如图：已知和，点在边上，且，交于点，，. （1）求证：； （2） ，求的度数． 21.(10分) 如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，点E，G分别为垂足． （1）求的度数． （2）若的长为70，求的周长． 22.(10分) 如图，中，，的垂直平分线交于点，垂足为． （1）若，求和的度数； （2）若，，求的周长． 23.(10分) 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，的周长为，求的周长． 24.(12分) 已知：如图，，垂足为点，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，试判断与的位置关系，并证明． 25.(13分) 本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． （1）请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； （2）如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第五章 图形的轴对称 期末单元复习卷 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.校徽，不仅仅是一个简单的图案，它承载的是学校的文化、精神以及历史的传承．下列校徽上的图案是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A. 不是轴对称图形，不符合题意； B. 不是轴对称图形，不符合题意； C. 不是轴对称图形，不符合题意； D. 是轴对称图形，符合题意. 2.如图，与关于直线对称，，，则的度数为（       ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先根据和关于直线对称得出，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】 解：和关于直线对称，，，， ， ． 故选：． 3.等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为（       ） A. B. C. D.或 【答案】 C 【解析】 由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】 ①当为腰时，，故此种情况不存在；②当为腰时，，符合题意． 故此三角形的周长． 故选 4.如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点和，，，则为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【解答】 是的垂直平分线，， ， ，， ， ， 故此题答案为． 5.如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【解答】 ，，， ．由作图可知，平分， ， 故此题答案为项正确，不符合题意； ．由作图可知，是的垂直平分线， ， ，， 故此题答案为项正确，不符合题意； ．，，， ，， 故此题答案为项正确，不符合题意； ．，， ； 故此题答案为项错误，符合题意． 故此题答案为：． 6.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（       ） A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形的三条角平分线交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】 A 【解析】 此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【解答】 解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度， 点到射线，的距离相等， 点在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：． 7.如图，在中，已知，，，，将沿对折得到，连接，则长为（     ） A.3.6 B.4.8 C.6.4 D.8 【答案】 B 【解析】 令AB与CD相交于点O，由折叠的性质可得 ，且 ，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果. 【解答】解：如图，令AB与CD相交于点O， 由折叠的性质可得 AB CD，且CO=DO 在 中，已知 AC=4，BC=3，AB=5， 8.如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（     ） A.14 B.16 C.18 D.20 【答案】 A 【解析】 本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由平行线的性质、角平分线的性质推知 ，则 ，同理可得 ，所以线段 的长度转化为线段 的和即可得到答案. 【解答】 解： 平分 同理可得： . 故选：A. 9.如图，已知长方形纸带，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，为（        ） A.20º B.80º C.50º D.40º 【答案】 D 【解析】 根据长方形性质，得 ；根据平行线性质，得 ；根据轴对称的性质，得 ，，；再根据平行线和余角的性质，计算得 ；根据轴对称的性质，得 ，通过计算即可得到答案。 【解答】 长方形纸带 纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置 ，， 你 再沿折叠 故选：D. 10.如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列四个结论：①点O到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（       ） A.①②③ B.①②④ C.②③ D.②③④ 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 ，BF分别是 和 的角平分线， 根据角平分线的性质，点O到 三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等， ①错误； 在 中， ，BF分别是 和 的角平分线， 在 中， ，故 ②正确； 当 时， ，BF分别是 和 的角平分线， 在 中， 则 在AB上取一点H，使得BH=BE， 在 和 中， 在 和 中， ，故 ③正确； 过点O作ON AB，OM AC， BAC和 的角平分线交于点O， 点O在 的平分线上， 故 ④正确； 综上所述：正确的是 故选D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.等腰三角形的周长是，，则底边长是____或____ 【答案】 或 【解析】 按照为底边和腰，分类求解．当为底边时，，为腰；当腰时，为腰或底边． 【解答】 解：（1）当为底边时，，为腰， 由等腰三角形的性质，得，可以围成三角形； 此时底边是； （2）当为腰时， ①若为腰，则，底达，可以围成三角形； ②若为底，则底边，可以围成三角形； 此时底边是； 故答案为：或． 12.如图，已知点、直线同侧两点，点’、关于直线对称.连接’交直线于点,连接若’＝，则的长为____5cm____  【答案】 【解析】 【解答】点、关于直线对称，点在对称轴上，关于直线对称， 故答案为：5cm． 13.如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是______5_________． 【答案】 【解析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】 解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：5 14.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，，，则___ _________． 【答案】 【解析】 本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．过点作于点，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得，进而可得，由此即可求解． 【解答】 解：过点作于点， 由作图可知，为的平分线， ， ， ，， ， ，， 故答案为：． 15.如图，在锐角中，，，的面积为，为内部一点，分别作点关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为    ． 【答案】 【解析】 如图，连接，，，利用对称性质，证是等边三角形，从而得，所以， 当最小时，值最小，从而得出当时，最小，最小值为，利用三角形面积求出长，即可求解． 【解答】 解：如图，连接，，， 点、关于对称， 垂直平分，， ， ， 同理，，， ，， 是等边三角形， ， ， 点、关于对称， ， ， 当最小时，值最小， 当时，即、、三点共线时，则，此时最小，最小值为， ，， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接 ，与直线l的交点即为点P. 【解答】 （1）解：如图，直线 即为所求； E 连接 ，利用网格图形作 的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， .直线/即为对称轴； （2）解：如图所示，点 即为所求； E 连接CD，交直线l于点P， 根据两点之间线段最短得， 根据轴对称的性质， 此时 ，此时 的值最小. 17.（6分）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，求另外两边长． 【答案】 另外两边长都为． 【解析】 分是腰长与底边长两种情况进行讨论求解即可． 【解答】 解：如果腰长为，则底边长为．三边长为，，， 不符合三角形三边关系定理，这样的三边不能围成三角形， 应该是底边长为．所以腰长为， 三边长为，，，符合三角形三边关系定理， 另外两边长都为． 18.（7分）如图，点、在上，，，，与交于点，求证：． 【答案】 见详解 【解析】 由题意，根据证明，得到，即可得到． 【解答】 解：根据题意，如图： ， ， ，， ， ， ．  19.（7分）如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 【答案】 证明见解析 【解析】 本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【解答】 证明：如图，过点分别作于点，于点， 则， 是的平分线，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 20.(9分) 如图：已知和，点在边上，且，交于点，，. （1）求证：； （2） ，求的度数． 【答案】 证明：在和中， ． 解：， 为等腰三角形， ， ， ． 【解析】 （1）根据题目中的条件，根据可以证明结论成立； （2）根据中全等三角形的性质和三角形内角和的知识可以求得的度数． 【解答】 （1）证明：在和中， ． （2）解：， 为等腰三角形， ， ， ． 21.(10分) 如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，点E，G分别为垂足． （1）求的度数． （2）若的长为70，求的周长． 【答案】 70 【解析】 （1）根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，得到 ，结合图形计算，得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案. 【解答】 （1）解： ，FG分别为AB，AC的垂直平分线， （2）由（1）可知 的周长 22.(10分) 如图，中，，的垂直平分线交于点，垂足为． （1）若，求和的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】 ， 【解析】 （1）本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；根据三角形的内角和得到，由线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）根据三角形的内角和得到，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【解答】 （1）解：，，， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， （2），，， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， 的周长． 23.(10分) 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，的周长为，求的周长． 【答案】 见解析 34 【解析】 （1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）由在 中，AB=AC， ，利用等腰三角形的性质，即可求得 的度数，利用等边对等角求得 的度数，则可求得 的度数； （3）将 的周长转化为 的长即可求得. 【解答】 （1）解： 的垂直平分线MN交AC于点D， 是等腰三角形； （2）解：在 中， 由（1）得 ， （3）解： 的垂直平分线MN交AC于点D， 的周长为24， 的周长 24.(12分) 已知：如图，，垂足为点，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，试判断与的位置关系，并证明． 【答案】 见解答 见解答 平行，证明见解答 【解析】 （1）由，是的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得，即可证得； （2）易证，又由，根据等边对等角，证得，即可根据证得； （3）首先设交于点，由，即可得，根据等腰三角形的三线合一，则可证得，则可得，又由同位角相等，两直线平行，证得． 【解答】 （1），是的中点，． ． （2），． ， ． ， ． ， ． ． 在和中， ． （3）与平行．证明：如图，设交于点， ， ． ． ， ． ． 25.(13分) 本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． （1）请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； （2）如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【答案】 见解析 ①见解析； ②15：8 【解析】 （1）利用ASA证明 即可解答： （2）①根据角平分线的作法作出角平分线即可； ②利用AAS证明 ，得到EC=AB=DC，BC=FE=AD=GC，设DC=EC=x，则BC=BE+EC=7+x，利用线段的长度关系求出x的值，过P点作PM AD，PN DC，由角平分线的性质得到PM=PN，再利用三角形的面积公式进行比较即可. 【解答】（1）解：证明： 平分 在 和 中， (2) ①如图所示即为所求： ② 四边形ABCD、CEFG是长方形， ② 四边形ABCD、CEFG是长方形， 又 即 又 在 和 中， (AAS), 设 DC = EC = x ，则 BC = BE + EC = 7+x, 即 AD = CG = 7+x, 解得：x=8， 过P点作PM AD，PN DC如图所示： 又： 平分 ，由（1）结论得： 与 的面积之比为15：8. 学科网（北京）股份有限公司 $