3.2 导数与函数的单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”专题，依据课标要求梳理了单调性与导数关系、单调区间求解、含参函数单调性讨论及应用（比较大小、解不等式、求参数范围）等核心考点，通过分析近五年高考真题明确含参单调性讨论、单调区间求解等高频考点分布，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题引领+分层突破+素养提升”的复习策略，如以2023年新高考Ⅰ卷含参函数单调性题为例，通过定义域优先、求导分类、零点划分等步骤培养学生逻辑推理的数学思维，借助“五步求导法”提升用数学眼光分析函数特征的能力，设置易错警示（如单调递增需f’(x)≥0）帮助学生规避陷阱。教师可利用课件系统开展专题复习，学生通过真题训练熟练掌握答题技巧，有效提升高考得分率。

第2节　导数与函数的单调性 课标要求 1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 3. 会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b） 内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内 ⁠ ⁠ f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内 ⁠ ⁠ f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是 ⁠ ⁠ 单调递 增　 单调递 减　 常数 函数　 高中总复习·数学 目 录 2. 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 ⁠； 第2步，求出导数f'（x）的 ⁠； 第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f' （x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解 时，要坚持“定义域优先”原则. 定义域　 零点　 高中总复习·数学 目 录 1. 若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则x∈（a，b）时，f'（x） ≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）内单调递减，则x∈（a，b） 时，f'（x）≤0恒成立. 2. 若函数f（x）在（a，b）内存在单调递增区间，则x∈（a，b）时， f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）内存在单调递减区间，则x∈ （a，b）时，f'（x）＜0有解. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0. （　×　） （2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没 有单调性. （　√　） （3）若在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x） 在（a，b）内单调递减. （　√　） （4）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一 定是增函数. （　×　） × √ √ × 高中总复习·数学 目 录 2. 函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图，则下列判断正确的是 （　　） A. f（x）在（－3，1）内单调递增 B. f（x）在（1，3）内单调递减 C. f（x）在（2，4）内单调递减 D. f（x）在（3，＋∞）上单调递增 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当x∈（－3，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－3，0）内单 调递减；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，2）内单调递 增；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，故f（x）在（2，4）内单调递减； 当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（4，＋∞）上单调递 增，显然C正确，其他选项错误. 高中总复习·数学 目 录 3. 函数f（x）＝ cos x－x在（0，π）内的单调性为（　　） A. 先增后减 B. 先减后增 C. 单调递增 D. 单调递减 √ 解析： 　因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－ sin x－1＜0恒成立，所以 f（x）在（0，π）内单调递减.故选D. 高中总复习·数学 目 录 4. 函数f（x）＝xln x的单调递减区间为（　　） A. （0， ） B. （ ，＋∞） C. （1，＋∞） D. （0，1） √ 解析： 　函数f（x）的定义域是（0，＋∞），由已知f'（x）＝ln x＋ 1，由f'（x）＝ln x＋1＜0得0＜x＜ ，∴单调递减区间为（0， ）. 高中总复习·数学 目 录 5. 若函数f（x）＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：f'（x）＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0， 解得－3≤a≤0. [－3，0]　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 函数的单调性（定向精析突破） 考向1　不含参函数的单调性 （1）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图，则f （x）的图象可能是（　C　） C 高中总复习·数学 目 录 解析： 由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f （x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减； 当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝ ，则函数f（x）的单调递减区间为 　 . 解析： f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，令φ （x）＝ －ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－ － ＜0，∴φ（x）在 （0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞ 0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f （x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减. （1，＋∞） 高中总复习·数学 目 录 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解导函数不等式，求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，确定各区间f'（x）的符 号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征， 利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及 “或”连接，只能用“，”“和”隔开. 高中总复习·数学 目 录 考向2　含参函数的单调性 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨 论f（x）的单调性. 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln . 当x∈（－∞，ln ）时，f'（x）＜0；当x∈（ln ，＋∞）时，f'（x） ＞0. 高中总复习·数学 目 录 所以f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递 增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0 时，f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递 增. 高中总复习·数学 目 录 研究含参函数单调性的思路 （1）研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类 讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间 的大小关系等； （2）划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（　　） A. （0， ） B. （ ，＋∞） C. （－∞，0） D. （－∞，0）和（ ，＋∞） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f' （x）＝0，得x＝0或x＝ ，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如 表所示. x （－∞，0） 0 （0， ） ​ （ ，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 单调递减 0 单调递增 ​ 单调递减 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·广东湛江模拟节选）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x ＋（1－a）x，若a≥－ ，试讨论f（x）的单调性. 解：由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0，得f'（x）＝ －2x＋ ＋1－a＝ ＝ . 令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝ . 若a≥0，则－a≤0， ＞0， 当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ ，＋ ∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 高中总复习·数学 目 录 若－ ＜a＜0，则 ＞－a＞0，当x∈（0，－a）和（ ，＋∞） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－a， ）时，f'（x）＞ 0，f（x）单调递增. 若a＝－ ，则 ＝－a＝ ，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f （x）单调递减. 综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0， ），单调递减 区间为（ ，＋∞）； 高中总复习·数学 目 录 当－ ＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a， ），单调递减区 间为（0，－a）和（ ，＋∞）； 当a＝－ 时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间. 高中总复习·数学 目 录 函数单调性的简单应用（定向精析突破） 考向1　比较大小 （1）已知函数f（x）＝x sin x，x∈R，则f（ ），f（1），f（－ ）的大小关系为（　A　） A. f（－ ）＞f（1）＞f（ ） B. f（1）＞f（－ ）＞f（ ） C. f（ ）＞f（1）＞f（－ ） D. f（－ ）＞f（ ）＞f（1） A 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题知f（－x）＝（－x）· sin （－x）＝x sin x＝f（x），则函 数f（x）是偶函数，故f（－ ）＝f（ ）.又当x∈（0， ）时，f' （x）＝ sin x＋x cos x＞0，所以函数f（x）在（0， ）上单调递增，所 以f（ ）＜f（1）＜f（ ），即f（－ ）＞f（1）＞f（ ）.　 高中总复习·数学 目 录 （2）已知a＝ ，b＝ ，c＝e，则下列大小关系正确的是（　C　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜b＜a D. c＜a＜b C 解析： 由题，c＝ .令f（x）＝ （x≥e），则f'（x）＝ ，因 为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝ 在[e，＋∞）上单调递增， 又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C. 高中总复习·数学 目 录 由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调 性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅 助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 高中总复习·数学 目 录 考向2　解不等式 （1）已知函数f（x）＝2ln x＋ －x，则不等式f（2x－1）＜f（1 －x）的解集为（　B　） A. （0， ） B. （ ，1） C. （ ，1） D. （ ， ） B 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝ － －1＝－（ －1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f （2x－1）＜f（1－x），可得 解得 ＜x＜1，即原不 等式的解集为（ ，1）. 高中总复习·数学 目 录 解析：设g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex（f（x）＋f'（x））.由当 x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，得ex（f（x）＋f'（x））＞0，即g'（x） ＞0，故g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.又ex－2f（2x－3）＞f（x －1），所以e2x－3f（2x－3）＞ex－1f（x－1），即g（2x－3）＞g（x－ 1），因为g（x）为R上的偶函数，所以g（｜2x－3｜）＞g（｜x－ 1｜），即｜2x－3｜＞｜x－1｜，即（2x－3）2＞（x－1）2，所以（3x －4）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜ . （2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函 数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x －1）的x的取值范围是 ⁠. （－∞， ）∪（2，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征， 合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性， 借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通 过解不等式（组），得到未知数的取值范围. 高中总复习·数学 目 录 考向3　已知函数单调性求参数 （1）（2026·广东佛山模拟）若函数f（x）＝ex＋ax－ x2存在单调 递减区间，则实数a的取值范围是（　C　） A. （－1，＋∞） B. （0，＋∞） C. （－∞，－1） D. （－∞，0） 解析： 函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单 调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在 （－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g （0）＝－1，故a＜－1.故选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在 区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　C　） A. e2 B. e C. e－1 D. e－2 C 高中总复习·数学 目 录 解析：法一 由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－ ≥0在区间 （1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝ ，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g（x）在区间（1， 2）上单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝ ＝e－1.∴a≥e－ 1，∴a的最小值为e－1.故选C. 高中总复习·数学 目 录 法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝ aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立， 即aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒 成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g' （x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e， ∴ ≤e，即a≥ ＝e－1，故选C. 高中总复习·数学 目 录 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f' （x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式； （2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于 0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f' （x）＝0，则参数可取这个值. 提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该 区间上有解问题. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且 a＞b，则（　B　） A. af（b）＞bf（a） B. af（a）＞bf（b） C. af（a）＜bf（b） D. af（b）＜bf（a） 解析： 由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝ xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g （a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－ cos x，则不 等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　D　） A. （－∞，1） B. （－∞， ） C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞） 解析： 根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－ cos x，此时有f'（x）＝ex＋ sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函 数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1） ＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1， 即不等式的解集为（1，＋∞）. D 高中总复习·数学 目 录 （3）（2026·四川模拟预测）已知函数f（x）＝x2＋（x－2）ex－2x＋5 在区间（3m－1，m＋2）上不单调，则m的取值范围是 ⁠. 解析： 由题意知f'（x）＝（x－1）ex＋2x－2＝（ex＋2）·（x－1）， 因为f（x）在区间（3m－1，m＋2）上不单调，即y＝f'（x）在区间 （3m－1，m＋2）上有变号零点，又ex＋2＞0，所以f'（x）＝0⇒x＝1， f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒x＜1，所以x＝1在区间（3m－1，m＋ 2）内，所以 解得－1＜m＜ ，即m的取值范围是（－1， ）. （－1， ）　 高中总复习·数学 目 录 常见组合函数的图象 　　在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半 功倍的效果. 高中总复习·数学 目 录 〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上是先减后增函数的有 （　AD　） A. y＝xln x B. y＝ C. y＝xex D. y＝ AD 高中总复习·数学 目 录 解析：　对于A，y'＝1＋ln x，当0＜x＜ 时，y'＜0，当x＞ 时，y'＞0， 因此函数y＝xln x在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增， A符合；对于B，y'＝ ，当0＜x＜e时，y'＞0，当x＞e时，y'＜0，因 此函数y＝ 在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，B不符 合；对于C，当x＞0时，y'＝（x＋1）ex＞0，函数y＝xex在（0，＋∞） 上单调递增，C不符合；对于D，y'＝ ，当0＜x＜1时，y'＜0， 当x＞1时，y'＞0，因此函数y＝ 在（0，1）上单调递减，在（1，＋ ∞）上单调递增，D符合.故选A、D. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：92分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 函数f（x）＝xln x＋1的单调递减区间是（　　） A. （－∞， ） B. （ ，＋∞） C. （0， ） D. （e，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1＋ln x，所以在区 间（0， ）上f'（x）＜0，f（x）单调递减.故选C. 高中总复习·数学 目 录 2. 函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f （x）的图象可能是（　　） √ 解析： f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0 的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 关于x的不等式 －ln x＞0的解集是（　　） A. （0，1） B. （－∞，e） C. （e，＋∞） D. （0，e） √ 解析： 　令f（x）＝ －ln x，则f（x）的定义域为（0，＋∞），由f' （x）＝－ － ＜0，知f（x）＝ －ln x在（0，＋∞）上单调递减，又 f（e）＝0，所以不等式f（x）＞0的解集是（0，e），即原不等式的解集 为（0，e）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·浙江金华调考）已知函数f（x）＝3x＋2 cos x.若a＝f（ ），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　　） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. b＜c＜a √ 解析： 　由题意，得f'（x）＝3－2 sin x.因为－1≤ sin x≤1，所以f' （x）＞0恒成立，所以f（x）是增函数.因为 ＞1，所以 ＞3.又 log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜ ，所以f（2）＜f （log27）＜f（ ），即b＜c＜a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 已知函数f（x）＝x3＋2x－ sin x，若f（2a2）＋f（a－1）≤0，则实 数a的取值范围为（　　） A. （－∞，－ ］∪[1，＋∞） B. C. （－∞，－1]∪ D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　函数f（x）＝x3＋2x－ sin x的定义域为R，f（－x）＝（－ x）3＋2（－x）－ sin （－x）＝－f（x），故函数f（x）是奇函数.又f' （x）＝3x2＋2－ cos x＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，不等 式f（2a2）＋f（a－1）≤0⇔f（2a2）≤－f（a－1），即f（2a2）≤f （－a＋1），于是2a2≤－a＋1，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤ ，所 以实数a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2025·广东茂名一模）若f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1是区 间（m－1，m＋4）上的单调函数，则实数m的值可以是（　　） A. －4 B. －3 C. 3 D. 4 √ √ 解析： 　由题意，知f'（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2）（x＋1），令 f'（x）＞0，解得－1＜x＜2，令f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞2，所以f （x）在（－1，2）上单调递增，在（－∞，－1），（2，＋∞）上单调 递减，若函数f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1在区间（m－1，m＋4）上单 调，则m＋4≤－1或m－1≥2或 解得m≤－5或m≥3或 m∈⌀，即m≤－5或m≥3.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 已知函数f（x）＝ ＋ ＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取 值范围是 ⁠. 解析：由函数f（x）＝ ＋ ＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由 函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满 足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0） ∪（4，＋∞）. （－∞，0）∪（4，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数； ②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的 一个解析式为f（x）＝ .（答案不唯一） 解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以 当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f' （x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝ x3－ 4x（答案不唯一）. x3－4x（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （10分）（2026·江西吉安质检）已知函数f（x）＝3aln x－ x2－（a －3）x，试讨论f（x）的单调性. 解：由题意，f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ －x－（a－3）＝－ ＝－ ， ①若a≥0，则当0＜x＜3时，f'（x）＞0， 当x＞3时，f'（x）＜0， ∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ②若－3＜a＜0，由f'（x）＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f'（x）＞0，得 －a＜x＜3， ∴f（x）在（0，－a），（3，＋∞）上单调递减，在（－a，3）上单调 递增； ③若a＝－3，则f'（x）≤0恒成立， ∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减； ④若a＜－3，由f'（x）＜0，得0＜x＜3或x＞－a， 由f'（x）＞0，得3＜x＜－a， ∴f（x）在（0，3），（－a，＋∞）上单调递减，在（3，－a）上单调 递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 若函数h（x）＝ln x－ ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实 数a的取值范围为（　　） A. [－1，＋∞） B. （－1，＋∞） C. （－∞，－ ］ D. （－∞，－ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为函数h（x）＝ln x－ ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区 间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝ －ax－2＞0成立，即存在 x∈[1，4]，使a＜ － 成立，令G（x）＝ － ，x∈[1，4]，变形 得G（x）＝（ －1）2－1，因为x∈[1，4]，所以 ∈［ ，1］，所以 当 ＝ ，即x＝4时，G（x）max＝－ ，所以a＜－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·四川成都调研）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等 式f（2x－3）＋f（x）＞2的解集为（　　） A. （－∞，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，＋∞） √ 解析： 　令g（x）＝f（x）－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g（－ x）＝e－x－ex＋2x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，f（2x－3）＋f （x）＞2变形为f（2x－3）－1＞1－f（x），即g（2x－3）＞－g （x）＝g（－x），g'（x）＝ex＋e－x－2≥2 －2＝0，当且仅当 ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g（x）在R上单调递增，所以2x－ 3＞－x，解得x＞1，所以所求不等式的解集为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝ （　　） A. 在区间（0，1）上单调递增 B. 在区间（1，4）上单调递减 C. 在区间（1， ）上单调递减 D. 在区间（ ，4）上单调递减 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝ 的定 义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x） ＝ ，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即 g'（x）＝ ＞0，所以函数g（x）＝ 在（0，1）上单 调递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（1， ）时，f（x）＜f' （x），即g'（x）＝ ＜0，所以函数g（x）＝ 在 （1， ）上单调递减，故选项C正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 函数f（x）＝ 若函数f（x）在R上是增函 数，则实数a的取值范围为 ⁠. ［0， ］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－ 在（0，＋∞）上单调递增，则 2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'（x）＝ 3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递增，所以 3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2ax＝0，得x＝0或x＝ ，当a＜0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上不恒 成立；当a≥0时，结合二次函数的图象知3x2－2ax≥0在（－∞，0]上恒 成立，故a≥0，又函数f（x）在R上是增函数，则a≤ ，从而 0≤a≤ ，所以实数a的取值范围是［0， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·福建厦门模拟）已知函数f（x）＝aln x－ax－3 （a∈R）. （1）求函数f（x）的单调区间； 解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝ ， 当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋ ∞）； 当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为 （0，1）； 当a＝0时，f（x）不是单调函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·［f'（x）＋ ］在区 间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围. 解：由（1）及题意得f'（2）＝－ ＝1，即a＝－2， ∴f（x）＝－2ln x＋2x－3，f'（x）＝ ， ∴g（x）＝x3＋（ ＋2）x2－2x， ∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2. ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数， 即g'（x）在区间（t，3）上有变号零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 由于g'（0）＝－2，∴ 当g'（t）＜0，即3t2＋（m＋4）t－2＜0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g'（0）＜0，故g'（1）＜0且g'（2）＜0， 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9； 由g'（3）＞0，得m＞－ . 所以－ ＜m＜－9. 即实数m的取值范围是（－ ，－9）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝ －ax，当0＜x1＜x2时，不等式 － ＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A. （－∞，e） B. （－∞，e] C. （－∞， ） D. （－∞， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为当0＜x1＜x2时，不等式 － ＜0恒成立，所 以 ＜ ，即x1f（x1）＜x2f（x2），令g（x）＝xf（x）＝ ex－ax2，则g（x1）＜g（x2），又因为0＜x1＜x2，所以g（x）在（0， ＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝ex－2ax≥0在（0，＋∞）上恒成立， 分离参数得2a≤ 在（0，＋∞）上恒成立，令h（x）＝ （x＞0）， 则只需2a≤h（x）min，而h'（x）＝ex· ，令h'（x）＞0，得x＞1，令 h'（x）＜0，得0＜x＜1，所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1， ＋∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝e，故2a≤e，即a≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $