2.2 函数的单调性与最值 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”专题，依据课标要求梳理单调性定义、单调区间、最值等核心知识，对接高考评价体系，分析单调性判断、应用（比较大小、解不等式、求参数）、最值求解等高频考点，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点是“知识梳理+真题训练+方法归纳”，如用定义法、导数法突破单调性判断，复合函数“同增异减”解决单调区间问题，培养逻辑思维和数学建模素养。通过诊断自测和考点训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

第2节　函数的单调性与最值 课标要求 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2. 理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义. 3. 掌握函数单调性的简单应用. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 函数的单调性 （1）单调性的定义 定 义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如 果 x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求 f（x1）与 f（x2） 都有 ⁠ ⁠ 都有 ⁠ ∀　 f（x1）＜f （x2）　 f（x1）＞f（x2）　 高中总复习·数学 目 录 定 义 结论 函数f（x）在区间I 上 ；若 函数f（x）在定义域 D上单调递增，则称f （x）为增函数 函数f（x）在区间I上 ⁠ ；若函数f（x）在定义域 D上单调递减，则称f（x）为减 函数 单调递增　 单调递 减　 高中总复习·数学 目 录 图象描述 自左向右看图象 是 ⁠ 自左向右看图象是 ⁠ 上升的　 下降的　 高中总复习·数学 目 录 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上 ⁠ 或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单 调性， 叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义 域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不 同的概念，显然N⊆M. 单调递增　 单调递减　 区间I　 高中总复习·数学 目 录 2. 函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有 ⁠ ⁠； ②∃x0∈D，使得 ⁠ ⁠ ①∀x∈D，都有 ⁠ ⁠； ②∃x0∈D，使得 ⁠ ⁠ 结论 M是函数y＝f（x）的 ⁠ ⁠值 M是函数y＝f（x）的 ⁠ 值 f（x） ≤M　 f（x0） ＝M　 f（x） ≥M　 f（x0）＝ M　 最 大　 最小　 高中总复习·数学 目 录 提醒：（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭 区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一 定存在最大值或最小值. 高中总复习·数学 目 录 1. 若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下 性质： （1）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减 函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f （x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y ＝ 的单调性相反. 2. 复合函数的单调性满足“同增异减”. 高中总复习·数学 目 录 3. 函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则： （1） ＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f （x）在I上单调递增； （2） ＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f （x）在I上单调递减. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ 在定义域内单调递减. （　×　） （2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数. （　×　） （3）若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调 递增区间是[1，＋∞）. （　×　） × × × 高中总复习·数学 目 录 （4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f （x）在区间（1，3）上单调递增. （　×　） （5）若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一 定有最值. （　√　） × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 函数y＝－ 在区间[1，2]上的最大值为（　　） A. － B. － C. －1 D. 不存在 √ 解析： 　y＝－ 在区间[1，2]上单调递增，所以ymax＝－ ＝－ . 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为 （　　） A. [－1，2]∪[4，5] B. [－1，2]和[4，5] C. [－3，－1]∪[2，4] D. [－3，－1]和[2，4] √ 解析： 　由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]， 故选B. 高中总复习·数学 目 录 4. 〔多选〕下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A. f（x）＝－2x＋1 B. f（x）＝x2＋1 C. f（x）＝1－ D. f（x）＝｜x｜ √ √ √ 解析： 　对于A，f（x）＝－2x＋1是一次函数，所以f（x）在R上 是减函数，故A错误；对于B，因为f（x）＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f （x）在（0，＋∞）上单调递增，故B正确；对于C，因为y＝－ 在 （0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故C正 确；对于D，函数f（x）＝｜x｜＝ 故函数f（x）在（0， ＋∞）上单调递增，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 5. 函数y＝ 的单调递减区间是 ⁠. 解析：由题意，要使函数y＝ 有意义，需满足x2＋2x≥0，解得 x≤－2或x≥0，又由t＝x2＋2x在（－∞，－2]上单调递减，在[0，＋ ∞）上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝ 的单调递减区间是（－∞，－2]. （－∞，－2]　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 函数的单调性（师生共研过关） （1）〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 函数y＝e－x－ 在（－∞，0）上单调递减 B. 若f（x），g（x）都是R上的增函数，则h（x）＝f（x）＋g（x） 也是R上的增函数 C. 函数y＝2｜x＋1｜的单调递减区间是（－∞，－1] D. 函数f（x）＝ 的单调递增区间为[1，＋∞） √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　在（－∞，0）上函数y＝e－x与y＝－ 都 单调递减，所以y＝e－x－ 在（－∞，0）上单调递减， 故A正确；两增函数的和为增函数，故B正确；作出函数y＝2｜x＋1｜的图象，如图所示，由图象可知，函数y＝2｜x＋1｜的单调递减区间是（－∞，－1]，故C正确；由复合函数的单调性的判断方法“同增异减”可得f（x）的单调递增区间为（－∞，1]，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕试讨论函数f（x）＝ （a≠0）在（－1，1）上的 单调性. 解：法一（定义法） 设－1＜x1＜x2＜1， f（x）＝a（ ）＝a（1＋ ）， 则f（x1）－f（x2）＝a（1＋ ）－a（1＋ ）＝ ， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 高中总复习·数学 目 录 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 法二（导数法） f'（x）＝ ＝ ＝－ . 当a＞0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 高中总复习·数学 目 录 1. 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2. 函数单调性的判断方法 （1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导 数法. 提醒：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或 “和”连接，不能用“∪”. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）（2026·山西临汾适应性考试）下列函数中，满足“对任意 x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是 （　B　） A. y＝x2－x B. y＝lg（x2＋1） C. y＝3｜x－1｜ D. y＝ B 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意知，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，y＝x2－ x在（－∞， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，A错误；因为 x2＋1≥1，所以y＝lg（x2＋1）的定义域为R，又y＝lg t在（0，＋∞）上 单调递增，t＝x2＋1在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递 减，所以y＝lg（x2＋1）在（0，＋∞）上单调递增，B正确；y＝3｜x－1｜ 的定义域为R，又y＝3t在R上单调递增，t＝｜x－1｜在（1，＋∞）上单 调递增，在（－∞，1）上单调递减，所以y＝3｜x－1｜在（1，＋∞）上单 调递增，在（－∞，1）上单调递减，C错误；y＝ ＝1－ 在（1，＋ ∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递增，但在（0，＋∞）上不单调 递增，D错误.故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）函数f（x）＝ －x的单调递增区间为（　A　） A. （0， ） B. （0，1） C. （ ，＋∞） D. （1，＋∞） 解析： 令t＝ ，显然t＝ 在[0，＋∞）上为增函数.又y＝t－t2 ＝－（t－ ）2＋ （t≥0）在 上单调递增，由 ≤ 得 0≤x≤ ，所以f（x）的单调递增区间是（0， ）. A 高中总复习·数学 目 录 函数单调性的应用（定向精析突破） 考向1　比较函数值的大小 已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f （x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－ ），b＝f（2）， c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（　　） A. c＞a＞b B. c＞b＞a C. a＞c＞b D. b＞a＞c √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－ ）＝f（ ）.又 ∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x） 在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜ ＜e，∴f（2）＞f（ ）＞f（e）， ∴b＞a＞c. 高中总复习·数学 目 录 利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用 函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中 间值法比较大小. 高中总复习·数学 目 录 考向2　解不等式 已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：因为函数f（x）＝ln x＋2x在定义域（0，＋∞）上为增函数，且f （1）＝ln 1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所 以0＜a2－4＜1，解得－ ＜a＜－2或2＜a＜ . （－ ，－2）∪（2， ）　 高中总复习·数学 目 录 高中总复习·数学 目 录 考向3　求参数的值（范围） （2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝ 在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，0] B. [－1，0] C. [－1，1] D. [0，＋∞） √ 解析： 　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x ＋1）单调递增，则需满足 解得－1≤a≤0，即a的取 值范围是[－1，0].故选B. 高中总复习·数学 目 录 利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或 先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）若f（x）是定义在（－∞，0]上的减函数，则不等式f（2x＋ 3）≤f（x＋1）的解集为（　A　） A. ［－2，－ ］ B. （－∞，－2）∪（－ ，＋∞） C. （－2，－ ） D. （－∞，－2）∪［－ ，＋∞） 解析： 根据题意，可得 解得－2≤x≤－ . A 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·四川外国语大学附中模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3 在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围为 ⁠. 解析：因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在 （a，＋∞）上单调递增.又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所 以a＞1. （1，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 函数的值域（最值）（师生共研过关） 〔多选〕下列函数的值域正确的是（　　） A. 当x∈[0，3）时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6） B. 函数y＝ 的值域为R C. 函数y＝2x－ 的值域为［ ，＋∞） D. 函数y＝ ＋ 的值域为[，＋∞） √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3）， 再结合函数的图象（如图1所示），可得函数的值域为[2，6）. 对于B（分离常数法），y＝ ＝ ＝2＋ ，显然 ≠0，∴y≠2，故函数的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.对于C（换元法），设t＝ ，则x＝t2＋1，且t≥0， 高中总复习·数学 目 录 ∴y＝2（t2＋1）－t＝2（t－ ）2 ＋ ，由t≥0，再结合函数的图象 （如图2所示），可得函数的值域 为［ ，＋∞）.对于D，函数的定 义域为[1，＋∞），∵y＝ 与y＝ 在[1，＋∞）上均单调递增，∴y＝ ＋ 在[1，＋∞）上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝ ，即函数的值域为[，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 求函数最值（值域）的常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出 最值； （3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题； （4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行“变量代 换”； （5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把 函数分离成一个常数和一个分式和（差）的形式. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）（2026·辽宁大连八中高三段考）若函数y＝f（x）的值域是 ［ ，4］，则函数F（x）＝f（2x＋1）＋ 的值域是（　　） A. ［ ，4］ B. ［2， ］ C. ［2， ］ D. ［ ， ］ B 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为函数y＝f（x）的值域是［ ，4］，所以函数f（2x＋1）的 值域是［ ，4］.令f（2x＋1）＝t∈［ ，4］，则F（x）＝g（t）＝t ＋ ，由对勾函数的性质可知，函数g（t）＝t＋ 在［ ，1］上单调递 减，在（1，4]上单调递增，而g（ ）＝ ，g（1）＝2，g（4）＝ ， 所以g（t）∈［2， ］，即函数F（x）的值域是［2， ］.故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）设a＞0，且a≠1，函数f（x）＝ 的值域为 [2，＋∞），则实数a的取值范围是 ⁠. 解析： 当x≤2时，f（x）＝x2－6x＋10，曲线y＝x2－6x＋10的对称轴 为直线x＝3，所以f（x）在（－∞，2]上单调递减，又f（2）＝22－6×2 ＋10＝2，所以当x≤2时，f（x）∈[2，＋∞）.因为函数f（x）＝ 的值域为[2，＋∞），所以当x＞2时，f（x）＝ logax≥2恒成立，所以a＞1，则loga2≥2＝logaa2，所以a2≤2，所以1＜ a≤ ，即a的取值范围是（1， ]. （1， ]　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　） A. y＝－x2＋1 B. y＝ C. y＝ D. y＝3－x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　y＝－x2＋1在区间（0，1）上单调递减，故A不符合题意；y ＝ 是[0，＋∞）上的增函数，所以在区间（0，1）上单调递增，故 B符合题意；y＝ 在（0，＋∞）上单调递减，所以在区间（0，1）上 单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间（0，1）上单调递减，故 D不符合题意. 高中总复习·数学 目 录 2. 若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1） 的大小关系是（　　） A. f（m）＜f（1） B. f（m）＞f（1） C. f（m）≤f（1） D. f（m）＝f（1） √ 解析： 因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1 ＜0，得m＜1，所以f（m）＞f（1）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（　　） A. [1，＋∞） B. （－∞，1] C. [1，2] D. [2，＋∞） √ 解析： 　因为f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜＝ 所以f （x）的单调递增区间为[2，＋∞），故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 〔一题多解〕函数f（x）＝ 的最大值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　法一（图象法）　作出函数f（x）＝ 的图象（如图所示），由函数图象可 知，f（x）的最大值为2. 法二（单调性法）　当x≥1时，函数f（x）＝ 单调递减，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f（1）＝1；当x＜1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·福建泉州月考）已知函数f（x）＝ － ，则不等式 f（x＋1）＞f（2x）的解集为（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，1] C. ［－ ，0］ D. ［－ ，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　函数f（x）＝ － ，由 解得－ 1≤x≤1，则f（x）的定义域为[－1，1].因为y＝ 是增函数，y＝ － 也是增函数，所以f（x）＝ － 是[－1，1]上的增 函数，由不等式f（x＋1）＞f（2x）得 解得－ ≤x≤0，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则 下列说法正确的是（　　） A. y＝－f（x）在R上是减函数 B. y＝f（x）－g（x）在R上是增函数 C. y＝ 在R上是增函数 D. y＝[f（x）]2在R上是增函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　A中，函数f（x）在R上是增函数，则y＝－f（x）在R上是 减函数，故A正确；B中，g（x）在R上是减函数，则－g（x）在R上是 增函数，又f（x）在R上是增函数，故f（x）－g（x）在R上是增函数， 故B正确；C中，函数g（x）在R上是减函数，但y＝ 在R上不一定 是增函数，如g（x）＝－x在R上是减函数，但y＝ ＝－ 在R上不 是增函数，故C错误；D中，函数f（x）在R上是增函数，但y＝[f（x）]2 在R上不一定是增函数，如f（x）＝x在R上是增函数，但y＝[f（x）]2 ＝x2在R上不是增函数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 已知函数f（x）＝ （a＞0）在区间[2，6]上的最大值为 5，则a＝ ⁠. 解析：f（x）＝ ＝ ＝2＋ .因为a＞0，所以函 数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2，6]上的 最大值为f（2）＝2＋ ＝2＋a＝5，解得a＝3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象 上的两点，则｜f（x＋1）｜＜1的解集为 ⁠. 解析：由题意可知，f（0）＝－1，f（3）＝1，因为函数f（x）是R上的 增函数，所以由｜f（x＋1）｜＜1得－1＜f（x＋1）＜1，即f（0）＜f （x＋1）＜f（3），因此0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2，即｜f（x＋ 1）｜＜1的解集为（－1，2）. （－1，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知函数f（x）＝2x＋ ＋c，且f（1）＝4，f（2）＝5. （1）求b，c的值； 解： 由题意得，f（1）＝2＋b＋c＝4， f（2）＝4＋ ＋c＝5，解得b＝2，c＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，并判断f（x）在 （1，＋∞）上的单调性. 解： 证明：由（1）得，f（x）＝2x＋ . 任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝（2x1＋ ）－（2x2＋ ） ＝ . 因为0＜x1＜x2＜1，所以x1－x2＜0，x1x2－1＜0，x1x2＞0，所以f（x1） －f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在区间（0，1）上单 调递减. 同理可得f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2025·山东威海一模）已知函数f（x）＝ ＋x，若对∀x1， x2∈（1，3），且x1≠x2，都有 ＜1，则（　　） A. a≤ B. a≤0 C. a≥－3 D. a≥1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题设，∀x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有 ＜0，所以f（x）－x＝ 在（1，3）上单 调递减，即y＝ax2－2x－1在（1，3）上单调递减，当a＝0时，y＝－2x －1满足题设，当a≠0时， ⇒0＜a≤ 或 ⇒a＜0，综上， a≤ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·河南信阳高级中学模拟）已知f（x）＝ 若f（0）是f（x）的最小值，则实数t的取值范 围为（　　） A. [－1，2] B. [－1，0] C. [0，2] D. [1，2] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当x≤0时，f（x）＝x2－2tx＋t2，所以要使f（0）是f（x） 的最小值，则t≥0，又当x＞0时，f（x）＝x＋ ＋t≥2 ＋t＝2＋ t，当且仅当x＝1时取等号，所以2＋t≥f（0）＝t2，即t2－t－2≤0，解 得－1≤t≤2，又因为t≥0，所以0≤t≤2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2026·江苏扬州开学考试）已知函数f（x）＝x2－2ax＋a 在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝ 在区间[1，＋ ∞）上（　　） A. 单调递减 B. 单调递增 C. 有最小值 D. 有最大值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小 值，∴函数f（x）＝x2－2ax＋a的对称轴应位于区间（－∞，1）内， ∴a＜1，又g（x）＝ ＝x＋ －2a，当a＜0时，g（x）＝x＋ － 2a在区间[1，＋∞）上单调递增，此时g（x）≥g（1）＝1－a；当a＝ 0时，g（x）＝x在区间[1，＋∞）上单调递增，此时g（x）≥g（1） ＝1；当0＜a＜1时，g（x）＝x＋ －2a，g'（x）＝1－ ≥1－a＞0， ∴g（x）在[1，＋∞）上单调递增，此时g（x）≥g（1）＝1－a，综 上，g（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，且有最小值g（1）.故选 B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. （2026·湖南长沙模拟）已知函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，且 对于y＝f（x）（x∈R），当x1，x2∈（－∞，0）且x1≠x2时， ＜0恒成立，若f（2ax）＜f（2x2＋1）对任意的x∈R恒 成立，则实数a的取值范围为 ⁠. （－ ， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意得y＝f（x）为偶函数，且在（－∞，0）上单调递减，故y ＝f（x）在（0，＋∞）上单调递增，因为f（2ax）＜f（2x2＋1），故f （｜2ax｜）＜f（2x2＋1），所以｜2ax｜＜2x2＋1，当x＝0时，｜0｜ ＜1恒成立，满足要求；当x≠0时，｜2a｜＜ ＝2｜x｜＋ 在 x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）上恒成立，其中2｜x｜＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当2｜x｜＝ ，即｜x｜＝ 时， 等号成立，故｜2a｜＜2 ，解得－ ＜a＜ ，综上，a的取值范围 为（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·安徽皖江名校联考）定义在（0，＋∞）上的函数f （x）满足：①当x＞1时，f（x）＞0；②对任意实数x，y都有f（x·y） ＝f（x）＋f（y）.　 （1）证明：当0＜x＜1时，f（x）＜0； 解：证明：令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0. 当0＜x＜1时， ＞1，则f（ ）＞0， 在f（x·y）＝f（x）＋f（y）中， 令y＝ ，则f（1）＝f（x）＋f（ ），所以f（x）＝－f（ ）＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性； 解： 设0＜x1＜x2，则 ＞1，所以f（ ）＞0， 于是f（x2）＝f（x1· ）＝f（x1）＋f（ ）＞f（x1）， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （3）解不等式f（x＋1）＋f（2x－3）＞0. 解： 由题意知，原不等式等价于f（（x＋1）（2x－3））＞f（1）， 由（2）知，f（x）在（0，＋∞）上单调递增， 可得（x＋1）（2x－3）＞1，且x＋1＞0，2x－3＞0，解得x＞ . 故原不等式的解集是（ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜ 0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值 （　　） A. 一定大于0 B. 一定小于0 C. 等于0 D. 正负都有可能 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x）＝x＋x3是增函数，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f （－x2）.又易验证f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f （x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0. 所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝ [f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f （x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $