8.1.1 变量的相关关系 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦成对数据的统计相关性，核心知识点包括相关关系的概念、散点图的特征及正/负相关、线性/非线性相关的判断。课堂导入从函数关系的确定性对比现实变量关系的不确定性，通过体重与身高、广告支出与销售收入等实例引出相关关系，再以年龄与脂肪含量数据过渡到散点图，构建从概念到直观工具的学习支架。 其亮点在于以现实情境为载体，引导学生用数学眼光观察变量关系，通过子女身高与父亲身高、施化肥量与水稻产量等实例培养抽象能力和几何直观。借助散点图绘制与分析，让学生用数学思维推理变量关联，发展推理意识，结合例题和练习提升数据观念与应用意识。这种教学方法帮助学生构建统计思维，教师可通过实例和图表优化教学，学生能增强实际应用能力。

成对数据的统计相关性的课件 1、了解相关关系的概念 2、结合实例，理解散点图的图象特征 学习目标 重点难点分别是什么？ 重点是构建的过程，理解其意义，应用。 新课导入 如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y.然而，现实中还存在这样的情况：两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值. 那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢？下面我们来研究这个问题. 探究一 变量间的相关关系 新课学习 拓展：相关关系和函数关系的区别和联系 函数关系 相关关系 相同点 不同点 两个变量间的关系 确定性关系 不确定性关系 因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 新课学习 探究思考：在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示，表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据.根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 新课学习 为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图所示的统计图. 我们把这样的统计图叫做散点图. 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 散点图的应用 三 例3 散点图如下： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上述数据制成散点图； 12 (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？ 从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近， 因此施化肥量和水稻产量近似呈线性相关关系， 但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加. 13 思维升华 1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论. 2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现. 训练3 (多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是 A.沸点与海拔高度呈正相关 B.沸点与气压呈正相关 C.沸点与海拔高度呈负相关 D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 √ √ √ 15 由题中上图知气压随海拔高度的增加而减小，由题中下图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关， 由于两个散点图中的点都成线性分布， 所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强， 故B，C，D正确，A错误. 新课学习 正相关、负相关的概念 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关. 由上图，能够推断脂肪含量与年龄这两个变量正相关. 新课学习 思考一下：两个变量负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？ 两个变量负相关时，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 思考一下：举出两个变量正相关和负相关的例子？ 两个变量正相关的例子：一个学生的学习成绩与其日学习时间之间的关系. 两个变量负相关的例子：视力与用眼时间之间的关系. 一般地， 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 1.线性相关 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 2.非线性相关 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 某公司的利润y(单位：千万元）与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表对应数据： (1)画出散点图； (2)判断y与x是否具有线性相关关系. x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 解：(1)散点图如右图所示： (2)由图可知，所有数据点接近直线排列， 因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关. 新课讲授 学习目标 课堂总结 y 10 15 17 20 25 28 32 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 . 例题 . . 练一练 √ . 练一练 √ 3.如图，有6组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的5组数据的线性相关性最大 √ 根据散点图知去掉C后，剩下的五组数据的线性相关性最大. A.A B.B C.C D.D 2 3 4 1 25 4.以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的大小x的数据： 物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系. 物品大小/m2 11.5 110 80 135 105 销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 则根据数据可以判断x，y________相关关系(填“有”或“无”). 有 2 3 4 1 26 一个人的体重与他的身高有关系.一般而言，个子高的人往往体重值较大， 个子矮的人往往体重值较小.但身高并不是决定体重的唯一因素， 例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素. 像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度， 这种关系称为相关关系. 现实中还有哪些变量具有相关关系？请举例说明. 1.子女身高y与父亲身高x之间的关系.一般来说，父亲的个子高，其子女的个子也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮.但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高. 2.商品销售收入y与广告支出x之间的关系.一般来说，广告支出越多， 商品销售收入越高.但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素， 商品销售收入还与商品质量、居民收入等因素有关. 3.空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系. 一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升. 但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、 工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素. 4.粮食亩产量y与施肥量x之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高. 但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、 田间管理水平等因素的影响. 因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定， 所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系.因此，在研究两个变量之间的相关关系时， 我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息， 并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断. 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示. 年龄x（岁） 1 2 3 4 5 6 身高y（cm） 78 87 98 108 115 120 （1）画出散点图； （2）判断y与x是否具有线性相关关系. （1）散点图如图所示： （2）由图知，所有样本点接近一条直线排列， 因此，认为y与x具有线性相关关系. 1.对两个变量x,y的几组观测数据统计如下表，则这两个变量的相关关系是( ) x 10 9 8 7 6 5 y 2 3 3.5 4 4.8 5 A.负相关 B.正相关 C.先正后负相关 D.先负后正相关 根据给定数据得这两个相关变量的关系是负相关.故选A. 2.下面的变量之间具有相关关系的是( ) A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.实心铁块的大小与质量 出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误； 房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误； 人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故C正确； 实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D错误.故选C. $