第4章《三角形》期末单元复习卷（二）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以三角形核心概念为基础，整合全等判定与性质应用，通过动态问题与多结论辨析提升综合推理能力，突出倍长中线法等解题技巧 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1、填空11|内角和定理应用、三边关系分析|从三角形定义出发，构建内角和与三边关系的概念体系| |全等判定|选择5、解答18|SSS/SAS/ASA/AAS条件辨析|以全等三角形判定为核心，关联平行线性质与对应边关系| |性质应用|选择2、填空12|中线性质、角平分线性质|由三线（高、中线、角平分线）性质延伸至面积计算与线段关系| |综合探究|选择7、10、解答25|动态全等分类讨论、倍长中线法|整合等边三角形、动态问题与多结论判断，体现从静态到动态的空间观念拓展|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第四章 三角形 期末单元复习卷 (二 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（       ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（       ） A. B. C. D. 3.如图，，，，则的度数为（       ） A. B. C. D. 4.如图， ， ， 则 的长度为（       ） A. B. C. D. 5.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A.AB＝DE B.EF＝BC C.∠B＝∠E D.∠C＝∠F 6.如图，在中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（     ） A.3 B.6 C.9 D.12 7.如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（     ） A. B. C.或 D.或 8.如图，过边长为的等边三角形的边上一点,作PE AC于点为延长线上一点，当时，交于,则的长为（       ） A. B. C. D.不能确定 9.如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为，则与的面积之差是（       ） A. B. C. D. 10.如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.已知在中，，，则边BC的长度的取值范围是________． 12.如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为_______．   13.如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，则图中阴影部分的面积为     ．   14.如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，，，，则 ． 15.如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是___________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图（1）中画的角平分线，标出点D； （2）在图（2）中，作的边上的高． 17.(6分) 在中，． （1）求长度的取值范围； （2）若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 18.(8分) 如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，． （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 19.(8分) 如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点． （1）求的长； （2）求的度数． 20.(9分) 如图，已知，．点、、、在同一条直线上并且． （1）试说明：； （2）判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 21.(9分) 如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点，，使得点，，，在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点，，使得，测得．若． （1）求证：； 22.（10分）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 23.(10分) 如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． （1）与全等吗？为什么？ （2）试猜想，有何关系？并说明理由． 24.(11分)   如图，，，，经过点． （1）求证：； （2）和有何数量和位置关系？请说明理由； （3）若，求四边形的面积． 25.(13分) 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为 ． （2）如图，是的中线，点在的延长线上，，求证：． （3）如图，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第四章 三角形 期末单元复习卷 (二 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.如果一个三角形两个内角的度数和小于第三个内角的度数，则这个三角形是（       ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】 C 【解析】 本题考查了三角形内角和，以及三角形的分类，判断出第三个内角大于度即可求解． 【解答】 解：三角形的内角和等于度，如果其中两个内角之和小于第三个内角，第三个内角大于度， 这个三角形是钝角三角形； 故此题答案为：． 2.如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： ， 中BC边上的高是AD.  3.如图，，，，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键. 根据全等三角形对应角相等， ，所以 【解答】 解： 故选：C. 4.如图， ， ， 则 的长度为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键. 根据三角形全等的性质可得 ，即可求解. 【解答】 解： 故选：C. 5.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A.AB＝DE B.EF＝BC C.∠B＝∠E D.∠C＝∠F 【答案】 B 【解析】 根据题意可得 ，然后根据全等三角形的判定方法逐项判断，即可解答. 【解答】 解：如图， 而 当AB=DE时，可根据“SAS”判断 ，故A不符合题意； 当EF=BC时，不能判断 ，故B符合题意； 当 时，可根据“AAS”判断 ，故C不符合题意； 当 时，可根据“ASA”判断 ，故D不符合题意； 故选：B.  6.如图，在中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（     ） A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，延长BD到E，使得BD=ED，连接CE，可证明 得到CE=AB=12，再利用三角形三边的关系求出BE的长的范围即可得到答案. 【解答】 解：如图所示，延长BD到E，使得BD=ED，连接CE， 是AC的中点， 又 四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B. 7.如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（     ） A. B. C.或 D.或 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知∠B=∠C，要使ΔBPE与ΔCPQ全等，需分两种情况讨论：BE=CP，BP=CQ；BE=CQ，BP=CP；根据这两种全等情况，结合已知边长和点P的运动速度，计算出运动时间，进而求出点Q的运动速度． 【解答】 解：∵ AB=12cm，E为AB中点， ∴ BE=6cm， 设运动时间为t秒，则BP=3tcm，PC=(8-3t)cm， 情况1：当ΔBPE≌ΔCPQ（SAS）时，BE=CP，BP=CQ， ∵ BE=CP， ∴ 6=8-3t， ∴ 3t=2， ∴ t=2/3， ∵ BP=CQ， ∴ CQ=3t=2cm， ∴ 点Q的速度=； 情况2：当ΔBPE≌ΔCQP（SAS）时，BE=CQ，BP=CP， ∵ BP=CP， ∴ 3t=8-3t， ∴ 6t=8， ∴ t=4/3， ∵ BE=CQ， ∴ CQ=6cm， ∴ 点Q的速度=； 综上，点Q的运动速度为3cm/s或4.5cm/s． 故选：D． 8.如图，过边长为的等边三角形的边上一点,作PE AC于点为延长线上一点，当时，交于,则的长为（       ） A. B. C. D.不能确定 【答案】 B 【解析】 根据题意先过点Q作AD的延长线的垂线QF，证明 ，再证明 得到DE=DF，最后可以得到DE AC，求出最终结果. 【解答】 如图，过点Q作AD的延长线的垂线于点F， 如图，过点Q作AD的延长线的垂线于点F， 是等边三角形， 又 又 (AAS) 同理可证， 故选：B. F 9.如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为，则与的面积之差是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查的是三角形外角性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的比例关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质和角的和差关系推出、，结合，通过证明，得到两者面积相等；再根据及的面积，求出和，进而得出与的面积之差． 【解答】 ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 与的面积之差， ，的面积为， ， ． ， 故选：． 10.如图，和均为等边三角形，，，，，以下结论中∶①；②；③；④；⑤平分，正确的个数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 D 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合等边三角形的性质得，再根据进行证明，运用全等三角形的对应角相等，证明，则；运用平角性质进行列式计算，得；运用有一个内角是度的等腰三角形是等边三角形，得出是等边三角形，则，即；分别过点作，则，由，，可得，故，又因为，即平分． 【解答】 解：，， ， ， ， ，， ， 故①是符合题意； ， ， ， ， ， ， ； 故②是符合题意； ， ， ， ， ． 故③是符合题意； 连接 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故④是符合题意； ， ，， 分别过点作， 则， ， ， ， ， ， 平分， 综上，正确的个数有个， 故选：． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.已知在中，，，则边BC的长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此列式求解即可． 【解答】 解： 在 中， ， ，即 故答案是： 12.如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为___12_____． 【答案】 12 【解析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长AE交BD于F，由ASA可判定 ，由全等三角形的性质得AB=FB=2， ，由三角形的中线得 ，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键. 【解答】 解：延长AE交BC于F， 是 的角平分线， ， （ASA）， 故答案为：12   13.如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，则图中阴影部分的面积为   24   ． 【答案】 【解析】 证明，则，利用割补法可得阴影部分面积． 【解答】 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 图中阴影部分面积 ， 故答案为：．  14.如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，，，，则__66°___． 【答案】 66° 【解析】 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解. 【解答】 解：， 在 和 中， 即 解得 故答案为： 15.如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是____或________． 【答案】 或 【解析】 本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点在上，点在上，②当点在上，点在上，③点与重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【解答】 当点在上，点在上，如图， 则，， ，， ，     ， 即， 解得：， 即点运动秒； 当点在上，点在上，如图， 则，， ， ， 即， 解得， 此时不符合题意； 点与重合在上，如图， 则，， ， 即， 解得：， 综上可知：或， 故答案为：或． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图（1）中画的角平分线，标出点D； （2）在图（2）中，作的边上的高． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）取格点T，连接BT交AC于点D，则线段BD即为所求；根据网格的特点可得点T到直线AB的距离与点T到直线BC的距离相等，即点T在 的角平分线上； （2）取格点 ，连接 ，则 即为所求. 【解答】 （1）解：如图所示，线段BD即为所求； 图（1） （2）解：如图所示，线段 即为所求. 图（2） 17.(6分) 在中，． （1）求长度的取值范围； （2）若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】 的周长为，是等腰三角形 【解析】 （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【解答】 （1）解：在中， ， ； （2）的周长为偶数，为奇数， 的长为奇数， ， ， 的周长为，是等腰三角形． 18.(8分) 如图，点A，C，E在同一条直线上，点D在上，且，，． （1）求的长； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 2； ，理由见解析. 【解析】 （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后根据可进行求解. 【解答】 （1）解：， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， . 19.(8分) 如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】 【解析】 （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【解答】 （1）解：， ， ； （2）， ， ，，共线， ， ， ， ． 20.(9分) 如图，已知，．点、、、在同一条直线上并且． （1）试说明：； （2）判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【答案】 见解析 ．理由见解析 【解析】 （1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【解答】 （1）解：证明：， ， ， 在和中， ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ．  21.(9分) 如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点，，使得点，，，在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点，，使得，测得．若． （1）求证：； （2）求池塘的宽度． 【答案】 见解析 米 【解析】 （1）由得到，可证明； （2）由全等得到，再由线段的和差关系即可求解； 【解答】 （1）解： ， ， ． （2）， ， ， ， 即池塘的宽度为． 22.（10分）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】 的长度为或 【解析】 本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【解答】 解：点在线段上以的速度由点向点运动， 点从的时间为， 它们运动的时间为， ，，则， 当时， ， ， 解得，， ； 当时， ， ， 解得，， ； 综上所述，的长度为或． 23.(10分) 如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． （1）与全等吗？为什么？ （2）试猜想，有何关系？并说明理由． 【答案】 全等，理由见解析 ， ，理由见解析 【解析】 （1）已知 ， ，由 可得 ，利用“SAS”即可证明； （2）由(1)知 ，可得 ， ，通过角之间的等量代换，得出 即可得到 . 【解答】 （1）解：全等，理由见解析： ， ， ， 在 与 中， ， （SAS）； （2）解： ， ，理由如下： 由(1)知， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， 则 . 24.(11分)   如图，，，，经过点． （1）求证：； （2）和有何数量和位置关系？请说明理由； （3）若，求四边形的面积． 【答案】 见解析 ，且，见解析 【解析】 （1）由证，运用求证； （2）由得，且，可证得,得； （3）由得，所以． 【解答】 （1）解：， ， ． 在和中， ． （2）解：，且，理由如下： 由知且 在中，, , 即, ； （3）解：， ， ． 25.(13分) 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为 ． （2）如图，是的中线，点在的延长线上，，求证：． （3）如图，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】 见解答 ，证明见解答 【解析】 （1）利用证明； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【解答】 （1）解：是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为，故答案为：； （2）延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （3）解：，证明如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $