第3节平面向量的数量积及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　平面向量的数量积及其应用 课标解读　1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,能用坐标表示平面向量垂直.3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.平面向量数量积的概念 (1)向量的夹角 已知两个　　　　向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作　　　.   其中夹角为0时两向量同向共线,夹角为π时两向量反向共线 非零 a⊥b 误区警示 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是的夹角,∠BAD才是的夹角. (2)平面向量的数量积 两个向量的数量积是一个实数,不再是向量 已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　  　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.  　　　　　　　 　数量积是一个实数,可正可负可0 规定:零向量与任一向量的数量积为　　.  微思考两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗? |a||b|cos θ　 0 提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0). (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. 微点拨 1.投影向量仍然是一个向量. 2.向量a在b上的投影向量与b共线,其模等于|a||cos<a,b>|=;向量b在a上的投影向量与a共线,其模等于|b||cos<a,b>|=. 3.向量a在b上的投影向量=|a|cos<a,b>e(e为与b同向的单位向量). 2.平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 向量的有关概念 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 数量积 |a||b|cos θ x1x2+y1y2 夹角 cos θ= cos θ= A(x1,y1),B(x2,y2)两点的距离 |AB|=|| |AB|= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0  注意别与平行的坐标公式混淆 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 3.向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 数乘结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数) 微警示 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的取值范围是[0,].(　　) (2)由a·b=0可得a=0或b=0.(　　) (3)在△ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为∠ABC.(　　) (4)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) × 解析 两个向量夹角的范围是[0,π]. × 解析 当两个非零向量a,b满足a⊥b时,也有a·b=0. × 解析 a与b的夹角为∠ABC的补角. √ 2.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=(　　) A. C. B 解析 ∵a=(3,1),b=(2,2), ∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1). 则有cos<a+b,a-b>=故选B. 3.(人A必修二教材习题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=　　　　.  解析 |a+b|=,将已知条件中的数据代入,得|a+b|= 4.(2022·全国甲,文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　.  - 解析 由题意知a·b=m+3(m+1)=0,解得m=- 5.(人A必修二教材例题)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°, 求(a+2b)·(a-3b). 解 (a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2 =62-6×4×cos 60°-6×42=-72. 6.(北师必修二教材习题)已知|a|=2,|b|=4,当a,b满足下列条件时,分别求a·b的值. (1)a∥b; (2)a⊥b; (3)a与b的夹角为135°. 解 (1)因为a∥b,所以a与b的夹角为0°或180°,又|a|=2,|b|=4,当a与b的夹角为0°时,a·b=|a||b|cos 0°=2×4×1=8;当a与b的夹角为180°时,a·b=|a||b|cos 180°=2×4×(-1)=-8. (2)因为a⊥b,所以a与b的夹角为90°,所以a·b=|a||b|cos 90°=2×4×0=0. (3)因为a与b的夹角为135°,所以a·b=|a||b|cos 135°=2×4×(-)=-4 7.(苏教必修二教材习题)已知A(-2,1),B(2,-2),C(-3,-5),D(3,3). (1)求证:; (2)求上的投影向量. 解 (1)因为A(-2,1),B(2,-2),所以=(4,-3),因为C(-3,-5),D(3,3),所以=(6,8).因为=24-24=0,所以 (2)易知=(5,2),=(4,-3),与同向的单位向量为=(,-), cos<>=,则上的投影向量为||·cos<>,-)=(,-). 考点一　平面向量数量积的基本运算 例1　(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则 =(　　) A. B.3 C.2 D.5 B 考点一 考点二 考点三 解析 (方法一)由题可知||=||=2,=0,则=()·()=()·(-)=-=-1+4=3. (方法二)因为E是AB的中点,所以ED=EC=在△DCE中,由余弦定理,得cos∠DEC=, 所以=||||cos∠DEC==3. 考点一 考点二 考点三 (方法三)以点A为原点建立如图所示平面直角坐标系,则D(0,2),C(2,2),E(1,0),则=(1,2),=(-1,2), 所以=1×(-1)+2×2=3.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求平面向量数量积的三种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·浙江杭州二模)已知向量a=(1,-2),b=(-3,2),c=(1,1),则(a+b)·c=(　　) A.2 B.0 C.-2 D.-7 C 解析 因为a=(1,-2),b=(-3,2),所以a+b=(-2,0).因为c=(1,1),所以(a+b)·c=-2.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山东滨州二模)在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=3,∠BAD=,点M在边AB上,且,则=(　　) A.2 B.3 C.-2 D.4 B 解析 因为, 所以,所以=()·()=|||cos=22+2×332=3.故选B. 考点一 考点二 考点三 (3)(2022·全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　　.  11 解析 由题得,a·b=1×3cos<a,b>=1×3=1,则(2a+b)·b=2a·b+|b|2=2+9=11. 考点一 考点二 考点三 考点二　平面向量数量积的应用 考向1　向量的模 例2　(1)(2025·河北保定一模)已知向量a=(3,m),b=(1,-1),且|a+b|=5,则m的值为(　　) A.4　 　B.-2　 　C.4或-2　 　D.2 C 解析 a+b=(3,m)+(1,-1)=(4,m-1), ∵|a+b|=5,=5,解得m=4或m=-2.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·新高考Ⅱ,13)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　　.  解析 由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①. 又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|= 考点一 考点二 考点三 规律方法　求平面向量的模的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·山东烟台一模)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°, =3,则||=(　　) A. B. C. D.2 C 解析 在△ABC中,因为) =,又AB=2AC=6,∠BAC=60°,所以||== =故选C. 考点一 考点二 考点三 考向2　向量的夹角 例3　(1)(2023·全国甲,理4)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. D 考点一 考点二 考点三 解析 由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,即|a|2+|b|2+2|a||b|·cos<a,b>=|c|2.又|a|=|b|=1,|c|=,所以2+2cos<a,b>=2,解得cos<a,b>=0,则<a,b>= 不妨设a=(1,0),b=(0,1). 因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 所以cos<a-c,b-c>=故选D. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人A必修二教材例题)设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a,b的夹角θ(精确到1°). 解 a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2. 因为|a|=,|b|=,所以用计算器计算可得cos θ=-0.03.利用计算工具可得θ≈92°. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北邯郸一模)已知非零向量a,b满足|a|=|a-2b|,且向量a,b的夹角为60°,则向量a,a+2b的夹角为　　　　　　　.  解析 由|a|=|a-2b|,得|a|2=|a|2-4a·b+4|b|2,又a,b为非零向量,且向量a,b的夹角为60°,则4|a|·|b|=4|b|2,即|a|=2|b|,又a·(a+2b)=|a|2+2|a|·|b| =4|b|2+2|b|2=6|b|2,|a+2b|==2|b|, 所以cos<a,a+2b>=,又两个向量的夹角的取值范围是[0,π],所以<a,a+2b>= 考点一 考点二 考点三 规律方法　求平面向量夹角的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·贵州六盘水模拟)已知向量a=(-5,m),b=(-2,3),且a与b的夹角为锐角,则m的取值范围是(　　) A.(-)∪(,+∞) B. (-∞,-)∪(-,-) C. (-,+∞) D. (-∞,-) A 解析 因为a与b的夹角为锐角,所以cos<a,b>=>0, 即a·b=10+3m>0,解得m>-; 当a,b共线时,-2×m=-5×3,解得m=,此时a=(-5,),b=(-2,3),满足a=b,两向量夹角为0.所以当a,b的夹角为锐角时,m∈(-)∪(,+∞).故选A. 考点一 考点二 考点三 考向3　向量的垂直 例4　(1)(2025·湖南长沙模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,a⊥(a+b),则a·b=(　　) A.-2 B.2 C.-4 D.4 C 解析 由a⊥(a+b),得a·(a+b)=a2+a·b=0,所以a·b=-a2=-4.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·全国2,12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　　.  解析 由题意a-b=(1,1-2x),又a⊥(a-b),所以x·1+1×(1-2x)=0,解得x=1,即a=(1,1),所以|a|= 考点一 考点二 考点三 规律方法　两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0). 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 D 解析 由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ). ∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D. 考点一 考点二 考点三 考向4　投影向量 例5　(1)(2026·河北秦皇岛高三期中)已知平面向量a=(2,2),a+2b=(),则向量b在向量a上的投影向量为(　　) A.a B.-a C.a D.-a A 解析 设向量b=(x,y),因为a=(2,2),且a+2b=(),可得(2+2x,2+2y)=(),解得x=,y=,即b=(),则a·b=2,又|a|=2,所以向量b在向量a上的投影向量为a=a.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北秦皇岛期末)已知向量a=(1,3),b=(-2,4),且a在b上的投影向量为λb,则|a-λb|=(　　) A. B. C.2 D. A 解析 因为b,故λ=, 则a-b=(2,1),故|a-λb|=故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求向量a在向量b上的投影向量的步骤 (1)计算向量a与b的内积:a·b. (2)计算向量b的模:|b|. (3)计算a在b上的投影向量:b. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](2025·湖南长沙模拟)已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,3),则向量上的投影向量为(　　) A.() B.(2,6) C.() D.() A 解析 因为A(1,0),B(0,1),C(2,3),所以=(-1,1),=(1,3), 所以=-1×1+1×3=2,||=, 所以向量上的投影向量为(1,3) =().故选A. 考点一 考点二 考点三 考点三　平面向量的实际应用 例6　(多选题)在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2夹角为θ(θ∈(0,π)),当两人拎起行李包时,下列结论中错误的有(　　) A.|G|=|F1|+|F2| B.当θ=时,|F1|=|G| C.当θ角越大时,用力越省 D.当|F1|=|G|时,θ= ACD 考点一 考点二 考点三 解析 根据题意可得G=-(F1+F2),则|G|=|F1+F2|=,当θ=0时,|G|=2|F1|=|F1|+|F2|,故A错误; 当θ=时,|G|=|F1|,即|F1|=|G|,故B正确; |G|=,因为函数y=cos θ在(0,π)上单调递减,又因为行李包所受的重力G不变,所以当θ角越大时,用力越大,故C错误;当|F1|=|G|时,即|G|==|F1|,解得cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=,故D错误.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　用向量法解决实际问题的步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练6]某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为|v1|=8 km/h,水流的速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处时,cos θ=(　　) A. B.- C. D.- D 考点一 考点二 考点三 解析 设船的实际速度为v,则v=v1+v2,因为北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处,则v⊥v2,所以v·v2=0, 即(v1+v2)·v2=|v1|·|v2|·cos θ+|v2|2=32cos θ+16=0, 解得cos θ=- 考点一 考点二 考点三 $