5.3 平面向量的数量积 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积”专题，依据高考评价体系梳理了数量积运算、模与夹角、垂直投影、最值问题及三角形四心五大核心考点，通过近五年真题分析明确数量积运算占45%、模与夹角占30%的高频分布，归纳坐标运算、性质应用等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如2024新课标Ⅱ卷模的计算采用“平方求解法”，2025天津卷三角形四心问题结合几何意义，培养数学思维与数学语言表达能力。设“易错警示”和“提分模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可精准定位复习重点实现高效备考。

第五章 平面向量与复数 第三讲　平面向量的数量积 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[32] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　向量的夹角 a与b的夹角为______时，则a与b垂直，记作a⊥b. [0，π] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 知识点二　平面向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. |a||b|cos θ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 投影 投影向量 |a|cos θe 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 知识点三　平面向量数量积的性质及其坐标表示 1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝______________. x1x2＋y1y2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 (5)已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________；a∥b⇔a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)． x1x2＋y1y2＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 归 纳 拓 展 1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0. 2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． 3．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 5．投影向量的表示： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (2)|a·b|＝|a|·|b|.(　　) (3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 题组二　走进教材 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．12 B．4 C．3 D．1 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 4．(必修2P36T2改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a上的投影向量为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 题组三　走向考场 5．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 考点突破 · 互动探究 返回导航 平面向量数量积的运算——师生共研 A．4 B．5 C．6 D．8 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．10 B．13 C．18 D．26 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：计算平面向量数量积的主要方法 1．利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3．利用基底法求数量积． 4．灵活运用平面向量数量积的几何意义． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【变式训练】 A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 向量的模、夹角——多维探究 角度1　向量的模 (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：平面向量的模的解题方法 2．若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．” 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 角度2　向量的夹角 (2026·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：求两向量夹角的方法及注意事项 2．注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 角度3　平面向量的垂直 (2023·新课标Ⅰ卷，3,5分)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 　 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 [答案]　D [解析]　由题意得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即a2＋(λ＋μ)a·b＋λμb2＝0，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0，∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1，故选D. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 角度4　向量的投影 (2025·安徽江淮十校模拟)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：求两向量夹角的方法及注意事项 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．45° B．135° C．60° D．120° [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 向量中的最值(范围)问题——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：求向量模的最值(范围)的方法，通常有： 1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解； 2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 【变式训练】 A．[4,5] B．[5,7] C．[4,6] D．[5,8] [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 三角形的四“心” 3．外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 类型一　平面向量与三角形的“重心”问题 A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 类型二　平面向量与三角形的“外心”问题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 类型三　平面向量与三角形的“垂心”问题 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 类型四　平面向量与三角形的“内心”问题 A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 提能训练　练案[32] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 2．(2025·全国模拟)已知向量a，b满足a＝(2,1)，b＝(－2，m)，若a·b＝－5，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案]　B [解析]　因为a·b＝－5，所以a·b＝2×(－2)＋m＝－5，解得m＝ －1，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 3．(2026·四川达州模拟)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，则|a－2b|＝(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．[6,14] B．[6,12] C．[8,14] D．[8,12] [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 二、多选题 9．(2026·江西模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－4，m)，则(　　) [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 10．(2025·河北保定三模)已知平面向量a＝(－1，－2)，b＝(1， －3)．a与b的夹角为θ，则(　　) A．a∥b B．a⊥(a－b) C．θ＝45° [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 三、填空题 12．(2026·江西新余模拟)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(x,3)的夹角为锐角，则实数x的取值范围是__________________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 13．(2026·广东模拟)已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则 cos〈a＋b，b〉＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　－4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 B组能力提升 1．(2026·陕西延安模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(x，－1)，若a⊥(2a－3b)，则a＋3b＝(　　) A．(8，－2) B．(6，－2) C．(8，－4) D．(6，－4) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 4．(2025·安徽模拟预测)已知非零向量a，b满足|a|＝3|b|，向量a在向量b上的投影向量为2b，若(λa－b)⊥(a＋b)，则实数λ的值为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 C组拓展应用(选作) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 谢谢观看 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，范围是__________. 2．几何意义：设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b________，叫做向量a在向量b上的____________，即＝_____________. (2)模：|a|＝＝__________. (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. (4)夹角：cos θ＝________＝. (6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. (1)a在b上的投影向量为·. (2)a在b上的投影向量的模为. (1)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°.(　　) 2．(必修2P60T8改编)已知向量m＝(2x,1)与向量n＝垂直，则x＝(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　因为m＝(2x,1)与n＝垂直，所以m·n＝(2x,1)·＝x－＝0，即x＝.故选C. 3．(必修2P36T3改编)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为，则(2a＋b)·a等于(　　) [解析]　因为|b|＝2|a|＝2，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＋|a||b|·cos ＝2＋2×1×＝1.故选D. [答案]　－a [解析]　由题可得b在a上的投影向量为＝＝ －a. [答案]　 [解析]　a－b＝(1,1－2x)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝0，则x＋1－2x＝0，解得x＝1.则a＝(1,1)，则|a|＝.故答案为. 6．(2025·天津卷)△ABC中，D为AB边中点，＝，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)，若||＝5，AE⊥CB，则·＝________. [答案]　a＋b　－15 [解析]　如图，因为＝，所以－＝(－)，所以＝＋.因为D为线段AB的中点，所以＝＋＝a＋b；又因为||＝5，AE⊥CB，所以2＝2＝a2＋a·b＋b2＝25，·＝·(a－b)＝a2＋a·b－b2＝0，所以a2＋ 3a·b＝4b2，所以a2＋4a·b＝180，所以·＝·＝a2＋a·b－b2＝(a2＋2a·b－8b2)＝(a2＋2a·b－2a2－6a·b)＝(－a2－4a·b)＝－15.故答案为a＋b，－15. 1．(2026·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则·＝(　　) [解析]　以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形ABCD的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，D(0,2)，可得＝(2,2)，＝(0,2)，点P满足＝(＋)＝(1,2)，所以·＝1×2＋2×2＝6.故选C. 2．(2025·北京西城开学考试)如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则·＝(　　) [解析]　∵N是BC边的中点，可得＝(＋)，∵M是△ABC的外接圆的圆心，∴·＝||||cos∠BAM＝||2＝×42＝8，同理可得·＝||2＝18，∴·＝(＋)·＝·＋ ·＝×8＋×18＝13，故选B. 1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) [解析]　∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，∴a·b＝1，故选C. 2．(2025·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　) A． B． C． D． [解析]　解法一：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即∠BAC＝90°.所以·＝·＝·＝2＋ 2＝，故选A. 解法二：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即⊥，以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，E，F，所以·＝·＝＋＝，故选A. A． 　 B． C． 　 D．1 [解析]　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B. 1．若向量a是以坐标(x，y)形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝. A． B． C． D． [解析]　因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49.即9－30a·b＋25＝49⇒a·b＝－，设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝. 1．一般是利用夹角公式：cos θ＝. A．b B．－b C．－b D．b [解析]　因为|b|＝2|a|，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝|a|×2|a|×＝|a|2，则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|2－4|a|2＝－2|a|2，所以2a－b在b上的投影向量为×＝×＝－b.故选B. a在b方向上的投影等于|a|cos θ＝；b在a方向上的投影等于 |b|cos θ＝. 1．(角度1)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. [答案]　 [解析]　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. 解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 2．(角度2、3)已知非零向量a，b满足|b|＝|a|且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) [解析]　根据题意，设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋2b)，|b|＝|a|，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2.则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.故选B. 3．(角度3、4)已知非零向量a，b满足b＝(，1)，〈a，b〉＝，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为________. [答案]　 [解析]　由已知可得，|b|＝＝2.因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos ＝|a|2－|a|＝0，解得|a|＝1或|a|＝0(舍去)，所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cos ·＝b，坐标为. (2026·北京部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为6，∠BAD＝，且＝2.若F为线段DE上的动点，且＝λ＋，则实数λ的值为________；||的最小值为________. [答案]　　 [解析]　＝λ＋＝λ(＋)＋＝λ＋，由D，F，E三点共线，得λ＋－λ＝1，解得λ＝.过点A作AG⊥BC于点G，以G为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(－a,0)，a>0，则A(0，a)，已知▱ABCD的面积为6，则|BC|＝，故C，D，则＝(－a，－a)，＝，所以＝＋＝. 则|AF|2＝2＋a2＝＋a2－5≥2－5＝5，当且仅当＝a2，即a＝时取“＝”，所以||的最小值为. (2025·江西联考)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围是(　　) [解析]　由题意可得，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1，当OM与正六边形的边垂直时，||min＝，当点M运动到正六边形的顶点时，||max＝2，所以||∈[，2]，则||2∈[6,8]，即·＝(||2－1)∈[5,7]．故选B. 1．重心：三角形的三条中线的交点；O是△ABC的重心⇔＋＋＝0； 2．垂心：三角形的三条高线的交点；O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·； O是△ABC的外心⇔||＝||＝||(或2＝2＝2)； 4．内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是△ABC的内心⇔·＝·＝·＝0. 注意：向量λ(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)． 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) [解析]　取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C. 设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·，且2＝2－2·，则点P是△ABC的(　　) [解析]　由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.由2＝2－2·，得(＋)·(－)＝－2·，即(＋－2)·＝0.设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，则2·＝0，故·＝0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．故选A. 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) [解析]　因为＝＋λ， 所以＝－＝λ， 所以·＝·λ ＝λ(－||＋||)＝0， 所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选B. 在△ABC中，||＝3，||＝2，＝＋，则直线AD通过△ABC的(　　) [解析]　∵||＝3，||＝2，∴||＝||＝.设＝，＝ ，则||＝||.∵＝＋＝＋，∴AD平分∠EAF， ∴AD平分∠BAC，∴直线AD通过△ABC的内心． 1．(2025·江苏连云港模拟预测)已知AD为△ABC的高，且AD＝，则·＝(　　) A．－2 B．2 C．2 D．－2 [解析]　因为AD为△ABC的高，所以·＝0，·＝(＋)·＝·＋·＝·－2＝0－()2＝－2，故选A. A． B．2 C．2 D．4 [解析]　因为(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4|a||b|cos 120°＋4|b|2＝12，所以|a－2b|＝2，故选C. 4．(2026·全国模拟)已知a＝(1，)，|b|＝2，若a⊥(a－2b)，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． [解析]　解法一：由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，而|a|＝＝2，故4－2×2×2cos〈a，b〉＝0，得cos〈a，b〉＝，而〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝. 解法二：如图，设＝a，＝＝b，则＝a－2b，因为a与a－2b垂直，故CA⊥OA，而||＝|a|＝2，故||＝2||＝4，故cos∠AOC＝，即a，b的夹角为.故选C. 5．(2026·贵州贵阳模拟)已知向量a和b满足a＝(1,3)，b＝，则向量a－b在向量a上的投影向量为(　　) A．a B．－a C．a D．－a [解析]　a＝(1,3)，b＝，则向量a－b＝，则a－b在a的投影向量为＝a＝a，故选A. 6．(2026·甘肃酒泉模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝EF，则·的值为(　　) A． B． C．－ D． [解析]　如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，由题意可得E(0,0)，B，C，A，则D，＝，＝(1,0)，设F(x，y)，由DE＝EF得，＝3，所以(x，y)＝3＝，所以F，所以＝，所以·＝×1＋×0＝.故选A. 7．(2026·河南新乡模拟)在△AOB中，记＝a，＝b，向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·(a－b)＝8，则此三角形AOB的面积是(　　) A． B． C． D． [解析]　∵在△AOB中，＝a、＝b，∵a·(a－b)＝a2－a·b＝|a|2－a·b＝8，又|a|＝3，|b|＝2，解得a·b＝1，进而由向量夹角公式得cos〈a，b〉＝＝，于是sin〈a，b〉＝＝，S△AOB＝ |a|·|b|sin〈a，b〉＝，故选A. 8．(2025·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2.设C(3,4)，则|2＋|的取值范围是(　　) [解析]　因为|OA|＝|OB|＝，||＝2，由＝－平方可得，·＝0，所以〈，〉＝.2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5，所以，|2＋|2＝＋2＋42－4(＋)·＝2＋2＋4×25－4(＋)·＝104－4(＋)·，又|(＋)·|≤|＋|||＝5×＝10，即－10≤ (＋)·≤10，所以|2＋|2∈[64,144]，即|2＋|∈[8,12]，故选D. A．若a⊥b，则m＝ B．若m＝1，则|a－b|＝2 C．若(a＋b)∥b，则m＝6 D．若m＝2，则a在b方向上的投影向量的坐标为 [解析]　由a⊥b，可得a·b＝－8＋3m＝0，解得m＝，故A正确；当m＝1时，a－b＝(6,2)，故|a－b|＝＝2，故B错误；a＋b＝(－2,3＋m)，由(a＋b)∥b，可得m＝6＋2m，解得m＝－6，故C错误；当m＝2时，b＝(－4,2)，此时a在b方向上的投影向量的坐标为·＝×(－4,2)＝，故D正确．故选AD. D．b在a上的投影向量为 [解析]　因为≠，即不存在实数λ使a＝λb，所以a与b不共线，故A不正确；a－b＝(－1，－2)－(1，－3)＝(－2,1)，a·(a－b)＝－1× (－2)＋(－2)×1＝0，所以a⊥(a－b)，故B正确；因为cos θ＝＝＝，θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；b在a上的投影向量为·a＝(－1，－2)＝(－1，－2)．故D不正确．故选BC. 11．(2026·吉林模拟)已知向量a＝(cos θ，)，b＝(1，sin θ)，若|a＋b|＝|a－b|，则θ可能为(　　) A．－ B． C． D． [解析]　∵|a＋b|＝|a－b|，以a，b为临边的平行四边形对角线相等，∴a⊥b，∴a·b＝cos θ＋sin θ＝2＝2sin＝0，∴θ＝－＋kπ，k∈Z，k＝0,1,2时，θ＝－，，，故选ACD. [答案]　∪ [解析]　由题可得a·b>0且a，b不共线，则⇒x>－6且x≠.故答案为∪. [答案]　 [解析]　如图，设＝a，＝b，作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b，因为|a＋b|＝|a－b|，即||＝||，所以平行四边形OACB为矩形．又||＝2|b|＝2||，所以∠BOC＝.所以cos〈a＋b，b〉＝cos ＝. 14．(2025·四川广安二模)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，＝3，P在CD上，＝＋λ，则·＝________. [解析]　因为＝＋λ，P，C，D三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，因为＝3，所以＝，则＝＋＝＋ ，＝－，所以·＝·(－)＝2－2＋·＝3－8＋×4×3×＝－4. [解析]　由a＝(1,1)，b＝(x，－1)可得2a－3b＝(2－3x,5)，因为a⊥(2a－3b)，所以a·(2a－3b)＝0，即(2－3x,5)·(1,1)＝2－3x＋5＝0，解得x＝，则b＝，则a＋3b＝(8，－2)．故选A. 2．(2025·山西大同统测)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为，则cos〈b，c〉＝(　　) A．－ B． C． D．－ [解析]　因为c＝－a－b，a·b＝2××＝3，所以b·c＝b·(－a－b)＝－a·b－b2＝－3－3＝－6，因为c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋6＋3＝13，所以|c|＝，cos〈b，c〉＝＝－＝－，故选D. 3．(多选题)(2026·江西景德镇质检)等边△ABC边长为2，＝2，＝，BD与CE交于点F，则(　　) A．＝＋ B．＝ C．·＝－1 D．在方向上的投影向量为 [解析]　由题意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A错误；以E为坐标原点，、分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，) ，D，设F(0，y)，y∈(0，)，所以＝(1，y)，＝，因为∥，所以y－＝－y，解得y＝，所以＝，B正确；由B 可知，＝，＝(0，－)，所以·＝×0＋×(－)＝－2，C错误；＝，＝(1，)，所以·＝×1＋×＝，所以在方向上的投影向量为·＝·＝，D正确．故选BD. A． B． C． D． [解析]　向量a在向量b上的投影向量为b＝2b，得a·b＝2|b|2.由(λa－b)⊥(a＋b)得(λa－b)·(a＋b)＝λ|a|2＋(λ－1)a·b－|b|2＝0，又|a|＝3|b|，则9λ|b|2＋2(λ－1)|b|2－|b|2＝0，因为b是非零向量，故9λ＋2(λ－1)－1＝0，解得λ＝.故选C. 5．(2025·山东德州期中)已知正三角形ABC的边长为2，O为BC中点，P为边BC上任意一点，则·＝________. [解析]　因为三角形ABC是正三角形，O为BC中点，所以AO⊥BC，所以AO⊥OP，又正三角形ABC的边长为2，所以AO＝＝，所以·＝(＋)·＝2＋·＝()2＝3. (2025·湖北宜昌协作体期中)在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，且·＝－，则·的取值范围是(　　) A． B． C．[3－，3＋] D． [解析]　以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以·＝(1－x，－y)·(1－x,2－y)＝(x－1)2＋(y－2)y＝－，所以(x－1)2＋(y－1)2＝，记x－1＝cos θ，y－1＝sin θ，所以x＝cos θ＋1，y＝sin θ＋1，所以·＝·(1,2) ＝cos θ＋1＋sin θ＋2＝sin(θ＋φ)＋3，其中sin φ＝，cosφ＝，又－1≤sin(θ＋φ)≤1，所以·∈，即·的取值范围是.故选B. $