精品解析：河北保定市博野中学2025-2026学年下学期高一年级创新班3月月考数学试题

高一年级创新班 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第二册第八章和选择性必修第一册第一章至第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 2. 点与点是直线上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以， 故选：A． 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法分析运算. 【详解】在直观图中，， 可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为， 则另一边长为，所以原图形的周长为． 故选：A. 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 5. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算. 【详解】在长方体中，以为基底， 则， 所以. 故选：A. 6. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 7. 如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由MN//平面可得点N的轨迹为线段DE，据此即可得解. 【详解】如图， 取的中点D，的中点E，连接MD，DE，ME， 由，， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面 所以平面平面，又平面， 故点N的轨迹为线段DE，又由，可得． 故选：B． 8. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知找到侧棱与底面所成的角，依据正切值为2算出高的大小，然后求出斜高，从而可以求出侧面与底面的二面角正弦值. 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面. 即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角， 设底面边长为，则， 因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，即， 又因为，所以. 所以， 所以，即该四棱锥侧面与底面所成角正弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面，面面位置判定方法逐一判断即可得. 【详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，则，又，故，故B正确； 对C：若，，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误； 对D：若，，则，又，则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知直线，动直线，则下列结论正确的有（ ） A. 存在实数，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点 C. 对任意的与都不重合 D. 存在实数，使得与垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，说明两直线有公共点即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，由说明两直线垂直即可. 【详解】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，故A正确； 对于B，直线为，所以直线过定点， 又直线过点，所以两直线总有公共点，故B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，故C错误； 对于D，由于，解得，故当时两直线垂直，故D正确． 故选：AD. 11. 如图，已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 D. 当时，直线与直线垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，证明平面，即可得到结论；对B，由题可得点到底面距离为，求出外接圆半径，找准球心位置，列式再求出半径即可；对C，建立空间直角坐标系，转化为向量求解距离最小值问题；对D，当时，点为的中点，求出与对应向量的坐标，利用向量法验证. 【详解】对于A，因为，所以点在平面内， 因为底面为菱形，所以， 又因为直棱柱，所以平面，平面，所以， 又因为平面平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，当时，则，故点到底面距离为， 因为，，所以，所以的外接圆半径为， 设外接球半径为，球心到平面的距离为，的外接圆的圆心为， 作平面，为垂足，则在上， 由可得，故， 所以， 如图1，可得，，， 即，又， 两式联立得，，故外接球表面积为，故B正确； 对于C，当时，则三点共线，即点在线段上， 如图2建立空间直角坐标系，则，，， ，，， 则， 故，则， 又，得， ， 故， 当且仅当时，，故C正确； 对于D，当时，点为的中点， 则，，，， 因为，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合根与系数的关系可得，从而可求得的值. 【详解】因为，而且斜率存在， 所以， 又，是关于的方程的两根， 所以，解得． 故答案为： 13. 已知向量若共面，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件，根据空间向量基本定理即可列方程组求解。 【详解】因为共面，所以存在实数，使得， 即， 即，解得． 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.则EF＋FG＋GC＋CH＋HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解． 【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH； 则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG． ∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝， ∴AN＝，∴， ∴，，； 同理，，，； ∴平面CEF截正方体所得截面的周长为： EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】（1）体积为； （2）预计花费6123元． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆台体积公式计算得解. （2）求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得. 【小问1详解】 圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定，构造平行四边形证明线线平行，即可证线面平行； （2）根据面面垂直的性质得线面垂直，再根据线面垂直得线线垂直，结合（1）中结论，即可证明. 【小问1详解】 证明：因为在四棱锥中，分别为的中点. 取的中点，连接， 所以，且， 因为四边形是矩形，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 证明：平面平面，， 又在矩形中，，且面， 面， 面， 由（1）得， . 17. 已知直线经过点． （1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程； （2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （3）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时的直线的方程，其中． 【答案】（1）或 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先可以假设直线的斜率不存在，然后根据点得出直线方程，再然后假设直线斜率存在并设出直线方程，最后根据原点到直线的距离为2即可得出结果； （2）设直线与直线和分别相交于两点，设，根据点为线段的中点，求得代入直线，进而求得，即得点的坐标，得解； （3）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为，求出的坐标，进而表示出，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为2，则有，解得， 则直线的方程为：. 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 设直线与直线和分别相交于两点， 设，因为点为线段的中点，则， 因为点在直线上， 则，解得，则， 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 则此时直线的方程为：. 18. 如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合中点，可得线线垂直，进而可得平面，进而根据面面垂直的判定求解， （2）根据面面角的定义可得为平面与平面所成的角，即可根据锐角三角函数求解棱柱的高，由体积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：连接,则与相交于， 由于三棱柱为正三棱柱， 故为等边三角形， 故,, 结合是与的中点，所以, 又与相交于，且平面， 故平面， 平面，故平面平面， 【小问2详解】 延长与延长线交于点,连接, 则平面与平面相交于直线， 由于是的中点，故,即是的中点， 因此,故， 又平面，平面， 故, 平面， 故平面，平面， 故，又，因此为平面与平面所成的角， ,故， 因此, 故三棱柱的体积为 19. 如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，由直线方向向量与平面法向量垂直即可求证； （2）求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 因为平面，四边形为正方形，所以两两垂直， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以平面， 则，，，，，，，， 设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 ， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即， 所以当点为线段的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级创新班 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第二册第八章和选择性必修第一册第一章至第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 点与点是直线上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. D. 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱柱中，M为A1C1中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个正四棱锥侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知直线，动直线，则下列结论正确的有（ ） A. 存在实数，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点 C. 对任意的与都不重合 D. 存在实数，使得与垂直 11. 如图，已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 D. 当时，直线与直线垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______． 13. 已知向量若共面，则____________ 14. 已知正方体棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：. 17. 已知直线经过点． （1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程； （2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （3）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时的直线的方程，其中． 18. 如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 19. 如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $