精品解析：2026年河南省郑州市郑州实验外国语学校中考数学二模试卷

20260527实验外国语二模2025-2026学年下学期 九年级学业质量监测数学试卷 考试时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. 0.5 B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 歼－20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的报大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 跨学科融合是新课标的热门议题．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是（ ）     A. B. C. D. 6. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，则（ ） A. 如 B. C. D. 9. 新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（ ）     A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 写出一个大于3的无理数：___________． 12. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 13. 下表为某空气质量监测站一周的监测数据： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 天气 多云 多云 阴 阴 多云 扬沙 中雨 日均空气污染指数 90 100 120 110 80 180 20 经计算，日均空气污染指数一周数据的平均数为100，方差约为1971．若排除周六扬沙和周日中雨对空气污染指数的影响，仅计算周一到周五的日均空气污染指数，平均数仍为100，方差的计算结果会_____（填“变大”或“变小”）． 14. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B， 过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A 到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为______． 15. 如图，M是等边三角形的边的中点，P为平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 17. 为布局2026城市低空便民配送业务，某连锁商超准备在甲、乙两家无人机配送服务商中挑选一家长期合作，工作人员随机抽取10个社区点位，对两家公司进行综合评分，整理分析如下： a．配送准时率得分（满分10分） 甲：5，5，7，7，8，8，9，9，10，10；乙：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10 b．服务规范得分折线统计图（满分10分） c．配送准时率和服务规范得分统计表 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中_________；方差大小关系：________（填“”“”或“”） （2）若商超优先看重稳定性，其次看重整体配送水平，请问应选择哪家公司？请说明理由． （3）若要进一步筛选合作企业，你认为还需要调查哪些信息？（写出两条即可） 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． （1）求m和n的值； （2）根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； （3）将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 19. 如图，在四边形中，与相交于点O． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，且点E在上（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，连接．若，，试判断四边形的形状，并说明理由． 20. 郑州早高峰期间某路段经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，对该路段从6时至9时的交通量y（辆/分钟）进行了统计和分析，得到如下表格． 时间x（时） 6 7 8 9 自西向东交通量（辆/分钟） 180 240 300 360 自东向西交通量（辆/分钟） 210 180 150 120 已知，与x之间的函数关系式为． （1）求与x之间的函数关系式． （2）单位时间内交通总量， 当车流量大的方向的交通量不低于时，需要使用 “潮汐式”通行方式以改善交通情况，即根据汽车流量情况改变车道的行车方向，大流量 方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行．请说明该路段从6时至9时，应如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在什么时间段借用哪个方向机动车道通行）． 21. 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”． （1）请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数的图象上存在“三倍点”________． ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”________． （2）一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P是线段的中点．求证：点P是“三倍点”． （3）在的范围内，若二次函数的图象上存在“三倍点”，直接写出c的取值范围． 23. 综合与实践 （1）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接，保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为________． （2）【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．判断与的位置关系，并说明理由． （3）【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20260527实验外国语二模2025-2026学年下学期 九年级学业质量监测数学试卷 考试时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. 0.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 歼－20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的报大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数据3427000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 5. 跨学科融合是新课标的热门议题．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为化学变化的结果有2种， ∴卡片正面恰好为化学变化的概率为． 故选：D． 6. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式．根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项、完全平方公式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．先利用矩形的性质得到，，再计算出，再由勾股定理计算出，接着根据斜边上的中线性质得到，所以，则，然后利用相似比求出，从而得到的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 8. 如图，是的直径，则（ ） A. 如 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定 所对的弧，利用圆周角定理将角的和转化为圆心角的和进行求解.  【详解】解：连接， 由图可知，是所对的圆周角，是所对的圆周角，是所对的圆周角， ∴ ， 是的直径， ， ，  .  9. 新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，再利用新定义列出不等式，根据题意求出n的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， 根据新定义可知， ∴， ∵无论m取任何实数，不等式恒成立， ∴． 10. 如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象． 【详解】解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，设，则 由平移的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于，∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数，且随的增大而减小， ∴选项符合题意． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 写出一个大于3的无理数：___________． 【答案】π 【解析】 【详解】根据这个数即要比3大又是无理数，得>3,并且是无理数． 故答案为. 12. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别探究分子和分母随序号的变化规律，归纳总结即可得到第个式子的表达式． 【详解】将已知式子按顺序从1开始编号： 当时，第1个式子为， 当时，第2个式子为， 当时，第3个式子为， 当时，第4个式子为， ... 依此类推，可得第个式子为． 13. 下表为某空气质量监测站一周的监测数据： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 天气 多云 多云 阴 阴 多云 扬沙 中雨 日均空气污染指数 90 100 120 110 80 180 20 经计算，日均空气污染指数一周数据的平均数为100，方差约为1971．若排除周六扬沙和周日中雨对空气污染指数的影响，仅计算周一到周五的日均空气污染指数，平均数仍为100，方差的计算结果会_____（填“变大”或“变小”）． 【答案】变小 【解析】 【分析】计算周一到周五的日均空气污染指数的方差，即可判断． 【详解】解：仅计算周一到周五的日均空气污染指数，方差为 ， ∵， ∴方差变小． 14. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B， 过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A 到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，扇形面积公式的应用，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，，，先求出圆心角，求出扇形的面积，再解求出，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，是圆的切线， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，M是等边三角形的边的中点，P为平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 当点在线段上时，的值最小，最小值为. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 . 17. 为布局2026城市低空便民配送业务，某连锁商超准备在甲、乙两家无人机配送服务商中挑选一家长期合作，工作人员随机抽取10个社区点位，对两家公司进行综合评分，整理分析如下： a．配送准时率得分（满分10分） 甲：5，5，7，7，8，8，9，9，10，10；乙：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10 b．服务规范得分折线统计图（满分10分） c．配送准时率和服务规范得分统计表 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中_________；方差大小关系：________（填“”“”或“”） （2）若商超优先看重稳定性，其次看重整体配送水平，请问应选择哪家公司？请说明理由． （3）若要进一步筛选合作企业，你认为还需要调查哪些信息？（写出两条即可） 【答案】（1）8， （2）解：选择乙公司，理由如下： 由（1）可知，，故乙公司的服务质量更稳定，且乙公司的配送速度得分的平均数高于甲公司，故应选择乙公司； （3）调查两家公司的无人机的数量，两家公司的收费情况（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的计算方法求出中位数，根据折线图判断波动情况，比较方差大小即可； （2）根据方差作决策即可； （3）收集两家公司的收费标准，无人机的数量等信息. 【小问1详解】 解：甲的数据排序后，第5个和第6个数据均为8， ∴； 由折线图可知，甲的数据波动明显高于乙， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． （1）求m和n的值； （2）根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； （3）将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）或 （3）点． 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数可求得，进而求出反比例函数的关系式； （2）根据图象直接得出答案； （3）过点作轴，过点作，过点作，构造K字型全等三角形，根据旋转前后线段之间的和差关系，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵把点代入一次函数得： ，解得， 即． 又在反比例函数上 ∴． 【小问2详解】 解：当时，，即交点为，结合图象可得：当时，x的取值范围为或， 【小问3详解】 解：当时，，即， 过点作轴，过点作，过点作， ∴， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 19. 如图，在四边形中，与相交于点O． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，且点E在上（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，连接．若，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）四边形为菱形，理由如下： ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴，即， ∴四边形为菱形. 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明，推出 ，得到四边形是平行四边形，三线合一得到，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 郑州早高峰期间某路段经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，对该路段从6时至9时的交通量y（辆/分钟）进行了统计和分析，得到如下表格． 时间x（时） 6 7 8 9 自西向东交通量（辆/分钟） 180 240 300 360 自东向西交通量（辆/分钟） 210 180 150 120 已知，与x之间的函数关系式为． （1）求与x之间的函数关系式． （2）单位时间内交通总量， 当车流量大的方向的交通量不低于时，需要使用 “潮汐式”通行方式以改善交通情况，即根据汽车流量情况改变车道的行车方向，大流量 方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行．请说明该路段从6时至9时，应如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在什么时间段借用哪个方向机动车道通行）． 【答案】（1） （2）8时到 9 时，自西向东的车可借用自东向西的车道通行 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的范围，进行分析即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入，得：， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到 9 时，自西向东的车设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵． 21. 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于，先利用平面镜反射性质证三角形相似，得到与的等量关系，结合仰角的正切函数关系建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵平面镜反射，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 设米，则米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴米，米． 在中，， ∵，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 答：该大厦的高度为米． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”． （1）请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数的图象上存在“三倍点”________． ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”________． （2）一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P是线段的中点．求证：点P是“三倍点”． （3）在的范围内，若二次函数的图象上存在“三倍点”，直接写出c的取值范围． 【答案】（1） ①√；②√ （2） 证明：联立，解得或， 不妨令， ∵点P是线段的中点， ∴，即， ∴点的纵坐标是横坐标的3倍， ∴点P是“三倍点”． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“三倍点”的定义可得“三倍点”所在的直线为， ①联立和，解方程组得出，即可得出函数的图象上存在“三倍点”； ②联立和，得出，根据判别式，得出方程有两个相等的实数根，即可得出函数的图象上有且只有一个“三倍点”； （2）求出点的坐标，进而求出点坐标，根据新定义即可得证； （3）根据题意，得到在的范围内，抛物线于直线有交点，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”， ∴“三倍点”所在的直线为， ①联立和得，， 解得：， ∵， ∴是“三倍点”， 故函数的图象上存在“三倍点”，√； ②联立和得，， ∴， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴函数的图象上有且只有一个“三倍点”，√． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，“三倍点”所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上存在“三倍点”， ∴在的范围内，抛物线与直线有交点， 令， 整理得：， 则， 解得：， 把代入得，代入得， 当时，， 由图可知，当二次函数的图象上存在“三倍点”时， 的取值范围为． 23. 综合与实践 （1）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接，保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为________． （2）【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．判断与的位置关系，并说明理由． （3）【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 【答案】（1）6 （2），理由如下： 由旋转性质得，又O是中点， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴； 由旋转得，即． 在和中， ， ∴， ∴． 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，结合旋转角为，判断的形状，再结合求出的长度，进而计算周长． （2）先由旋转性质得，，结合是中点得，推出，，；再结合矩形性质和平行线性质，推导角的关系，证明、、、四点共圆，得到，再结合角的等量代换得到，从而判断位置关系． （3）矩形有两条对称轴，设为直线和直线，则垂直平分和，垂直平分和，设与交于点P，当点F在线段上时，当点F在上时，当点F在线段上时，分情况讨论．符合条件的长度为或． 【小问1详解】 解：∵O是中点，， ∴． 由旋转性质得：，， ∴是等边三角形，边长为2， ∴周长为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：矩形有两条对称轴，设为直线和直线， 则垂直平分和，垂直平分和， 设与交于点P， 由中心对称知点P是矩形的对称中心， ∴点P在上， 当点F在线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴线段与线段不相交； 当点F在上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 当点F在线段上时，连接， 由（2）知，， ∵， ∴垂直平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得 ，或 ，经检验都符合分式方程， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ∴取 ， ∴ ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ 故符合条件的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $