精品解析：福建省长乐第一中学2025-2026学年第二学期第二次适应性练习 八年级数学

长乐一中2025—2026学年第二学期第二次适应性练习 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核，每项的满分均为100分，最后将三项得分按的比例确定考核的最终得分，小周经过考核后三项所得的分数依次为90，80，95分，则小周考核的最终得分是（ ） A. 85 B. 87 C. 89 D. 91 4. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 16 6. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知正比例函数的图象上任意两点，，都有，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 12. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则________． 13. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是___________． 14. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 16. 在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，点是斜边的中点，，交于点O，且．求证：四边形是菱形． 19. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； 21. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 22. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 23. 某学校为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间与绿化部门申请组织八年级学生进行“绿色生态，植树造林”活动．该学校经调研决定购买，两种树苗共棵，其中种树苗每棵元，种树苗每棵元．设学校购买种树苗棵，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若种树苗的数量不超过种树苗的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 24. 如图1，菱形中，点E、F分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）如图2，若H为上一点，连接、，使，求证：． 25. 如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，，若面积等于面积的，求t的值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐一中2025—2026学年第二学期第二次适应性练习 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求出即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等，是基础题． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、=，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 3. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核，每项的满分均为100分，最后将三项得分按的比例确定考核的最终得分，小周经过考核后三项所得的分数依次为90，80，95分，则小周考核的最终得分是（ ） A. 85 B. 87 C. 89 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分． 【详解】解：小周考核的最终得分是（分）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． 4. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：∵一次函数上下平移遵循“上加下减”规则，图像向下平移n个单位，在原函数表达式的右侧减去n． ∴将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为． 5. 如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据，以及，即可得到的值． 【详解】解：∵，，，，分别表示三个正方形的面积， ∴，， ∵∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形内角的计算及三角形内角和定理，正确理解正多边形的内角计算公式是解题的关键． 根据正多边形的内角计算公式和多边形的外角知识，推出，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示： 正五边形的每一个内角都等于， ， 正六边形的每一个内角都等于， ， ． 故选：D． 7. 在菱形中，对角线，相交于点，，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，利用菱形的性质，求出，得出三角形是直角三角形，再根据含度角的直角三角形的性质，求出. 【详解】解：∵四边形是菱形， ，是对角线，， ∴，， ∴，，，即三角形是直角三角形， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 8. 已知正比例函数的图象上任意两点，，都有，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，判断出随的增大而增大，得到一次函数各部分的符号，再判断图象． 【详解】解：∵， ∴且，或且， ∴且，或且， ∴随的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是根据已知不等式判断出随的增大而增大． 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C， ∵∠BFE+∠BFG＝180°， ∴∠C＝∠BFG＝90°， 又∵BG＝BG， ∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）， ∴FG＝CG， 设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x， 在Rt△DEG中，由勾股定理得， EG2＝DE2+DG2， ∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2， 解得x＝， 即CG＝， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据平均数的定义可得 ， 解得． 12. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 先根据三角形中位线定理可得，再根据矩形的性质即可得． 【详解】解：∵M、N分别为，的中点，且， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：12． 13. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得：． 故答案为：． 14. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数． 【详解】解：当4是直角边时， ∵， ∴， 当4是斜角边时， （不是整数，舍去）， 故答案为：5． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到原点的距离，根据勾股定理即可得出线段长，在由完全平方公式求出最小值即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∴ ∵， ∴， 即线段长的最小值为． 故答案为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，点是斜边的中点，，交于点O，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，进一步推出，可得，再根据，即可判定菱形． 【详解】解：证明：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ，, ， ， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19. 如图，在中，D是边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而得出结论； （2）先求出，再根据勾股定理求出的长，结合题意根据求出结果即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 的长为14． 20. 如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可． （2）根据解析式可求得的坐标为，点的坐标为，由可求得四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵点P是两直线的交点， ∴将点代入， 得 ， 解得， ∴的坐标为， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：． 的解析式为：． 【小问2详解】 解：对于，当时，， 对于，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ∵点， ∴，， ∵， ． 21. 阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：， （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，本题是阅读型，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，， ， ． 22. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 证明：是的角平分线， ， ∵ABCD， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键． 23. 某学校为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间与绿化部门申请组织八年级学生进行“绿色生态，植树造林”活动．该学校经调研决定购买，两种树苗共棵，其中种树苗每棵元，种树苗每棵元．设学校购买种树苗棵，购买总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若种树苗的数量不超过种树苗的倍，请给出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1） （2）最省钱的购买方案是：购买种树苗棵，购买种树苗棵．该方案所需的费用是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据总费用购买种树苗的费用购买种树苗的费用列出关系式即可； （2）根据一次函数的增减性结合的取值范围即可解答. 【小问1详解】 解：学校购买种树苗棵， 购买种书面棵． 根据题意，得 ． 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， （，且为整数）． ， 当时，随的增大而减小， 当时，有最小值， 最小值为， 此时． 答：最省钱的购买方案是：购买种树苗棵，购买种树苗棵．该方案所需的费用是元． 24. 如图1，菱形中，点E、F分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）如图2，若H为上一点，连接、，使，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交延长线于点G，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵点E、F分别为、的中点， ，， ， 在和中， ， （）， ； 【小问2详解】 证明：，， ， 是直角三角形，， ， 延长交延长线于点G， 在菱形中，， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ∵菱形中，， ， ， 即． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理逆定理等；能熟练利用菱形的性质，全等三角形的判定及性质进行求证是解题的关键． 25. 如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，，若面积等于面积的，求t的值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）10或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或； （3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图： ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． 【小问3详解】 如图，过点作点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得，， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $