函数的单调性的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性的应用”专题，覆盖比较函数值大小、解函数不等式、求值域与最值、求参数范围四大核心考点。依据高考评价体系梳理考试要求，结合教材改编题与近5年真题分析考点权重，归纳典例题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+母题变式+通性通法”策略，如2024新高考Ⅰ卷分段函数单调性求参数题，详解“定义域+单调性+分段点衔接”三步法，培养逻辑推理与数学建模素养。设易错警示与答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可精准教学，提升复习效率。

第二章　函数 第9课时　函数的单调性的应用 [考试要求]　1．会利用函数的单调性比较函数值的大小、解函数不等式．2．会求函数的最值或值域． 第9课时　函数的单调性的应用 理法先行·题练固本 知识点　函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有____________； ②∃x0∈D，使得_____________ ①∀x∈D，都有_____________ ； ②∃x0∈D，使得______________ 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 f (x)≤M f (x0)＝M f (x)≥M f (x0)＝M 第9课时　函数的单调性的应用 3 [常用结论] 1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． 2．开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 1．(人教A版必修第一册P86习题3.2 T7改编)已知f (x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为________；f (x)min＝________． 　－15 2．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． －　－2　[可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以 f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2．] －　 －2 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 3．(北师大版必修第一册P65习题2－3 A组T2(1))函数y＝x2＋1在区间[1，4]上的最大值为________，最小值为________． 17　2　[因为y＝f (x)＝x2＋1在区间[1，4]上单调递增， 所以f (x)max＝f (4)＝17，f (x)min＝f (1)＝2．] 17　 2　 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 考点深研·题型突破 考点一　比较函数值的大小 [典例1]　设f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y轴对称，且f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小关系是(　　) A．f (－π)<f (－2)<f (3) B．f (－2)<f (3)<f (－π) C．f (－π)<f (3)<f (－2) D．f (3)<f (－2)<f (－π) √ 第9课时　函数的单调性的应用 7 B　[因为f (x)的定义域为R，f (x)的图象关于y 轴对称，所以f (x) 是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)．又f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)，所以f (－2)<f (3)<f (－π)．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 易错提醒：比较函数值大小的关键是将各自变量的值转化到同一单调区间上． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 考点二　解函数不等式 [典例2]　(2026·长沙模拟)已知f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 A　[因为f (x)是定义在[－1，1]上的减函数，且f (x－1)＜f (1－3x)， 所以则＜x≤ 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 易错提醒：求解函数不等式时，由单调性脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，还要注意函数的定义域． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 考点三　函数的值域与最值 [典例3]　函数f (x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　) A． B．[0，1] C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 C　[由y＝x在[1，4]上单调递增， 且y＝－在[1，4]上单调递增， 可得f (x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增， 又f (1)＝0，f (4)＝， 故f (x)在[1，4]上的值域为] [母题探究] (综合变式)本例中若g(x)＝x＋＋1，求在[1，4]上的最大值和最小值． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 [解]　由对勾函数的模型知g(x)＝x＋＋1 在[1，]上单调递减，在[，4]上单调递增， ∴g(x)min＝g()＝2＋1． 又g(1)＝4，g(4)＝， ∴g(x)max＝g(4)＝， ∴g(x)在[1，4]上的最小值为2＋1，最大值为 通性通法：函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f (x)在[a，b]上的最大值为 f (a)，最小值为f (b)． (2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f (x)在[a，b]上的最大值为 f (b)，最小值为f (a)． (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 考点四　求参数的值(范围) [典例4]　(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]　　　　 B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 B　[因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1． 综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B． ] [考题探源] (北师大版必修第一册P73复习题二C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 [解]　要使此分段函数f (x)在R上是减函数，需满足 解得0≤a≤，即实数a的取值范围是 易错提醒：易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 【教用·通性通法】 利用单调性求参数的范围(或值) 的方法 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，求出参数； (2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 [多维变迁] (2025·濮阳市华龙区期中)若函数f (x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，2] D．(－∞，0) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 B　[由y＝－x2＋ax－3a在[1，＋∞)上单调递减，可知≤1，即a≤2，由y＝2ax＋1在(－∞，1)上单调递减，可得2a＜0，即a＜0，又f (x)在R上单调递减，所以2a＋1≥－1－2a，解得a≥－ 故实数a的取值范围是 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 【教用·备选题】 1．(2025·南宁月考)已知f (x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C．(1，＋∞) D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 D　[根据题意，f (x)＝在R上单调递增， 需满足＜a≤2，则实数a的取值范围为 故选D．] 2．若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． [1，2)　[f (x)＝＝＝1＋，定义域为(－∞，1) ∪(1，＋∞)． ∵f (x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴解得1≤a<2．] [1，2) 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 微点突破4　求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于与一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 [典例5]　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝的值域为[，＋∞) √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 ACD　[对于A，配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)； 对于B，分离常数法：y＝＝＝2＋，显然≠0，y≠2， 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 对于C，换元法：设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为； 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增， ∴y＝在[1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞)．故选ACD．] 1．(链接考点一)已知定义域为R的函数f (x)，∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有<0，则(　　) A．f (3)>f (π)>f (2) B．f (2)＞f (3)＞f (π) C．f (2)>f (π)>f (3) D．f (π)>f (2)>f (3) √ B　[易知f (x)是R上的减函数， 又π>3>2，故f (π)<f (3)<f (2)．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 2．(链接考点二)(2025·杭州期末)已知函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)＜f (a－3)，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(1，2) D．(1，3) √ A　[因为函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)＜f (a－3)， 所以1－a＜a－3， 解得a＞2． 故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 3．(链接考点三)(人教A版必修第一册P81例5改编)若函数f (x)＝在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　) A． B．2 C． D． √ A　[因为f (x)＝在[1，4]上单调递增，所以M＝f (4)＝2－＝，m＝f (1)＝0，因此M－m＝故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 4．(链接考点四)(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数f (x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______________． (－∞，0]　[函数f (x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f (x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．] (－∞，0]　 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．已知f (x)是偶函数，f (x)在[1，3]上单调递增，则f (1)，f (－2)， f (－3)的大小关系为(　　) A．f (1)>f (－2)>f (－3) B．f (－2)>f (－3)>f (1) C．f (－3)>f (1)>f (－2) D．f (－3)>f (－2)>f (1) 课时作业(九)　函数的单调性的应用 第9课时　函数的单调性的应用 38 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[因为f (x)是偶函数， 所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)． 因为f (x)在[1，3]上单调递增， 所以f (3)>f (2)>f (1)， 所以f (－3)>f (－2)>f (1)．] 39 √ 2．(苏教版必修第一册P122习题5.3 T4改编)定义在[－2，2]上的函数 f (x)满足(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0(x1≠x2)，且f (x)>f (2x－1)，则实数x的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B． C． D．[－1，1) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 40 C　[由题意知，f (x)在[－2，2]上单调递增，则f (x)>f (2x－1) ⇔解得－≤x<1．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 41 √ 3．(北师大版必修第一册P95复习题三B组T3改编)已知函数f (x)＝若f (x)存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，0) C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 42 A　[当x≥a时，f (x)＝2x，f (x)单调递增，在[a，＋∞)上的最小值为2a，当x<a时，f (x)＝－x，f (x)单调递减，在(－∞，a)上无最小值． 则由已知得－a≥2a，即2a＋a≤0，设h(a)＝2a＋a，易知该函数为增函数，且h(－1)＝2-1－＝0，从而a≤－1．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 43 √ 4．(2025·清远期末)已知函数f (x)＝若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0成立，那么实数a的取值范围是(　　) A．(0，2) B．(0，2] C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 44 D　[根据题意，函数f (x)是定义域为R的减函数， 必有即≤a＜2， 故实数a的取值范围是 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 45 √ 5．(2025·鞍山市立山区期末)min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f (x)＝min{2＋x，14－x，2x}(x≥0)的最大值为 (　　) A．2 B．4 C．6 D．8 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 46 D　[画出函数y＝2x，y＝2＋x，y＝14－x的图象如图所示， 由图象可知，当0≤x≤2时，f (x)＝2x， 当2＜x≤6时，f (x)＝2＋x， 当x＞6时，f (x)＝14－x， 当x＝6时，f (x)取到最大值，f (6)＝8． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 47 √ 6．(2025·伊春调研)已知函数f (x)在R上为增函数，若不等式f (－4x＋a)>f (－3－x2)，∀x∈(3，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为 (　　) A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞) C．[0，＋∞) D．(1，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 48 C　[由题意，得－4x＋a>－3－x2，∀x∈(3，＋∞)恒成立， 则a>－x2＋4x－3，∀x∈(3，＋∞)恒成立． 设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， 因为当x>3时，g(x)< g(3) ＝ 0， 所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 49 √ 二、多项选择题 7．定义min{a，b}＝设f (x)＝min{|x|，x＋1}，则(　　) A．f (x)有最大值，无最小值　 B．当x≤0时，f (x)的最大值为 C．不等式f (x)≤的解集为 D．f (x)的单调递增区间为(0，1) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 50 BC　[作出函数f (x)＝min{|x|，x＋1}的图象，如图实线部分， 对于A，根据图象，可得f (x)无最大值，无最小值，故A错误； 对于B，根据图象得，当x≤0时，f (x)的最大值为，故B正确； 对于C，由|x|≤，解得－≤x≤，结合图象， 得不等式f (x)≤的解集为，故C正确； 对于D，由图象得，f (x)的单调递增区间为， [0，＋∞)，故D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 51 √ 8．已知函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f (x)在(－∞，－1]上单调递增 B．函数y＝f (x)在[－1，0]上单调递减 C．当x＝0时，函数y＝f (x)有最小值 D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 52 ABD　[因为f (x)＝－x2＋2|x|＋1， 所以f (x)＝ 作出函数f (x)的图象如图所示， 由图象可知，f (x)在(－∞，－1]上单调递增， 在[－1，0]上单调递减，故A，B正确； 由图象可知，当x＝－1或x＝1时，函数y＝f (x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 53 √ 9．已知函数f (x)满足对任意x∈R，都有f (x＋3)＝f (1－x)，且对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则下列结论正确的是 (　　) A．f (－a2＋a＋1)≤f B．对任意x∈R，f (x)≤f (2) C．f (0)＞f (3) D．若f (m)＞f (－1)，则－1＜m＜5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 54 ABD　[对任意x∈R，都有f (x＋3)＝f (1－x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称． 又对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，所以函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增，故函数f (x)在x＝2处取最大值，B正确；f (0)＝f (4)＜f (3)，C错误；－a2＋a＋1＝－＋，所以f (－a2＋a＋1)≤f ，A正确；若f (m)＞f (－1)，则|m－2|＜|2－(－1)|，解得－1＜m＜5，D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 55 三、填空题 10．(人教B版必修第一册P107练习B T1)已知函数f (x)的定义域为[－1，5]，且在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，那么下列说法中，一定正确的是____________．(填序号) (1)f (0)<f (2)； (2)f (3)>f (2)； (3)f (x)在区间[－1，5]上有最大值，而且f (2)是最大值； (4)f (0)与f (3)的大小关系不确定； (5)f (x)在区间[－1，5]上有最小值； (6)f (x)在区间[－1，5]上的最小值是f (5)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (1)(3)(4)(5) 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 56 (1)(3)(4)(5)　[∵f (x)在区间[－1，2]上单调递增， ∴f (0)<f (2)，故(1)正确． ∵函数f (x)在区间[2，5]上单调递减， ∴f (3)<f (2)，故(2)错误． ∵函数f (x)在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，∴函数f (x)在区间[－1，5]上有最大值，也有最小值，且f (2)是最大值，f (－1)或f (5)是最小值，故(3)(5)正确，(6)不正确，而f (0)与f (3)的大小不确定，故(4)正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 57 11．(2025·上海松江区三模)已知函数f (x)＝则f (x)的值域为____________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (0，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 58 (0，＋∞)　[因为f (x)＝ 当x≥1时，f (x)＝x2≥1， 当0＜x＜1时，f (x)＝x＋－5单调递减， 故f (x)＞0， 则f (x)的值域为(0，＋∞)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 59 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．函数f (x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f (x1) ＋x2f (x2)＞x1f (x2)＋x2f (x1)，下列结论正确的是_______．(填序号) (1)函数f (x)是减函数； (2)f (－5)＜f (0)＜f (1)； (3)f (0)＝0； (4)不等式f (2x－1)＜f (3－x)的解集为 (2)(4) 理法先行 考点深研 课时作业 第9课时　函数的单调性的应用 60 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)(4)　[由x1f (x1)＋x2f (x2)＞x1f (x2)＋x2f (x1)， 得(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＞0， 因此f (x)是增函数，(1)错误； 由－5＜0＜1，得f (－5)＜f (0)＜f (1)，(2)正确； 不一定有f (0)＝0，如f (x)＝2x在R上为增函数，f (0)＝1，(3)错误； 由f (2x－1)＜f (3－x)，得2x－1＜3－x，解得x＜，(4)正确．] 61 谢谢！ $