奥数：第15讲 小升初综合题选讲（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

【人教版】小学六年级下数学奥数：第15讲 小升初综合题选讲（一） 一、课程导语 在之前的课程中，我们按类型（如行程、工程、分数等）分别进行了讲解和训练。然而，在实际的小升初奥数考试中，很多应用题往往不是单一题型，而是分数、工程、行程、年龄、盈亏等多种题型的综合。 本讲的重点在于训练大家综合分析题意、灵活选用解题方法、整合多类知识点的能力，从而提升综合解题素养。 二、经典例题 【例 1】零件合格率问题（百分数与差倍综合） 题目： 李师傅一月份生产 450 个零件，合格率为 80%；二月份产品合格率为 90%。已知二月份比一月份少出废品 18 个。求李师傅一、二月份一共生产合格零件多少个？ 解析： 本题的关键在于利用“废品数量”的差值来反推二月份的生产总量。 解答： ①求一月份废品数： （个） ②求二月份废品数： 二月份比一月份少 18 个废品，所以二月份废品数为： （个） ③求二月份总产量： 二月份废品率为 ，所以总产量为： （个） ④求合格零件总数： 一月份合格： （个） 二月份合格： （个） 总数： （个） 答： 一、二月份共生产合格零件 1008 个。 【例 2】油与桶重量问题（分数应用题） 题目： 一桶油连桶重 56 千克，三天用完。第一天用去总量的 ，第二天用去余下油的 ；第三天用去的比前两天总和的 少 6 千克。求三天各用油多少千克？油桶重多少千克？ 解析： 本题难点在于统一单位“1”。 解答： 设整桶油重为 千克。 第一天： 用去 。 第二天： 余下 ，用去 。 第三天： 前两天总和为 。第三天用去 。 列方程： 。 解得： （千克）。 计算每天用量： 第一天： （kg） 第二天： （kg） 第三天： （kg）或 （kg）。 桶重： （千克）。 答： 三天依次用油 18 千克、24 千克、12 千克；油桶重 2 千克。 【例 3】工程工资分配问题（工程问题与按比分配） 题目： 甲、乙、丙三人合作完成一项工作，16 天完工，共得工资 120 元。甲单独做 40 天完成，乙单独做 48 天完成。工资按工作量分配，三人各应得多少元？ 解析： 工资比 = 工作效率比。 解答： ①设定总工作量： 为方便计算，设总工作量为 的最小公倍数，或直接设为 1。 甲效率： 乙效率： 合作效率： ②求丙效率： 。 ③求16天各自工作量（即工资份数）： 甲： 乙： 丙： ④统一分母求比： 。 ⑤分配工资： 总份数： 份。 甲： （元）。 乙： （元）。 丙： （元）。 答： 甲得 48 元，乙得 40 元，丙得 32 元。 【例 4】四人零件生产问题（转化单位“1”） 题目： 甲、乙、丙、丁四人合做一批零件。甲生产的数量占其他三人总数的 ；乙占其他三人总数的 ；丙占其他三人总数的 ；已知丁生产了 74 个。求甲、乙、丙各生产多少个？ 解析： 核心技巧：将“甲占其他三人”的分率，转化为“甲占四人总数”的分率。 转化关系： 若甲是其他三人的 ，则甲是总数的 。 解答：甲占总数： 。 乙占总数： 。 丙占总数： 。 求丁占总数： 。 通分计算（分母为210）： 。 求总数： 。 甲： 乙： 丙： 答：甲，乙，丙各生产126，150，70个。 三、拓展例题 【例 1】祖孙年龄倍数问题（年龄差不变） 题目： 今年爷爷年龄是小明的 6 倍；几年后爷爷年龄是小明的 5 倍；再过几年，爷爷年龄是小明的 4 倍。爷爷今年多少岁？ 解析： 年龄问题核心：年龄差不变, 年龄差同时是 5、4、3 的公倍数，结合实际年龄取值。 解答: 设年龄差为 。 分析倍数关系： 今年：爷爷是小明6倍 小明是 份，差是 份 是 5 的倍数。 几年后：5倍 小明是 份，差是 份 是 4 的倍数。 再过几年：4倍 小明是 份，差是 份 是 3 的倍数。 求最小公倍数： 是 的倍数。 取值： 年龄差通常为 60 岁（若取120岁则爷爷年龄过大，不符合实际）。 求爷爷年龄： 今年差是5份，对应60岁，所以1份（小明）是12岁。爷爷： 岁。 答： 爷爷今年 72 岁。 【例 2】步行与公交车发车间隔（行程问题-追及与相遇） 题目： 小红步行速度每小时 4 千米。每隔 9 分钟有一辆公车从后面追上她；每隔 7 分钟遇到迎面开来的公车。公车速度、发车间隔都相同，求公车发车的间隔时间。 解析： 核心：发车间隔距离 是固定的。 解答：单位换算： 小红速度 km/h = m/s（或保持km/h，时间换算为小时）。 为方便，设车速为 （km/h）。 追及问题（背后）： 速度差 时间 = 间隔距离。 ...(1) 相遇问题（迎面）： 速度和 时间 = 间隔距离。 ...(2) 联立方程： 。 km/h。 求间隔 ： 间隔距离 km。 发车间隔 小时 = 分钟。 答： 发车间隔 7.875（或约 8）分钟。 【例 3】水池放水管道问题（工程与逻辑） 题目： 甲管每小时放水 100 升，乙管每小时放水 125 升。先开甲管 2 小时，再开乙管同时放水，一段时间后再开丙管，直到把水放完。最后甲、乙、丙三管放水量恰好相等。求池中原有多少升水？ 解析：工程问题 解答：甲先放： 升。 乙追赶甲： 设乙开 小时后，乙水量 = 甲水量。 乙： 甲： 小时。 此时水量： 甲： 升。 乙： 升。 开丙管： 此时三管放水量要相等，说明丙管放水量也为 1000 升。 总水量： 升。 答： 池中原有水 3000 升。 【例 4】圆形跑道反向相遇问题（相遇次数） 题目： 两个小孩在圆形跑道同一点反向出发，速度分别为 5 米 / 秒、9 米 / 秒。从出发到第一次回到出发点 A 相遇结束，求途中一共相遇多少次（不含出发和结束）。 解析: 周期分析： 要求“第一次回到出发点相遇”，即两人走过的路程都是跑道周长 的整数倍。 速度比： （互质）。 结论： 当速度快的人（9m/s）走了 9 圈，速度慢的人（5m/s）走了 5 圈时，两人第一次同时回到起点。 相遇次数公式（反向）： 两人路程和除以周长 = 相遇次数。 解答: 设跑道周长 路程和： 。 相遇次数： 次。 去头去尾： 题目要求不含出发（第0次）和结束（第14次）。 中途相遇： 次。 答： 中途一共相遇 13 次。 ✏️四、基础练习 1.分苹果问题 题目： 一堆苹果平均分给大、小班每人 6 个；只分给大班每人 10 个。只分给小班，每人得几个？ 2.粮仓调动问题 题目： 甲仓存粮 80 吨，乙仓 120 吨。从乙仓调粮到甲仓，使乙仓存粮是甲仓的 60%，需调多少吨？ 3.选人参赛问题 题目： 六年级选出男生 和 12 名女生参赛，剩余男生是剩余女生的 2 倍，全年级共 156 人。求男、女生各多少人？ 4.四人合作生产零件数量计算 题目： 甲、乙、丙、丁四人合做一批零件。甲生产的数量占其他三人总数的 ；乙占其他三人总数的 ；丙占其他三人总数的 ；已知丁生产了 46 个。求甲、乙、丙各生产多少个？ 5.零件合格率问题 某工厂一月份生产零件400个，合格率为75%；二月份合格率为90%。已知二月份比一月份少出废品10个。求一、二月份一共生产合格零件多少个？ 6.油桶重量问题 一桶油连桶重40千克。第一天用去总量的 ​，第二天用去余下油的 ​，第三天用去剩下的 ​，最后还剩2千克油。求油桶重多少千克？ 7.工程工资分配问题 甲、乙、丙三人合作完成一项工作，12天完工，共得工资360元。甲单独做30天完成，乙单独做40天完成。工资按工作量分配，三人各应得多少元？ ✏️五、拓展练习 1.获奖人数问题 题目： 数学竞赛获奖若干人，一等奖比余下获奖人数的 少 3 人；二等奖占总获奖人数 ；三等奖比二等奖多 21 人。求总获奖人数。 2.巧克力豆赠送（还原问题） 题目： 甲、乙、丙各有巧克力豆，按规则互相赠送（具体规则原文档缺失，通常为甲给乙、乙给丙、丙给甲等），最后每人都是 32 粒。用倒推法求原来各有多少粒。 3.水池放水问题 题目：甲管每小时放水 80 升，乙管每小时放水 100 升。先开甲管 3 小时，再开乙管同时放水，一段时间后再开丙管，直到把水放完。最后甲、乙、丙三管放水量恰好相等。求池中原有多少升水？ 4.反向相遇问题 题目：两个运动员在圆形跑道同一点反向出发，速度分别为 4 米 / 秒、6 米 / 秒。从出发到第一次同时回到出发点相遇结束，求途中一共相遇多少次（不含出发和结束）。 5.祖孙年龄倍数问题 题目：今年爷爷的年龄是孙子的7倍。几年后，爷爷的年龄是孙子的6倍；再过几年，爷爷的年龄是孙子的5倍。问爷爷今年多少岁？ 6.公交车发车间隔问题 题目：小明步行速度为5千米/时。每隔10分钟有一辆公交车从后面追上他；每隔8分钟迎面遇到一辆公交车。假设公交车速度相同，且发车间隔相同，求公交车的速度及发车间隔时间。 💡六、基础练习参考答案 1. 分苹果问题 题目： 一堆苹果平均分给大、小班每人 6 个；只分给大班每人 10 个。只分给小班，每人得几个？ 解答： 设总苹果数为 。 大+小总人数： （人）。 大班人数： （人）。 小班人数： （人）。 小班每人： （个）。 答： 15 个。 2. 粮仓调动问题 题目： 甲仓存粮 80 吨，乙仓 120 吨。从乙仓调粮到甲仓，使乙仓存粮是甲仓的 60%，需调多少吨？ 解答： 总吨数不变： 吨。 调动后，乙是甲的 60%，即乙:甲 = 。 总份数： 份。每份： 吨。 乙仓后来： 吨。 调出量： 吨。 答： 需调 45 吨。 3. 选人参赛问题 题目： 六年级选出男生 和 12 名女生参赛，剩余男生是剩余女生的 2 倍，全年级共 156 人。求男、女生各多少人？ 解答： 设男生 人，则女生 人。 剩余男生： 。 剩余女生： 。 方程： 。 解得： 。女生： 。 答： 男生 99 人，女生 57 人。 4. 四人合作生产零件数量计算 题目： 甲、乙、丙、丁四人合做一批零件。甲生产的数量占其他三人总数的 ；乙占其他三人总数的 ；丙占其他三人总数的 ；已知丁生产了 46 个。求甲、乙、丙各生产多少个？ 解答： 步骤 1：统一单位 “1”（转化为占总数的比例） 我们把四人生产的零件总数看作单位 “1”，分别计算甲、乙、丙占总数的比例： 甲占其他三人总数的 ： 说明其他三人总数是 3 份，甲是 1 份，总数就是 份， 因此甲占总数的： 乙占其他三人总数的 ： 说明其他三人总数是 4 份，乙是 1 份，总数就是 份， 因此乙占总数的： 丙占其他三人总数的 ： 说明其他三人总数是 5 份，丙是 1 份，总数就是 份， 因此丙占总数的： 步骤 2：计算丁占总数的比例 总数为单位 “1”，因此丁占总数的比例为： 通分计算（分母的最小公倍数是 60）： 步骤 3：求零件总数 已知丁生产了 46 个，对应总数的 ，因此总数为： 步骤 4：分别计算甲、乙、丙的生产数量 甲：（个） 乙：（个） 丙：（个） 验证： 甲（30）+ 乙（24）+ 丙（20）+ 丁（46）= 120（个），与总数一致，计算正确。 答案： 甲生产 30 个，乙生产 24 个，丙生产 20 个。 5. 零件合格率问题 解答： 一月份废品：（个） 二月份废品：（个） 二月份废品率：，二月份总产量：（个） 一月份合格：（个） 二月份合格：（个） 总数：（个） 答：共生产合格零件 1110 个。 6. 油桶重量问题 解答： 设整桶油重 千克。 第一天用 ，余 ； 第二天用 ，余 ； 第三天用 ，余 。 剩余油 ，解得 （千克） 桶重：（千克） 答：油桶重 千克。 7. 工程工资分配问题 解答： 设总工作量为 1。 甲效率：，乙效率：，合作效率： 丙效率： 12 天工作量：甲：，乙：，丙： 工作量比：，总份数 10 甲得：（元） 乙得：（元） 丙得：（元） 答：甲 144 元，乙 108 元，丙 108 元。 💡七、拓展练习参考答案 1. 获奖人数问题 题目： 数学竞赛获奖若干人，一等奖比余下获奖人数的 少 3 人；二等奖占总获奖人数 ；三等奖比二等奖多 21 人。求总获奖人数。 解答: 设总人数为 。 二等奖： 。 三等奖： 。 一+二+三 = 。 一等奖 = 。 根据一等奖条件： 。 解方程 所以 一等奖=16，二等奖=37，三等奖=58 答：一等奖16人，二等奖37人，三等奖58人。 2. 巧克力豆赠送（还原问题） 题目： 甲、乙、丙各有巧克力豆，按规则互相赠送（具体规则原文档缺失，通常为甲给乙、乙给丙、丙给甲等），最后每人都是 32 粒。用倒推法求原来各有多少粒。 解答： 倒推思路 从最后结果往前逆推，别人还给自己多少，就加回多少；对方翻倍得到的，就减半还原。 总豆子总数不变：总数量 = 粒 第一步：还原「丙送给甲之后」的上一步（丙送甲之前） 正向：丙按规则送豆子给甲，甲的豆子翻倍，变成 32 粒。 逆推：甲在丙送之前的数量： 甲： 粒 丙送给甲的数量 = 16 粒 丙送出 16 粒后剩 32 粒，所以丙原来： 粒 乙全程未变动，还是 32 粒 丙送甲之前状态：甲 = 16，乙 = 32，丙 = 48 第二步：还原「乙送给丙之后」的上一步（乙送丙之前） 正向：乙按规则送豆子给丙，丙的豆子翻倍，变成 48 粒。 逆推：丙在乙送之前的数量： 丙： 粒 乙送给丙的数量 = 24 粒 乙送出 24 粒后剩 32 粒，所以乙原来： 粒 甲全程未变动，还是 16 粒 乙送丙之前状态：甲 = 16，乙 = 56，丙 = 24 第三步：还原「甲送给乙之后」的上一步（最初原始数量） 正向：甲按规则送豆子给乙，乙的豆子翻倍，变成 56 粒。 逆推： 乙最初： 粒 甲送给乙的数量 = 28 粒 甲送出 28 粒后剩 16 粒，甲最初： 粒 丙不变，还是 24 粒 最终结果（原来各有数量） 甲：44 粒 乙：28 粒 丙：24 粒 正向验算（验证答案正确） 初始：甲 44，乙 28，丙 24 甲送给乙（乙原有 28 粒，送 28 粒） 甲：，乙：，丙：24 状态：16、56、24 乙送给丙（丙原有 24 粒，送 24 粒） 乙：，丙：，甲：16 状态：16、32、48 丙送给甲（甲原有 16 粒，送 16 粒） 丙：，甲：，乙：32 最终状态：32、32、32，与题目一致，解答正确。 3. 水池放水问题 题目：甲管每小时放水 80 升，乙管每小时放水 100 升。先开甲管 3 小时，再开乙管同时放水，一段时间后再开丙管，直到把水放完。最后甲、乙、丙三管放水量恰好相等。求池中原有多少升水？ 解析: 甲管效率：80 升 / 小时，乙管效率：100 升 / 小时 甲管先开 3 小时，之后才开乙管，最后三管放水量相等 丙管的效率未知，但因为三管放水量相等，我们可以先求单管的放水量，再求总水量 解答:设未知数并建立关系 设： 每根管的放水量都为 升（因为三管放水量相等） 甲管从开始到结束的总放水时间为 小时 乙管的放水时间为 小时（因为甲先开 3 小时） 根据 “放水量 = 效率 × 时间”，可得： V = 80t (1) V = 100(t - 3) (2) 解方程求单管放水量 联立方程 (1)(2)： 代入 (1) 式，得单管放水量： 求池中原有水量 因为甲、乙、丙三管放水量相等，总水量为： 答：池中原有 3600 升 水。 4.反向相遇问题 题目：两个运动员在圆形跑道同一点反向出发，速度分别为 4 米 / 秒、6 米 / 秒。从出发到第一次同时回到出发点相遇结束，求途中一共相遇多少次（不含出发和结束）。 解答： 设两人速度比为 （已约分为最简整数比），则： 两人第一次同时回到出发点时，合走的圈数为 圈 途中相遇次数（不含出发和结束） = 本题中 ，因此： 相遇次数 = 次，和前面计算结果一致。 答：途中一共相遇 4 次。 5. 祖孙年龄倍数问题 解答： 设年龄差为 。 今年爷爷是孙子的 7 倍 → 孙子 1 份，爷爷 7 份，差 6 份 → 是 6 的倍数 几年后 6 倍 → 差 5 份 → 是 5 的倍数 再过几年 5 倍 → 差 4 份 → 是 4 的倍数 是 的最小公倍数 60 的倍数，取 今年差 6 份对应 60 岁 → 1 份（孙子）10 岁，爷爷 70 岁 答：爷爷今年 70 岁。 6. 公交车发车间隔问题 解答： 设车速 千米 / 时，发车间隔距离 千米。 追及： 相遇： 联立得： （千米 / 时） （千米） 发车间隔 （小时）≈ 8.89 分钟 答：公交车速度为 45 千米 / 时，发车间隔约 8.89 分钟。 2 学科网（北京）股份有限公司 $