专项15 与圆面积相关问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——与圆相关面积问题 14种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 圆的面积可以理解为曲线围成圆周后所覆盖的面积,面积的计算公式为:S=πr2(π取3.14)。 本章讲义主要解决圆与三角形、梯形、正方形、长方形、扇形等图形组合后的面积问题，如：补线法，加减法，等积移位法，重叠法，常数比法（外方内圆、外圆内方面积比）等；所求图形的位置、形状、条件都很特殊,不仅要把不规则图形变成规则的图形,还要把题目的条件进行转化，如：割补法，旋转法，转化法，重组法，整体法R2-r2等。 其它图形基本公式： S长=ab S正=a2 S△=ab S平行四边形=ah S梯=（a+b）h÷2 【割补法】割补法特指对复杂或不规则的几何体或图形进行切割或补充，以形成规则、易于计算的几何体或图形，从而简化求解过程。 【思维点拨】应用数学转化思想，把右边的阴影部分割下与左边的阴影部分合并成一个长方形，求出长方形的面积即可。 【详解】 阴影部分面积：a×b=ab 1.如图,大圆直径为S正30cm,4个小圆的直径都是大圆直径的一半,求阴影部分的面积。 2.下图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成,则图中阴影部分的面积是多少?(π=3) 【加减法】用加法计算出图形总面积后再减去空白部分的面积，得出阴影部分面积。 求阴影部分面积。（单位：厘米） 【思维点拨】阴影部分面积=总面积-空白部分面积，所以先求出总面积。总面积分为三部分面积，分别是左半圆，右半圆和直角三角形面积；空白部分面积为大半圆面积。 【详解】 π[（3÷2）2+（4÷2）2]÷2+3×4÷2-π（5÷2）2÷2 =π[（3÷2）2+（4÷2）2]÷2-π（5÷2）2÷2+6 =0+6 =6（平方厘米） 【总评】阴影部分面积等于直角三角形面积 1.如下图所示,阴影部分的面积是(π取3) 2.下图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点，点Q为正方形BC边的中点,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 【重叠法】重叠法主要利用图形的重叠部分或相似部分，通过比较、对照和推理，找出图形之间的内在联系或规律，从而解决几何问题 求阴影部分面积。（单位：厘米） 【思维点拨】阴影部分面积=大扇形面积+小扇形面积-长方形面积。因为大扇形面积+小扇形面积，重叠阴影部分面积计算了2次，要减去1次和空白部分的面积，相当于减去了一个长方形的面积。 【详解】 3.14×32÷4+3.14×42÷4-3×4 =7.065+12.56-12 =7.625（平方厘米） 1.如图所示，求阴影部分面积。（单位：厘米） 2.如图所示，三个圆的半径分别为3厘米、4厘米、5厘米，图中A部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？ 【旋转法】旋转法通常用于几何问题或需要通过空间变换来简化的问题。它涉及将图形或物体绕某一点旋转一定角度，以便更容易地观察、分析或解决问题。 求阴影部分面积。（单位：cm） 【思维点拨】先分割在旋转，如下图所示：把下半圆绕点O逆时针旋转90°，得到右图，为外圆内方图形。 【详解】 3.14×（10÷2）2-10×10÷2 =78.56-50 =28.56（平方厘米） 1.如图甲所示,ABC为等腰直角三角形,D为AB的中点,AB=20厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 2.求图中阴影部分的面积。(π取 3.14) 【转换法】把某一个数学问题通过数学变换,转化成另一个数学问题来处理,这种解决问题的方法,我们通常叫作“转换法”。 如图所示，甲比乙的面积大57平方厘米，求三角形的高x的长度。 【思维点拨】应用差不变的性质，甲和乙同时加上空白部分的面积，把条件“甲比乙的面积大57平方厘米”转化为“半圆比三角形面积大57平方厘米”。体现出数学转化思想，再求出半圆面积，减去57平方厘米，得到三角形的面积，再运用“三角形的高=面积×2÷底”即可解答。 【详解】 半圆面积：3.14×（20÷2）2÷2=157（平方厘米） 三角形面积：157-57=100（平方厘米） 三角形的高x的长度：100×2÷20=10（厘米） 1.如图是一个直径为3厘米的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，此时B点移动到B´点，求阴影部分面积。 2.如图，2个四分之一圆弧的半径分别是3厘米和6厘米，求两个阴影部分面积差。 【整体法】即化零为整法，整体法的基本思想是将多个相互关联的量视为一个整体来计算，从而简化问题。 已知正方形面积为5平方厘米，求图形总面积。（单位：厘米） 【思维点拨】正方形的边长等于圆的半径，所以正方形的面积为r2。半径无法求出，但“半径的平方”这个整体的结果已知，所以直接应用r2这个整体计算扇形的面积即可；图形的总面积等于正方形的面积+2个270°的扇形面积。 【详解】 3.14×5××2+5 =28.55（平方厘米） 1.已知阴影部分的面积是20平方分米，求图中圆环面积。 2.已知阴影部分面积是200平方厘米，求两圆之间的圆环面积。 【补线法】即添辅助线法或补形法，把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形。 如图所示，在半径为1的圆中内接一个长方形，长方形中有一个菱形，求菱形的边长。 【思维点拨】此题关键是寻找半径与菱形边长之间的关系。通过添加辅助线，抓住长方形的对角线相等，二长方形的对角线就是半径，即半径等于菱形的长度。如图所示 【详解】 看图得出，菱形的边长等于圆的半径，为1 1.两个半径相等的圆A和圆B;三角形BCD是等腰直角三角形,面积为60平方厘米;ABCD是平行四边形。求阴影部分的面积。 2.如右图,小圆面积均为平方厘米 (π取3.14),求图中阴影部分的面积。 【比例法】根据比或比例关系，直接计算图形面积，使计算简单化。如外圆内方面积比，等高模型中三角形的图形等。 如图所示，每个小圆的面积都是3平方厘米，求阴影部分的面积。 【思维点拨】仔细观察发现（如右图所示），大圆的直径是小圆直径的3倍，即R：r=3:1，所以大圆面积：小圆面积=32：12=9:1；所以一个大圆面积相当于小圆面积的9倍，大圆里面有7个小圆，剩下的阴影部分的面积相当于2个小圆面积，即3×2=6（平方厘米） 【详解】3×2=6（平方厘米） 1.求大小圆的周长之比和面积之比。 2.10个同样大的圆摆成如左下图所示的形状，过两个圆心A，B作直线，10个圆被分为两部分。求直线右上方的面积总和与直线左下方的面积总和之比。 【公式法】直接运用计算公式进行计算，多见于基础简单的图形问题。 如图所示，在长方形ABCO中，△ABD的面积比△BCD的面积大10平方厘米，求阴影部分面积。 【思维点拨】如下图所示，△ABD的面积比△BCD的面积大10平方厘米的面积就是三角形OAD的面积。所以半径为10×2÷（8-3）=4（厘米），阴影部分面积小等于圆面积的。 【详解】 圆的半径：10×2÷（8-3）=4（厘米） 阴影部分面积：3.14×42×=37.68（平方厘米） 1.如图所示，圆的半径是4厘米，阴影部分面积是14π平方厘米，求图中三角形面积。 2.如下图,圆的两条直径互相垂直,均是24厘米,求图中阴影部分的面积。 【滚动法】当一个圆在一个图形（如三角形、长方形等）外滚动时，圆心移动的距离等于圆的周长加上图形的周长。这是因为圆在滚动时，除了沿着图形的边滚动外，还会在图形的顶点处进行一段弧线运动‌。 图中正方形的周长是圆环周长的3倍。当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈? 【思维点拨】当小圆片沿长方形外侧无滑动地滚动一周时，其中沿正方形的4条边滚动时，圆心经过的路线是四条线段，当小圆片沿正方形的四个角转动时，圆心经过的路线是四条弧(如下图所示)。 四条线段的总和相当于正方形的周长；四条弧拼在一起，恰好可拼成一个圆，这个圆周长就相当于求出四条弧的长度总和，即等于滚动的圆环的周长。因此，圆心经过的路线的长度=正方形的周长十小圆环的周长。所以这个圆环转动了3+1=4（圈） 【详解】 3+1=4（圈） 1.一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I(左下图)。它的对角线长恰好是5cm。让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置。求A点走过的路程的长(圆周率按3计算)。 2.如右图,一个正六边形的边长和一个小圆的周长相等。如果这个小圆按箭头的方向沿着正六边形的周边做无滑动滚动,直到回到原来的位置,那么这个小圆滚动了多少圈? 【重组法】重组法在几何图形问题中的应用技巧主要包括将不规则图形拆开并重新组合成一个新的图形，以便更容易计算其面积。 如图1所示,边长为20厘米的正方形里面,画有一个以正方形边长为直径的半圆,还有一个以正方形边长为半径的圆的一部分。那么涂色部分的面积是平方厘米。(π取 3.14) 【思维点拨】如下图所示，把面积相等的部分移动到与它面积相等的区域，得到的阴影部分面积等于正方形面积的。 【详解】 涂色部分面积：20×20÷4×3=300（平方厘米） 【总评】解决此题的关键是巧妙地利用割补法，把不规则的图形通过切割拼接重组的方式转化成便于求解的图形。 1.如图,已知等腰直角三角形ABC,AC=BC=2,小蕾拿出圆规分别以A、B、C点为圆心，以AC长为半径画圆,交AC、BC、AB于D、G、E、F四点。求阴影部分的面积。 2.1个等边三角形和2个半圆如图放置,等边三角形的边长和半圆的直径都是30厘米。求下图的总面积。(π取3.14) 【设数法】有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个(或几个)数量问的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。 如图,A0B是一个直角扇形,C为AB弧的中点,已知阴影甲的面积为16平方厘米，则阴影乙的面积为多少? 【思维点拨】甲和乙都是不规则的图形，如果都加上下面空白部分，转化为半圆和一个45°的扇形，再比较面积它们的面积关系，得出结论再求解。可以利用这两个扇形半径关系或巧妙设数分别求出这两个扇形面积，通过对比发现，它们面积相等，从而解题。 【详解】 设半圆的直径为4厘米，则45°的扇形半径为4厘米. 半圆面积：3.14×（4÷2）2÷2=6.28（平方厘米） 扇形面积：3.14×42÷8=6.28（平方厘米） 所以半圆面积等于扇形面积，即甲面积等于乙面积，所以乙的面积等于16平方厘米。 1.如右图,OAB是一个直角扇形。分别以OA、0B为直轻在扇形内部作半圆,看图中阴影部分像不像一条悠闲自得的大尾巴金鱼?这条金鱼的鱼身和鱼尾的面积哪个大些？为什么? 2.如图,0为圆心,CO垂直于AB,CAB是以 C为圆心的扇形,△ABC的面积是200平方厘米。求阴影部分的面积。 【等积移位法】‌等积变换定理是指在平面几何中，两个图形在经过一系列剪切、平移、旋转等操作后，若它们的面积相等，则称这两个图形可以通过等积变换相互得到‌。 ‌ 如图所示的半圆的直径BC=8cm,AB=AC，D是AC的的中点,则阴影部分的面积是多少平方厘米？(π取3.14) 【思维点拨】连接半圆的圆心O点和D点(如图2所示),因为AB平行于DO,所以S△DAB=S△OAB(同底等高的两个三角形面积相等),则S阴影=S扇形OAB。 【详解】 阴影部分的面积: 3.14×(8÷2)2÷4=12.56(cm2) 1.如图,正六边形内接于圆,圆面积为300平方厘米,则多图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 2.如图,四边形ABCG和四边形CDEF都是正方形,BC=10厘米,CD=12厘米,求阴影部分的面积。(π取 3.14) 【活动区域面积】 一块边长为4m的正方形草地,两对角各有一棵树，树上各拴着一只羊,拴羊的绳子长都是4m。问:两只羊都能吃到草的草地面积是多少? 【思维点拨】两只羊都能迟到的草地的面积就是公共面积。如图所示，绿色区域面积就是都能吃到的草地面积。此面积为两个扇形面积之和-（重叠面积+空白面积）=半圆面积-正方形面积。 【解答】 3.14×42÷2-4×4=25.12-16=9.12（平方米） 1.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如右图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积。 2.草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的左上角用长30米的绳子拴着一只羊,这只羊从图中的位置将绳拉紧,沿顺时针方向跑。问:绳子扫过的面积是多少平方米? 满分：100分 时间：60分钟 1.如下图,正方形内接于圆,以正方形边长为直径作两个半圆,已知正方形面积是18平方厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 2.下图是一个直径为1厘米的小圆片,如果沿着长5厘米、宽3厘米的长方形外侧无滑动地滚动一周,求小圆片的圆心经过的路线有多长? 3.草场上有一个长20m,宽10m的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊(见下图),这只羊能够活动的范围有多大?(π取 3.14) 4.求下图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 5.如图所示，一个四分之一圆AOB,半径是10厘米,绕A点顺时针旋转90度,扫过的面积(即整个图形的面积)是平方厘米(π=3) 6.如图所示，已知阴影部分面积是80平方厘米，求圆环面积是多少平方厘米？ 7.如图,半径为4厘米的两个圆如图放置,长方形中两块阴影部分面积相等,A、B两点为两圆的圆心，那么AB的长度为多少厘米？ 8.如图,三角形ABC是直角三角形,ZB是直角,AB=4厘米,BC=2厘米。分别以AB和BC为直径画半圆,两个半圆的交点是AC边上的D点。求图中阴影部分的面积。(π取 3.14) 9.下图中等腰直角三角形 ABC的一条直角边为10厘米,阴影甲与乙面积相等,求扇形 AEF的面积。 10.如图,O是圆心,圆的周长等于 75.36分米,点 A、B、C都在圆周上,OABC是梯形,梯形面积等于98.28平方分米。已知AB=20.76分米,问:阴影部分面积是多少? 11.将边长为1的正三角形放在一条直线上(如右上图),让三角形绕顶点C顺时针转动到达位置Ⅱ,再继续这样转动到达位置Ⅲ。求A点走过的路程的长(取π=3)。 【巩固提升】参考答案 1.如图,大圆直径为30cm,4个小圆的直径都是大圆直径的一半,求阴影部分的面积。 【解析】采用分割旋转法，把阴影部分转化为一个规则正方形图形。 正方形面积=对角线×对角线÷2=30×30÷2=450（平方厘米） 2.下图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成,则图中阴影部分的面积是多少?(π=3) 【解析】上下或左右对折把阴影部分面积转化成总面积的一半。如下图所示： 通过翻折得到的阴影部分面积为正方形面积加上2个半月形的面积。 2×2+[3.14×（2÷2）2-2×2÷2]÷2=4+1.14=5.14 1.如下图所示,阴影部分的面积是(π取3) 【解析】采用加减法，用总面积减去白色半圆和三角形的面积。 3.14×62÷2-3.14×32÷2-6×6÷2 =37.68-14.13-18 =5.55（平方厘米） 2.下图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点，点Q为正方形BC边的中点,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 【解析】采用加减法，用总面积减去白色部分面积。 10×10+3.14×52÷2-（10+5）×10÷2-5×5÷2 =100+39.25-75-12.5 =51.75（平方厘米） 1.如图所示，求阴影部分面积。（单位：厘米） 【解析】重叠法求解。用两个半圆面积之和减去三角形面积即可。 3.14×（10÷2）2÷2+3.14×102÷8-10×10÷2 =39.25+39.25-50 =28.5（平方厘米） 2.如图所示，三个圆的半径分别为3厘米、4厘米、5厘米，图中A部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？ 【解析】两个小圆重叠部分为A，所以败诉区域的面积为两个小圆面积减去重叠部分A的面积；通过计算发现两个小圆面积之和等于大圆面积，然后加以对比，发现A的面积等于阴影部分面积。 3.14×（32+42）=3.14×52（两噶小圆面积之和等于大圆面积） 阴影部分面积等于A的面积。 1.如图甲所示,ABC为等腰直角三角形,D为AB的中点,AB=20厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 【解析】采用旋转法，把左边的扇形绕点D逆时针旋转90°，得到右边的图形，阴影部分面积转化成了半圆面积减去一个小直角三角形面积。 3.14×（20÷2）2÷2-5×5÷2 =157-12.5 =144.5（平方厘米） 2.求图中阴影部分的面积。(π取 3.14) 【解析】先分割再旋转把图形转化成了一个直角三角形。 4×4÷2=8（平方厘米） 1.如图是一个直径为3厘米的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，此时B点移动到B´点，求阴影部分面积。 【解析】总面积减去白色半圆的面积等于阴影部分面积。总面积等于半圆面积加上一个60°的扇形面积。即半圆面积+扇形面积-半圆面积=阴影面积，得到阴影部分面积等于扇形面积。即把阴影部分面积计算转化扇形面积计算即可。 3.14×32÷6=4.71（平方厘米） 2.如图，2个四分之一圆弧的半径分别是3厘米和6厘米，求两个阴影部分面积差。 【解析】把图形补全为一个大正方形，根据差不变的性质，有A-B=(A+C)-(B+C)=（左边长方形面积-小扇形面积）-（正方形面积-答扇形面积）。 （3×6-3.14×32÷4）-（6×6-3.14×62÷4） =10.935-7.74 =3.195（平方厘米） 1.已知阴影部分的面积是20平方分米，求图中圆环面积。 【解析】因为阴影部分的面积为（R2-r2）=20，所以（R2-r2）=40平方分米 本题不需要求出大小圆半径，把看为一个整体代入圆环面积公式直接进行计算即可。 所以圆环面积=π（R2-r2）=20×3.14=62.8（平方分米） 2.已知阴影部分面积是200平方厘米，求两圆之间的圆环面积。 1.两个半径相等的圆A和圆B;三角形BCD是等腰直角三角形,面积为60平方厘米;ABCD是平行四边形。求阴影部分的面积。 【解析】连接DE和BE，阴影部分面积可以转化为扇形BDE的面积减去△BDE的面积。 设半径为r，因为△BCD是等腰直角三角形，面积为60平方厘米，则r2÷2=60，r2=120 扇形面积为πr2÷4 阴影面积=扇形面积-S△DBE=3.14×120÷4-60=34.2（平方厘米） 2.如右图,小圆面积均为平方厘米 (π取3.14),求图中阴影部分的面积。 【解析】把大正方形分成4个相等的小正方形。（如图所示）把阴影部分的面积转化为一个小正方形的面积减去小圆面积的差乘以2。 小正方形与小圆为外方内圆关系，其面积之比为4:π，因为小圆面积均为平方厘米，所以小正方形的面积为÷π×4=1（平方厘米） （1-）×2=2-1.57=0.43（平方厘米） 1.求大小圆的周长之比和面积之比。 【解析】 （1）如上图所示，阴影部分的周长可以划分为3条弧长，相等一个小圆的周长加上大圆周长的四分之一。因为大小圆的直径之比为2:1，所以大圆周长为小圆周长的2倍。所以3条弧长之和为1.5个小圆周长。所以大圆周长与小圆周长之比为2:1.5=4:3 （2）面积采用割补法或旋转法，把阴影部分面积转化为一个直角扇形面积。 阴影部分面积相当于大圆面积的四分之一。 所以阴影部分面积：大圆面积=1:4 2.10个同样大的圆摆成如左下图所示的形状，过两个圆心A，B作直线，10个圆被分为两部分。求直线右上方的面积总和与直线左下方的面积总和之比。 【解析】看图得出直线右上方的面积等于4个小圆的面积，左下方面积等于6个小圆面积。所以面积之比为4:6=2:3 1.如图所示，圆的半径是4厘米，阴影部分面积是14π平方厘米，求图中三角形面积。 【解析】半径为4厘米，则圆的面积为16π；所以白色小扇形的面积小等于圆面积的（16π-14π）÷16π=。所以白色小扇形的圆心角为360°×=45°。得出三角形为等腰直角三角形，其面积为4×4÷2=8（平方厘米） 2.如下图,圆的两条直径互相垂直,均是24厘米,求图中阴影部分的面积。 【解析】外方内圆的知识点。 阴影部分面积=圆面积-正方形面积 =3.14×（24÷2）2-24×24÷2 =452.16-288 =164.16（平方厘米） 1.一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I(左下图)。它的对角线长恰好是5cm。让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置。求A点走过的路程的长(圆周率按3计算)。 【解析】如下图所示，A点走过的路程为3条半径分别是4厘米、5厘米和3厘米的弧长之和，圆心角分别为90°。 2×3.14×（4+3+5）÷4=18.84（厘米） 2.如图,一个正六边形的边长和一个小圆的周长相等。如果这个小圆按箭头的方向沿着正六边形的周边做无滑动滚动,直到回到原来的位置,那么这个小圆滚动了多少圈? 【解析】如下图所示，小圆圆心进过的路程为6条线段和半径为小圆半径的圆周长。 所以圆心经过的路程为7个小圆周长 1.如图,已知等腰直角三角形ABC,AC=BC=2,小蕾拿出圆规分别以A、B、C点为圆心，以AC长为半径画圆,交AC、BC、AB于D、G、E、F四点。求阴影部分的面积。 【解析】因为三角形内角和为180°，三个扇形的半径相等，所以可以把3个小扇形的面积转化为一个半圆的面积。阴影部分面积为三角形面积减去半圆面积 2×2÷2-3.14×12÷2=0.43 2.1个等边三角形和2个半圆如图放置,等边三角形的边长和半圆的直径都是30厘米。求下图的总面积。(π取3.14) 【解析】图形面积等于两个半圆面积之和减去重叠部分的面积。两个半圆的面积合二为一成圆面积，重叠部分的面积为可以转化为120°的扇形面积，相当于的圆面积。 3.14×（30÷2）2× =3.14×15×15× =3.14×150 =471（平方厘米） 1.如右图,OAB是一个直角扇形。分别以OA、0B为直轻在扇形内部作半圆,看图中阴影部分像不像一条悠闲自得的大尾巴金鱼?这条金鱼的鱼身和鱼尾的面积哪个大些？为什么? 【解析】相等。 因为半圆直径等于直角扇形的半径，所以半圆所在的圆面积等于扇形所在圆面积的四分之一。 2个甲面积+白色部分面积=大扇形面积=小圆面积 即2个甲面积+白色部分面积=甲面积+乙面积+白色面积 所以甲面积=阴影面积 2.如图,0为圆心,CO垂直于AB,CAB是以 C为圆心的扇形,△ABC的面积是200平方厘米。求阴影部分的面积。 【解析】因为△ABC的面积等于r×r=200，所以AC×BC=400；所以扇CAB的面积=3.14×400÷4=314，半圆面积=3.14×200÷2=314；所以阴影部分面积=△ABC的面积=200平方厘米 1.如图,正六边形内接于圆,圆面积为300平方厘米,则多图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 【解析】如下图所示，通过点平移把原来阴影部分转化为2个60°的扇形。 相当于的圆面积。 300×=100（平方厘米） 2.如图,四边形ABCG和四边形CDEF都是正方形,BC=10厘米,CD=12厘米,求阴影部分的面积。(π取 3.14) 【解析】通过点A平移至C点，得出△AFD的面积=△CFD的面积（等底等高） 。所以把阴影部分面积转化为了大正方形面积的一半。 12×12÷2=72（平方厘米） 1.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如右图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积。 【解析】狗活动的范围为一个圆心角300°半径为4米的扇形面积加上2个圆心角为120°半径为4-3=1厘米的扇形面积。 3.14×32×+3.14×（4-3）1× ≈23.55+2.093 =25.643（平方米） 2.草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的左上角用长30米的绳子拴着一只羊,这只羊从图中的位置将绳拉紧,沿顺时针方向跑。问:绳子扫过的面积是多少平方米? 【解析】如下图所示，绳子扫过的面积为一个圆心角270°半径为30米的扇形面积加上一个90°半径为20米的扇形面积及一个90°半径为10米的扇形面积。 3.14×302×+3.14×202×+3.14×102× =2119.5+314+78.5 =2512（平方米） 【综合测试】参考答案 1.如下图,正方形内接于圆,以正方形边长为直径作两个半圆,已知正方形面积是18平方厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 【解析】外圆：方：最内圆=2π：4：π 外圆面积18÷4×2π=9π 内圆面积4.5π （9π-18）÷2+（18-4.5π） =5.13+3.87 =10（平方厘米） 2.下图是一个直径为1厘米的小圆片,如果沿着长5厘米、宽3厘米的长方形外侧无滑动地滚动一周,求小圆片的圆心经过的路线有多长? 【解析】圆心经过的路程为长方形的周长加上一个圆周长。 （5+3）×2+3.14×1=19.14（厘米） 3.草场上有一个长20m,宽10m的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊(见下图),这只羊能够活动的范围有多大?(π取 3.14) 【解析】如下图所示，绳子扫过的面积为一个圆心角270°半径为30米的扇形面积加上一个90°半径为20米的扇形面积及一个90°半径为10米的扇形面积。 3.14×302×+3.14×202×+3.14×102× =2119.5+314+78.5 =2512（平方米） 4.求下图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 【解析】可以转化为2个圆加上1个正方形面积。 3.14×32×2+6×6=92.52（平方厘米） 5.如图所示，一个四分之一圆AOB,半径是10厘米,绕A点顺时针旋转90度,扫过的面积(即整个图形的面积)是平方厘米(π=3) 【解析】如图所示,所求面积即为大扇形的面积加上小扇形的面积。 AB2=10×10÷2×4=200(平方厘米) 大扇形的面积:200π÷4=50π 小扇形的面积:102π÷4=25π 扫过的面积:50π+25π=225(平方厘米) 6.如图所示，已知阴影部分面积是80平方厘米，求圆环面积是多少平方厘米？ 【解析】整体法求解，阴影部分面积=R2-r2平方厘米 圆环面积：3.14×80=251.2（平方厘米） 7.如图,半径为4厘米的两个圆如图放置,长方形中两块阴影部分面积相等,A、B两点为两圆的圆心，那么AB的长度为多少厘米？ 【解析】因为“长方形中两块阴影部分面积相等”，所以长方形中2个扇形面积等于长方形的面积。 长方形面积：3.14×42÷2=25.12（平方厘米） 长方形长：25.12÷4=6.28（厘米） AB=4×2-6.28=1.72（厘米） 8.如图,三角形ABC是直角三角形,ZB是直角,AB=4厘米,BC=2厘米。分别以AB和BC为直径画半圆,两个半圆的交点是AC边上的D点。求图中阴影部分的面积。(π取 3.14) 【解析】阴影部分面积等于两个半圆面积减去直角三角形面积。 3.14×（22+42）÷2-2×4÷2 =28.26-4 =24.26（平方厘米） 9.下图中等腰直角三角形 ABC的一条直角边为10厘米,阴影甲与乙面积相等,求扇形 AEF的面积。 【解析】转换条件。甲和乙的面积个加上空白部分面积，得到的扇形面积等于大三角形的面积。即10×10÷2=50（平方厘米） 10.如图,O是圆心,圆的周长等于 75.36分米,点 A、B、C都在圆周上,OABC是梯形,梯形面积等于98.28平方分米。已知AB=20.76分米,问:阴影部分面积是多少? 【解析】因为OABC是梯形，所以OC∥AB，△COA与△CBA为等高模型。 圆的半径：OC=75.36÷3.14÷2=12（分米） 梯形下底AB=20.76分米 梯形高：98.28×2÷（12+20.76）=6（分米） 阴影部分面积：12×6÷2=36平方厘米） 答：阴影部分面积是36平方厘米。 11.将边长为1的正三角形放在一条直线上(如右上图),让三角形绕顶点C顺时针转动到达位置Ⅱ,再继续这样转动到达位置Ⅲ。求A点走过的路程的长(取π=3)。 【解析】如下图所示：A点所经过的路程为两条弧长，此弧长所对应的圆心角为120°，所在圆的半径为1. 2×3×1÷3×2=1 12 学科网（北京）股份有限公司 $$