安徽合肥市第八中学2026届高三考前保温训练数学试题

2026届合肥八中保温卷 命题、审题：高三数学组 亲爱的同学们： 青春是一个向量，模长是努力，方向是梦想： 青春是一个含参方程，三年来你们始终用勤奋求解： 青春是一个递推数列，每一次迭代都写满了坚持与成长… 三年时光，如函数殷跌宕起伏，如今终于收敛到最美的“高考”点。愿你们以自信为定义域，以拼搏 为法则，解出青春的最优解。 点动成线，线动成面，面动成体，这三年，你们用每一天的位移，构筑了立体的自己。人生不是欧几 里得几何，没有永远的平行线，所有的努力终会在某个闪亮的时刻相交。 祝金榜题名，前程可导，未来可期！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={x∈Nx2<100,集合A=红，3,8,9}，则A中元素个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知向量ā=(2，x),b=(2,4),若a+b=la-,则x的值为() A.1 B.-1 C.4 D.-4 3.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.下面四幅频率分布 直方图中，最能说明平均数大于中位数的是() y个 D 1 4.在ar+二 的展开式中常数项为6，则a=() A.±1 B.1 C.±6 D.6 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2+m(m为常数)，则f(-2)=() A.4 B.7 C.-7 D.8 6.已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为于的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值 为() 4π A.2元 B.3π C.4π D. 3 第1页，共4页 7.某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍， 则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过()（参考数据：g2≈0.301） A.10年 B.12年 C.23年 D.24年 8.已知O为坐标原点，点Q(0,3),动点A、B在抛物线C:y2=4x上，满足OA⊥OB.若点O关于直线AB 的对称点为P,则PO的最大值是（) A.V103 B.9 C.√3 D.8 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知S是等差数列{a}的前n项和，d为公差，且S<0,S,>0,则下列说法正确的是() A.d>0 B.当n=8时，Sn取最小值 C.4<0 D.4>0 10.已知随机事件A,B,C满足P(A)行P(D)-号P(C)?P(4U)-号，则下列说法正确的是(） A.事件A,B相互独立 B.P(AB)=P(BA) C若P4C)=PiC).则P4C) D.若P(CA+PC习子则P(4C)号 11.设复数z满足2-4=，则() A.2-2-2+2=-2W2 B.≥2 C.关于z的方程z=a+ai(a∈R)有解D.若复数p满足w=1,则z-W≥√2-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列{a}的前n项之积为Tm,若4=4，则log2T,= 13.在平面直角坐标系x0y中，角Q与角B均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若5inu= ,则 cos(a-B)= 14.过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2W3 sinxcosx-2cos2x+1. (①)求函数f)的最小正周期，以及在区间0 上的最小值： (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c.若f(4)=2,sc=3，b+c=5,求a的长 16.(本小题满分15分) 在T白直角标系中，U为面C号若-o~6>0的强农您过点〔园 且椭圆C的右焦点F的 坐标为1,0). (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于AB两点，求O4O的值. 17.(本小题满分15分) 如图，三棱柱ABC-AB,G的所有棱长均为2，且∠44B= 3 (1)证明：AB⊥AC: (2)若三棱柱ABC-AB,C的体积为3，求平面ACC1与平面ACB,所成角的余弦值. 第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=e+ax2-x(a∈R) (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若f(x)在R上单调递增，求a的值； (3)若f(x)存在极小值点且f(x)<-1,求的取值范围. 19.（本小题满分17分) 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制： 满十六进一，就是十六进制等.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一 串数字符号连写在一起的形式44-1…44，其中a,4-1,…,4∈{0,1,2，，k-1},且a≠0， a,a1…4a4=a,心+ak++4k+6,如2210)=2×32+1×3+1，所以2210)在三进制下可写为211； 如8810)=3×52+2×5+3，所以8810)在五进制下可写为3235 (1)将五进制数2115，转化成三进制数 (2②)对于任意两个不同的n+1位二进制数aa1…440,b,61bb,a.=b.=1,记X-4-4 ①若n=3,求随机变量X的分布列与数学期望： ②证明：()>号 第4页，共4页2026届合肥八中保温卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={x∈Nx2<100,集合A=红，3,8,9}，则C,A中元素个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【分析】先解出全集U再计算CA即可. 【详解】由x2<100且x∈N,解得全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则uA={0,2,4,5,6,7乃，共有6个元素 故选：C 2.已知向量ā=(2，x),b=(2,4),若a+b=a-b,则x的值为() A.1 B.-1 C.4 D.-4 【答案】B 【详解】由题意得，a+b=(4,4+x),a-b=(0,x-4), 因为a+=a-,所以42+(4+x}=(x-42,得x=-1。 3.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.下面四幅频率分布 直方图中，最能说明平均数大于中位数的是() D 【答案】A 【分析】对于单峰频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体相等，和 中位数相比，平均数总在“长尾巴那边 【详解】对于B,D图象对称，平均数和中位数相等，A中图象尾巴向右拖，C中图象尾巴靠左拖，故A正 确， 故选：A 第1页，共17页 4.在ax+ 的展开式中常数项为6，则a=() A.±1 B.1 C.+6 D.6 【答案】A 【分析】写出展开式通项，令x的指数为0即可求解 【详解】展开式通项工，1=C4(ax) 1 =C4a'x4，令4-2=0得r=2. 所以常数项为C=6,解得a=±1 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx)=x2+2+m(m为常数)，则f(-2)=() A.4 B.7 C.-7 D.8 【答案】C 【详解】由已知得f(0)=0,则m=-1, 所以当x≥0时，f(x)=x2+2-1, 所以f(2)=7,故f(-2)=-f(2)=-7. 6.已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值 为() 4π A.2π B.3π C.4π D 3 【答案】D 【分析】根据圆台母线长与侧面展开图扇环内外圆半径的关系得到一个等式，再利用圆台上下底面圆周长 与扇环内外圆周长的比例关系，进而求出圆台上下底面圆周长之差。 【详解】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为5，外圆半径为5，（乃>） 则圆台母线长为2=乃-1， 设圆台上、下底面圆半径分别为5,4(3<4)， 则20 2罗如，2晋，2)56) 3 3 圆台上下底面圆周长之差的绝对值为 4π 故选：D. 第2页，共17页 δD 7.某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍， 则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过()（参考数据：1g2≈0.301） A.10年 B.12年 C.23年 D.24年 【答案】A 【详解】设初始种群数量为N,经过t年后，种群数量变为5N. 根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即5N=10N, 两边同时除以N,得5=10.两边同时取常用对数，有：1g5=lg10?一tlg5=7. 由于e5=g91-1B2,且1g20301,代入得： 11-0.301)=7→tx0.699≈7，解得1≈7 ≈10.014. 0.699 因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年 8.已知O为坐标原点，点Q(0,3),动点A、B在抛物线C:y2=4x上，满足OA1OB.若点O关于直线AB 的对称点为P,则PQ的最大值是(). A.103 B.9 C.√3 D.8 【答案】B 【详解】设直线AB的方程为x=w+t,A(5,乃)，B(,y), 联立抛物线方程得，y2-4y-4t=0, 由韦达定理得，1+%=4m,3=-4t, 由OA⊥OB得，OAOB=xx2+y2=0, 代入=年-年得0=0 4 16 将=-业代入，得g-=0,4=4或-0《合去 第3页，共17页 所以直线AB的方程为x=y+4,恒过点M(4,0), 因为点O关于直线AB的对称点为P, 所以AB垂直平分OP, 所以OM=P=4, 所以点P的轨迹是以M(4,O)为圆心，半径r=4的圆（除去原点）， 则点P轨迹方程为(x-4)+y2=16, 所以M=V4-0)2+(0-3)=5, 所以P2l=l2M+r=5+4=9. M 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知S是等差数列{a}的前n项和，d为公差，且S<0,S,>0,则下列说法正确的是() A.d>0 B.当n=8时，Sn取最小值 C.a<0 D.4>0 【答案】AD 【分析】根据等差数列性质可得4>0，a4<0,即可得d>0,即可判断A;结合单调性分析数列{a}的正 负性，即可得S,的最值，即可判断BCD 【详解】因为数列{a}为等差数列， 则S,=94>0,即4>0， 且S=4(a4+4)<0,即a4+4<0,可得a4<0, 第4页，共17页 所以公差d=a4-a4>0,故A正确： 可知等差数列{a}为递增数列，当n≤4时，a.<0;当n≥5时，an>0; 所以当n=4时，Sn取最小值，故B错误： 所以>0,4，>0，故C错误，D正确 10,已知随机事件4，B,C满足P()-},P()-号，P(C)-}P(AU8=号，则下列说法正确的是() A.事件A,B相互独立 B.P(AB)=P(BA) C.若P(4C)-P(aC),则P(aC)月 D.若PCA+P(C号则P(4C)-号 【答案】ACD 【分析】利用条件概率公式，相互独立事件概率公式，并事件概率公式来进行求解即可. 【详解】利用概率加法公式：由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 代入P国-子Pa8)-:Pu-}号后 又P国P匈号音，所以算PP到=P, 所以事件A,B相互独立，故A正确 2 2 P(AB)_15=2 很据条件概率公式计京：P(AB)=PB=P(aA)=P P(A) 151 5 则P(AB)≠P(B|A),故B错误： 由P(AC)=P(AC),且P(C)=P(AC)+P(AC),得P(C)=2P(AC), 因为PC)-},所以P(4C)=。, 6 即P(AC)= P(AC)_6=1 P(C)=12,故C正确： 3 由C0+C司可得： P(CA),P(cA)2 P(A)P(A)3' 第5页，共17页 代入P()-P④-子可得3P(C)+PCA)-子18P(C+9P(CA=4, 又因为P(CA+P(C网)=P(C)=子两式消元解得： 18rC)+}prC4到=49PC)=-1PC4)=)放D正确 11.设复数z满足z-4=z,则() A.2-2-2+2=2W2 B.≥2 C.关于z的方程z=a+ai(a∈R)有解D.若复数w满足w=1,则z-W≥√2-1 【答案】ABD 【分析】设z=x+ⅵ(x,yeR),根据z2-4=2可得x2-y2=2,故P(x,y)在双曲线上，由双曲线的性质 可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误， 【详解】设z=x+i(x,yeR),则x+i2-4=x+i)。 整理得r2-y2-4+2xwi=x2-y2+2vi, 故(x2-y2-4)2+4x2y2=(x2-y2)2+4x2y2即x2-y2=2, 故P(化，)在双曲线x2-y2=2上，焦点坐标为(2,0)，(-2,0)，实半轴长为√2， 故2-2-2+2表示P到两个焦点的距离差的绝对值， 故2-2-2+2=-2W2,故A正确： 即为P到原点的距离，故OP大于等于实半轴长，故2V2,故B成立， 对于C,由z=a+ai(a∈R)可得x+i=a+ai,而x,y,a∈R, 故x=a,y=4,而x2-y2=2,故矛盾，故C错误： 对于D,因为即为P到原点的距离，由B的分析可得≥√2， 而2-川≥-川≥V2-1,故D正确： 故选：ABD 第6页，共17页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列{a}的前n项之积为T,若4=4，则log,= 【答案】18 【详解】由等比中项的性质可得T,=a1a2…aeag=aξ=49=218， 所以10g2T3=l0g2218=18. 1 13.在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sina= ，则cos(a-B) 3 【答案】 9 【详解】试题分析：因为a和B关于y轴对称，所以a+B=兀+2k,k∈Z,那么simB=sina=3' cosa=-cos B= 25（或csp=-cos=2y5)， 3 7 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=-cos2a+sin2 a=2sin2a-1=- 9 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与B的终边关于y 轴对称，则a+B=兀+2k饥，k∈Z,若a与B的终边关于x轴对称，则+B=2kπ，k∈Z,若a与B的终边 关于原点对称，则-B=兀+2机，k∈Z 14.过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 √525 【答案】 2 3 【分析】建系，利用坐标运算以及球的定义得出球心坐标和半径，再构造函数求范围. 【详解】如图，正四面体D-ABC,过点D作DH⊥平面ABC,且垂足为H, 取线段BC的中点为E,则A,H,E三点共线， 以H为原点，以平行于BC的直线为x轴，以HE,HD所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标 系 设正四面体的棱长为2， 则44=5,1-h-5-h-25 因为DH⊥平面ABC,HEC平面ABC,所以DH⊥HE, 第7页，共17页 则-呵-5 设过棱AD的平面与BC交于点F,故可设F 设三棱锥D-AFC的外接球半径为R,球心坐标为(：，，)， 三棱锥D-AFB的外接球半径为R,球心坐标为(，乃，)， 则=+=+r-a-写 -4-网49--+2 双-〔传旷到 g方 解得，=心-1 2 -l-1 25, =3-",R=3-2m+1山 26 51 若后戏 8 是都品 4 32+2+11' 若m=0,则 =1: E备 n 因为y=3m+业+2在（←1,0）上单调递减，在(0,1)上单调递减， 且当m=-1时y=-12,当m=1时y=16, 所以3+ 1业+2<-12或3m+11+2>16, 第8页，共17页 则 $$- \frac { 1 } { 3 } < \frac { 4 } { 3 m + \frac { 1 1 } { m } + 2 } < 0 或 0 < \frac { 4 } { 3 m + \frac { 1 1 } { m } + 2 } < \frac { 1 } { 4 } ，$$ $$1 < \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } } { R _ { 2 } ^ { 2 } } < \frac { 4 } { 3 }$$ $$\frac { 4 } { 3 } 或$$ $$\frac { 3 } { 4 } < \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } } { R _ { 2 } ^ { 2 } } < 1 ，$$ 综上可知， $$\frac { 3 } { 4 } < \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } } { R _ { 2 } ^ { 2 } } < \frac { 4 } { 3 } ，$$ $$\frac { \sqrt 3 } { 2 } < \frac { R } { R _ { 2 } } < \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 } ，$$ 故这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 $$\left( \frac { \sqrt 3 } { 2 } ， \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 } \right)$$ D A C F H E B 故答案为： $$\left( \frac { \sqrt 3 } { 2 } ， \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 } \right)$$ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知函数 $$f \left( x \right) = 2 \sqrt 3 \sin x \cos x - 2 \cos ^ { 2 } x + 1 .$$ (1)求函数f(x)的最小正周期，以及在区间 $$\left[ 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right]$$ 上的最小值； )在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. $$f \left( A \right) = 2 ， S _ { \triangle A B C } = \sqrt 3 ， b + c = 5 ，$$ ，求 a 的长. 【答案】 1( $$\left( 1 \right) \pi ， f \left( x \right) _ { \min } = - 1$$ $$\left( 2 \right) \sqrt { 1 3 }$$ 【分析】(1)由 $$f \left( x \right) = 2 \sqrt 3 \sin x \cos x - 2 \cos ^ { 2 } x + 1 ，$$ ，利用二倍角公式和辅助角公式化简，计算即可. (2)由 f(A)=2， 得 $$A = \frac { \pi } { 3 } ，$$ 利用三角形面积公式 $$S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } b c \sin A ，$$ ，得： bc=4， 利用余弦定理，计算即 可. 【详解】 $$\left( 1 \right) \because f \left( x \right) = 2 \sqrt 3 \sin x \cos x - 2 \cos ^ { 2 } x + 1 = \sqrt 3 \left( 2 \sin x \cos x \right) - \left( 2 \cos ^ { 2 } x - 1 \right)$$ $$= \sqrt 3 \sin 2 x - \cos 2 x = 2 \left( \frac { \sqrt 3 } { 2 } \sin 2 x - \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x \right)$$ 第9页，共17页 =2 sin2rcos -cos2xsin 6/, 即=2- 最小正周期为T=2 2 =兀， 当xe0时，2x-5π 2] 66’6 当2x-名君时，即=0时心)取得最小值， ∴.f(x)mn=f(0)=-1. 2))32x④2. f40=2a24--2,同m24-周}-1， 6) 24君号2加(ke列，解得：4音ae2. 又：A∈(0m),故A=亚 3 SMABC=3, csm4cm号5 .bc=4, b+c=5, 由余弦定理得：d2=bB+c2-2 bccos4=b+c)2-2bc1+cos 3 故a=√13 16在半面直角坐标系0，中，已知桃圆C号若=a>6>0的图聚经过点 且椭圆C的右焦点F 的坐标为1,0). (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点F作倾斜角为亏的直线和椭圆C交于4B两点，求O4,O8的值。 【答案】)+ -=1: 43 (2)27 5 第10页，共17页 【分析】(1)已知焦点坐标，根据椭圆的定义2a=PF+PF得到的a的值，再根据b2=a2-c2计算b的值， 得到椭圆C的标准方程. (②)根据点斜式写出直线方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，根据韦达定理得到两点坐标之间的关系， 代入两点间距离公式化简即可· 【详解】1依腿意，椭圆的右焦点为PLo),则左焦点为P(10),设P 由箱面的定x可a=p网+--+居-可任-可-4小 所以a=2,可得b=√2-c2=V5, 所以椭圆的方程为：少 431 (2)依题可设过点F的直线方程为x=5y+1, 3 将其与椭圆方程+”-1联立，消元得5y+25v-9=0, 43 设4(，)B(5),则得男+为=2 5 2,2=号(*) 446e)rg-V小6广+g 将(*)代入，得0Ao到=16- 4x128×-9+1x81V273 325359255 17.如图，三棱柱ABC-4BG的所有棱长均为2，且∠4AB= 3 (1)证明：AB⊥AC: (2)若三棱柱ABC-AB,C1的体积为3，求平面ACC与平面ACB,所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 第11页，共17页 (2)10 5 【分析】(1)取AB中点M,连接MC,M4,可证得AB⊥平面AMC,利用线面垂直的性质可证结论： (2)利用体积可得sn∠AMC=1,进而可证AM⊥MC,建立空间直角坐标系，求得平面ACC1的一个法 向量和平面ACB的一个法向量，利用向量法可求得平面ACC与平面ACB,所成角的余弦值， 【详解】(1)取AB中点M,连接MC,M4, 又因为△ABC是等边三角形，所以CM⊥AB, 又因为A4B=否AA=B=2,所以△44B是等边三角形，所以4MLAB, 又因为CM∩AM=M,CM,AMc平面AMC,所以AB⊥平面AMC, 又ACC平面AMC,所以AB⊥AC. (2)由三棱柱ABC-AB,C1的体积为3.可知三棱锥A-ABC的体积为1. 即形--专4can=专分5x作m4ex2-l 解得m∠AMC-1,∠Ac-所以4M1C,又V L AR AMLAR C B 所以以M为原点.以MA方向为x轴，以CM方向为y轴，以M4方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系。 则A1,0,0),4(0,0,V3),C(0,-V5,0,B（-2,0,5), 所以AC=（-1,-V5,0),A4=(-1,0,5), 设平面ACC的法向量为h=（(,,), 则区aC=0,令5=1，得4=1-5， 4A4=-x+V5名=01 第12页，共17页 所以平面AC℃的一个法向量为4=（5，-1,1)， 又4C=(0,-V3,-√5)，4E=(-2,0,0) 设平面ACB的法向量为n=(x,2,3), m4c=-3-B,=0,令=1，得=-15=0， 则 h2·AB=-2x3=0 所以平面ACB,的一个法向量为n,=(0,L,-1), 设平面ACC1与平面A4CB,所成的角为B, 4玛 2 c0S0= V10 网网 V5x√25 即平面4CC:与平面4C8所成角的余弦值为√10 18.已知函数f(x)=e+a2-x(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)若f(x)在R上单调递增，求a的值： (3)若f(x)存在极小值点且f(x)<-1,求的取值范围 【答案】(1)y=(e+1)x-1 @ (3)(2,+0) 【分析】(1)对函数进行求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点求出方程即可 (2)若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定α的值 (3)分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再解不等式即可. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=e*+x2-x,f'(x)=e+2x-1. 'f(1)=e,f'(1)=e+l, .曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1), 即y=(e+1)x-1. 第13页，共17页 (2)设g(x)=f'(x)=e+2ar-1,则g(x)=e+2a. ①a≥0时，g(x)>0,g(x)在R上单调递增. 当x<0时，g(x)<g(0)=0,f(x)单调递减： 当x>0时，g(x)>g(0)=0,f(x)单调递增，不符合题意。 ②a<0时，令g'(x)=0,得x=ln(-2a), 当x∈（-o,h(-2a)）时，g'(x)<0;当xe(n(-2a),+o)时，g'(x)>0: g(x)在(-o,ln(-2a)上单调递减，在(n(-2a,+∞)上单调递增， 故g(x)mn=g(ln(-2a)=-2a+2an(-2a）-1. 设p(x)=x-xnx-1,则p'(x)=-hx, 当xe(0,1)时，p'(x)>0,此时p(x)单调递增， 当x∈(1，+o)时，p'(x)<0,此时p(x)单调递减，则p(x)mx=p(1)=0. 当且仅当-2a=1时，即a=时g()=了()20J(心)在R上单调通增， 综上，a=号 (3)由(2)知，当a≥0时，f(x)存在极小值点=0且f(x)=1,不符合题意 当a=2时，四在R上单调递增，寸()不存在极小值点，不符合题意 当a<0且a*支时，8)<0， 又当x→+0时，8(x)→+0；当x→-0时，8(x)→+0. 1 当ac20时，此时血(-2a<0,且g(am=8血(-2a)k0, 结合(2)中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点x1,x2使得8(x)=0, 且x1∈(-w,ln(-2a),x3∈(ln(-2a),+m）, 又因为8()=0,8(0)=0，则名=5，x3=0, 当x∈(-o,)时，f'(x)=g(x)>0,当x∈(，n(-2a)时，f'(x)=g(x)<0, 第14页，共17页 则此时为极大值点，显然不合题意，舍去， 当ae（-m,时，此时n-2a）>0,且g6a=8a-2a小k0, 结合(2)中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点：，x4使得g(x)=0, 且x3∈(-o,n(-2a),x4∈Gn(-2a),+o) 结合8()=0,8(0)=0，则x3=0,x4=x0, 当x∈(-m,0)时，f'(x)=g(x)>0,当x∈(0n(-2a)时，f'(x)=g(x)<0, 当x∈（血(-2a),x)时，f'(x)=g(x)<0,当xe(,+m)时，f'(x)=g(x)>0, 0为极大值点，为极小值点，符合题意， 而f(xo)=eo+ax6-xo: 又“g(x)=0,e0+2ax。-1=0,a=150 20 =e128-8-w0 2 令f()<-1,得(x-2)e0+x0-2>0, 当x-2>0时，原式化简得e+1>0,显然恒成立，则xo>2. 当-2=0时，原式化简得0>0，显然不成立，无解， 当xo-2<0时，原式化简得eo+1<0,显然不成立，无解， 综上，x的取值范围是(2，+0) 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制： 满十六进一，就是十六进制等.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一 串数字符号连写在一起的形式aa-1…44,其中4,4-1，…，4∈{0,12，…，k-1},且4≠0， a,a1…4a=a"+a.1k1++ak+4,如22ao)=2×32+1×3+1,所以220在三进制下可写为211g: 如8810)=3×52+2×5+3，所以8810)在五进制下可写为3235)： (1)将五进制数2115转化成三进制数 ②对于任意两个不同的a+1位二进制数aa44,6b0e,&=么=1，记X-空A- ①若=3，求随机变量X的分布列与数学期望； 第15页，共17页 ®证明：)号 【答案】(1)2002 Q0分布列见解析，8()-子；②正明见解析 【分析】(1)将五进制数转化为十进制数，将十进制数转化为三进制数可得结果， (2)①求出n=3时，n+1位的二进制数的个数，确定X的所有可能取值，求出相应取值的概率，得到分 布列和数学期望； ②求出+1位的二进制数的个数，确定X的所有可能取值，求出相应取值的概率，得到分布列和数学期望， 即可证明结论 【详解】(1)由题意得，将五进制数2115转化为十进制数为2115=2×52+1×5+1=56， 56=2×32+0×32+0×3+2,56=2002g), 五进制数2115转化成三进制数为20023) (2)①若n=3,则n+1位的二进制数有10002,11112,11002,10102,10012,10112,11012,11102， 共8个，从8个数中任选2个，共有C=28种情况， “X=∑a-,X的所有可能取值为1,2,3 当X=1时，若选择10002，可以从10012,10102,11002中任选1个，共有3种情况， 若选择11112，可以从10112,11012,11102中任选1个，共有3种情况， 若选择11002，可以从11012,11102中任选1个，共有2种情况， 若选择10102，可以从11102,10112中任选1个，共有2种情况， 若选择10012，可以从11012,10112中任选1个，共有2种情况， 共有3+32+22=12种情流，政P(x-)品号 当X=3时，10002和11112,11002和10112,10102和11012,10012和11102，满足要求，共有4种情 况数Px=引名- P(K=2)=1-31-3 77-7 随机变量X的分布列为 第16页，共17页 B(K)=1x3+2 3 1_12 7 3 77 ②rn+1位二进制数a,0-1…4%2的a=1, 根据二进制数中0的个数可得，n+1位二进制数一共有C+Cn+C+…+C=2”个， a-1+a-2+…+4+4≤n,∴.X的可能取值为l,2,3,…,n. 当X=m(m=1,2,3,,)时，二进制数4.4…4g,b.b-1b2有m位取值不同，有n+1-m位取值相 同， 除去a=bn=1,从剩余的n位中选择L位，二进制数aa1…4a2,bb-1…b2在这m位上数字不同， 其余n-m位，两者均在同一位置数字相同， 由于X-立4-小，故英有A科情况， CW·2 C·2 P(X=m)=- A C-（m=1,23,0 2"-1 随机变量X的分布列为 X 1 2 之 C C2 c C 2"-1 2"-1 2”-1 2"-1 .mcm= n.n! (n-1)1 mn-m!(m-1)(n-1)-m-1) =nC(eN,l≤m≤m, Cn+2x B(X)=1×2 C十+ C= x22-lC+20+3C++mc) 1 2”-1 2”c2+c+c2t+c)=2>2产- > 2”-12”2 E()>号 第17页，共17页■ 2026届合肥八中保温卷 数学 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准 考证号填写清楚。 客观题答题，必须使用2B铅笔填 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 涂，修改时用橡皮擦干净。 必须在题号对应的答题区域内作 正确填涂 缺考标记 答，超出答题区域书写无效。 选择题(18为单选题，911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚囚■ ■ ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 6I ■ 口 ■