冲刺七《实数及其简单运算》—2025-2026学年七年级下册数学期末重难点练习（人教版）

**基本信息** 聚焦实数概念、运算及应用，通过辨析、估算、新定义运算等题型构建从概念到实践的完整逻辑链，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/3/4/9|正误判断为主，考查实数分类、性质|从有理数无理数定义出发，构建实数体系| |数轴与表示|单选2/6、填空12|结合数轴估算无理数，确定小数部分|体现实数与数轴一一对应，发展几何直观| |运算应用|单选5/7/8/10、填空11、解答14-16|含平方根立方根运算、新定义及程序运算|从基本运算到变式应用，强化运算能力| |综合实践|填空13、解答17-18|结合面积体积计算、非遗剪纸情境|用数学语言表达实际问题，培养模型意识|

冲刺七《实数及其简单运算》 2026年七年级下册数学期末重难点练习（新人教版）解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据实数与数轴的关系，有理数的定义，平方根，立方根，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵实数和数轴上的点一一对应， ∴①说法正确； ②不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但是无理数， ∴②说法错误； ③∵负数有一个负的立方根， ∴③说法错误； ④∵17的平方根是， ∴是17的一个平方根， ∴④说法正确． 综上，正确的说法共有2个． 2．如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是点． 3．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 5．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 6．实数小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先估算无理数的取值范围，得到的整数部分，再根据“小数部分原数整数部分”求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分为， ∵小数部分， ∴． 7．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 8．定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，则有，，，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：，，， ，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ，，，， ，， ，故A，B，C选项错误，D选项正确． 9．以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，邻补角的定义，平行线的判定，算术平方根的应用，实数的运算等，熟练掌握“等式中两侧含有无理数和有理数，则有理数项和无理数项分别相等”是解题的关键． 【详解】解：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；只有公共边没有公共点的两个角不是邻补角，故①为假命题； 在同一平面内，过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；若不在同一平面内，则这两条垂线不一定平行，故②为假命题； ∵， ∴， 原式为：， 整理得：， 解得：，故③为假命题； ∵，均为有理数，且满足等式， ∴，， 解得：，， 则或，故④为假命题； 故选：D． 10．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给式子总结变化规律可得，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ∴， ∴． 二、填空题 11．如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【答案】3 【分析】再结合整数条件求解．先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长． 【详解】解：设正方形、、的边长分别为、、， 由题意，，， ，． 正方形由内到外依次嵌套， ，即． ，，且为整数， ． 12．阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先求出，进而求出，，再代入求值即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， ． 13．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 三、解答题 14．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算得，，则，计算的算术平方根即可； （2）根据题意计算得，则，计算的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的立方根为， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为． 15．代入求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性求解参数即可． （2）利用非负性求出的值，再用裂项相消法计算分式求和即可． （3）根据算术平方根有意义的条件确定的范围，再去绝对值化简求解即可． 【详解】（1）解：，，且， ，，解得， 将代入，得， 解得，即． （2）解：， ， 原方程可化为，整理得， ，， ，，解得， 将，代入所求式子得： ． （3）解：由算术平方根有意义的条件得，即， ，可得， 原方程可化为， 移项得， 两边平方得， 整理得． 16．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 17．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 18．阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义规则判断两个数的大小关系，再代入对应法则计算； （2）利用推出，再代入对应法则化简计算； （3）先根据已知条件求出正数，再根据的大小分情况，结合材料二的求和法则计算即可. 【详解】（1）解：根据新定义，， ， ， ， ． （2）解： ，即，． ． （3）解：t是正数， ， ． ，即， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺七《实数及其简单运算》 2026年七年级下册数学期末重难点练习（新人教版）原卷版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 4．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 5．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 6．实数小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 7．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 8．定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 9．以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 10．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 12．阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 13．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 三、解答题 14．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的立方根． 15．代入求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 16．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 17．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 18．阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $