精品解析：辽宁省名校联盟2026届高三下学期5月考前模拟考试数学试题

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由抛物线性质得是一个抛物线开口向左的抛物线， 且，所以，所以焦点坐标为. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 32 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，所以虚部为32. 3. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 4. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 5. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【详解】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响， 由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B项满足. 6. 中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】设至少需要小时，则有 . 所以至少需要经过小时才能合法驾驶. 7. 已知正四面体的棱长为，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，利用向量模的计算公式即可求解. 【详解】 如图所示，已知正四面体的棱长为， 则且， 所以，同理， ， 则，故C正确. 8. 已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对一切恒成立，需要分别分析和的正负性，通过对的范围进行讨论，结合函数的性质确定的取值范围. 【详解】， 当，， ，，不符； 当，对于，， 单调递增， 当，，，，， 此时，不符； 当，对于，， 令，， 令，，单调递增， 令，，单调递减， 所以， 的最小值为， 易知，若存在两个零点，则两个零点互为相反数， 而与图像的存在两个交点时，交点横坐标都为正数， 即函数不存在互为相反数的零点， 所以与的变号零点不可能完全相同， 故要使对一切恒成立， ，，则， 解得. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，又，则，所以，A项正确； 又因，则，进而， 所以，B项正确； ，C项正确； ，D项错误. 10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 椭圆的离心率为，则的范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D. 【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 11. 已知函数且，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数的值域为 D. 函数在单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A直接由判断可得；对B直接验证可得；对C先判断函数在一个周期上的值域，再由周期性可得整个定义域上的值域；对D直接用导数判断函数的单调性可得. 【详解】对于A，因为， 所以是函数的一个周期，且，因此A项错误； 对于B，， 所以函数关于点成中心对称，B项正确； 对于C，， 所以是函数的一个周期. 又因为， 当，当， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以， ， 所以时，的值域为， 又由上述分析可知是函数的一个周期，所以函数的值域为，故C项正确； 对于D，因为， 所以在恒成立， 所以函数在单调递增，D项正确.. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件推导出为等差数列，进而求出. 【详解】根据数列前项和的性质，对任意， 有​，代入得：  ，因为，故， 由可得：， 若存在使得，则， 依此类推可得，与矛盾， 故对任意都有， 等式两边同除以，整理可得：  ，因此是以首项为，公差为的等差数列， 由等差数列通项公式可得：，  因此. 13. 已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥与球的轴截面图形关系，再结合切线长定理及余弦定理可得. 【详解】设圆锥的高为，因为球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，所以圆锥的高.如图： 在圆锥轴截面中，，圆锥的底面半径，. 在直角三角形中，由勾股定理，得， 所以圆锥母线长， 又在直角三角形中，， 由勾股定理，，，， 解得（舍去）. 因此，圆锥体积. 14. 已知函数，若函数的对称中心横坐标不小于，则函数的个数为_________. 【答案】22 【解析】 【分析】先利用导数求出的对称中心的横坐标为，从而得，分、和，求出对应的的值，即可得答案. 【详解】因为 所以，， 令，得， 所以的对称中心为， 所以的对称中心横坐标为，即， 则时：可取中的任意一个数，共8种情况； 可取6,7,8,9,10中的任意一个数，共5种情况； 可取9，10中的一个数，共2种情况； 综上共有15种； 时：可取6,7,8,910中的任意一个数，共5种情况； 时：可取9，10中的一个数，共2种情况. 综上，共有22个不同的. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先求出甲被录用的概率，再利用对立事件即可求解； （2）首先说明服从二项分布，进而可得分布列和期望. 【小问1详解】 设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. 【小问2详解】 由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 16. 如图，在平面四边形中，. （1）若的面积为，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【小问1详解】 ，即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. 【小问2详解】 若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 17. 如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 【答案】（1）连接，并分别取中点，，连接. 四棱台， 又 ， 四边形为菱形 ，平面， 所以平面，又面，所以. 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，并分别取中点，，易得，进而得平面，故，再根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据题意易证平面，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，结合条件求得，利用向量法求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1） 四边形 为平行四边形， 所以，又平面，所以平面. 又 ， 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，， 则有. 设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 又平面的一个法向量为， 由已知可得， 所以，得，所以， 又， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点. （i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）存在，直线的方程为；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，可知一定在椭圆上，进一步判断点也在椭圆上，即可求出椭圆方程； （2）（i）假设四边形为平行四边形，设直线方程，联立方程组，根据平行四边形对角线互相平方建立中点等量关系，根据方程是否有解判断是否存在即可；（ii）求出直线方程，联立方程组，分别求出到直线的距离，再根据弦长公式求出，表示出面积，最后求出面积的取值范围. 【小问1详解】 因为关于轴对称，所以必在上，又， 所以不在上，所以在上，则，所以， 因此的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知，假设四边形为平行四边形，设直线的方程为， 设， 将直线方程代入椭圆方程，化简整理得， 所以，， 所以， 所以中点坐标为， 若四边形为平行四边形，则与互相平分，所以为中点， 则，，所以点的坐标为， 代入，化简整理得，即， 解得或（舍）， 所以，因此，存在四边形为平行四边形， 此时直线的方程为； （ii）由点的坐标为，所以直线的方程为，代入双曲线方程， 化简整理得，则，所以， 即，又点关于原点对称，则， 因为点到直线的距离， 点到直线的距离， 因为， 代入，化简得， 因为，所以，因此， 由弦长公式可得， 所以四边形面积，代入， 化简整理得，因为， 所以. 19. 已知函数. （1）证明：当时，； （2）若恒对一切成立，求实数的取值范围； （3）已知数列满足：，数列满足：，试比较与的大小. 【答案】（1）由题意，当时，证明， 设，则， 则在递增，所以，即， 设，则， 令，， 所以在递增，则， 所以在递增，则，即， 所以时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别将不等式转化为和，利用导数研究函数单调性即可作出证明； （2）利用导数研究函数单调性，根据恒成立的已知条件，对参数分类讨论，即可求出的取值范围； （3）将问题转化为（1）（2）不等式的结构形式，利用结论即可得出证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设， 则， ①当时，，所以在递增，所以； ②当时，， 设，则， 1）当时，即时，，则在递增， 所以，则，所以在递增，所以； 2）当时，令，则，所以， 则，其中，， 所以在递减，所以， 所以，所以在递减， 所以时，，不合题意， 综上，， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 设，则， 所以，因为，所以，所以， 由（2）知当时，，即， 由（1）（2）知，所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 32 D. 3. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 6. 中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 已知正四面体的棱长为，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 椭圆的离心率为，则的范围为 D. 11. 已知函数且，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数的值域为 D. 函数在单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，则_________. 13. 已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________. 14. 已知函数，若函数的对称中心横坐标不小于，则函数的个数为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 16. 如图，在平面四边形中，. （1）若的面积为，求； （2）若，求. 17. 如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为为中点，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. （1）求的方程； （2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点. （i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ii）求四边形面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：当时，； （2）若恒对一切成立，求实数的取值范围； （3）已知数列满足：，数列满足：，试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $