山东济南市2025-2026学年八年级数学下学期期末测试（北师大版八年级下册）

**基本信息** 八年级数学期末卷以航天科技、传统纹样等新情境为载体，原创“巧分式”“新运算G”等问题，融合几何直观与推理能力，实现知识应用与核心素养的深度结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|中心对称图形、分式运算、平行四边形判定|航天图标情境考中心对称，六角形螺母俯视图考空间观念| |填空题|5/20|分式意义、正多边形角度、尺规作图|正八边形窗户求角度体现文化传承，新运算G考模型意识| |解答题|10/90|因式分解、方程不等式、几何探究、新定义|机器人购买应用题考应用意识，“巧分式”定义题考创新思维，多边形镶嵌考数学眼光|

八年级数学下学期期末测试 答案及解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A B A C C D A D 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．-3 12． 13．13 14.4 15.-17≤P＜-7 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（1）3a2-3b2 =3（a2-b2） =3（a+b）（a-b） （3分） （2）2x2+4x+2 =2（x2+2x+1） =2（x+1）2 （6分） 17． = = （2分） = = （4分） 在这里，且 ∴当时，原式= （6分） 18．（1）解; ， ， ， （2分） ， ， ， ， （3分） 经检验，是原方程的解；（4分） （2）解; ， ，（6分） ， ， ， ，（7分） 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解．（8分） 19．解：解不等式①得：x＜1；（2分） 解不等式②得：x＞-4，（4分） ∴原不等式组的解集-4＜x＜1，（5分） ∴不等式组所有整数解的和为-3-2-1+0=-6．（6分） 20．解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得，（2分） 解得，（3分） 经检验，是所列分式方程的解，（4分） (元)．（5分） 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得，（6分） 解得．（7分） 设共花费w元，则，（8分） ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w值最小．（9分） ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．（10分） 21.(1)由题意得，△ABC是向右平移5个单位长度，向下平移6个单位长度得到的△A1B1C1． 如图，△A1B1C1即为所求．（3分） (2) 如图，△A2B2C2即为所求．（6分） (3) C2点的坐标(1,4)（7分） (3)(-5,3)或（-3,7）或（1,1）（10分） 22.（1） 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （3分） （2）①③．（5分） （3）解：∵正五边形的内角为， ∴．（10分） 23.解：（1）四边形是平行四边形，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴，即，（3分） 又∵， ∴四边形是平行四边形；（5分） （2）∵点是的中点，， ∴，（6分） ∵，， ∴，即，（8分） ∴．（10分） 24.（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”；（4分） （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：；（8分） （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”．（12分） 25.（1）解：由折叠的性质得， ∵点是边的中点， ∴， ∴.（2分） （2）解：，理由如下： 设，则， 由折叠的性质得：， ∴，（4分） 由（1）得：， ∴，（5分） ∴， ∴， ∴.（7分） （3）解：，理由如下： 过C作，交于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形，（8分） ∴，（9分） 由（2）知， ∴，（10分） ∴，， ∵折叠性质， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴.（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期末 八年级数学下学期期末测试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2．（原创）用数轴表示不等式x＜1的解集，正确的是 A. B. C. D. 3．下列由左到右的变形，是因式分解的是 A. B. C. D. 4．下列运算正确的是 A. B. C. D. 4 5．（新情境题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中为 A． B． C． D． 6．如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值 A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是 A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．BC＝AD D．BC∥AD 8．（新情境题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D、之间的距离为 A．1cm B．2cm C．()cm D．()cm 9．若不等式组的解集为x＜m，则m的取值范围为 A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜1 10．如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．当________时，分式无意义． 12.（新情境题）中国古代窗户的设计体现了深厚的文化和智慧，如图为一个正八边形窗户示意图，，分别为边，的中点．若连接，则的度数为________． 13.如图，在△ABC中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为________． 14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是________． 15.（原创）对于x、y定义了一种新运算G，规定G(x，y)=x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是________． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（6分）把下列各式因式分解 （1）3a2-3b2 （2）2x2+4x+2 17.（6分）先化简，再求值： 化简：，再从﹣2，﹣1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18．（8分）解方程 (1) (2)． 19.（6分）解不等式组：,并求所有整数解的和． 20.（10分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek—V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2） 学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 21.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，2），B（-1，4）， C（-4，5），请解答下列问题： （1） 若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，-1），请作出△A1B1C1； （2） 将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2，请作出△AB2C2；并写出C2点的坐标_____________; （3）在平面上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点D的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（新情境题）（10分）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 23．（10分）如图，在△ABC中，点，分别是，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 24.（原创）（12分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 25．（12分） 已知，在△ABC中，点是边的中点． （1）【问题解决】 如图1，将△BDC沿折叠得到△FDC，请直接写出与的数量关系___________； （2）【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将△BDE沿折叠得到△FDE，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 4 中心对称图形 0.93 2 单选题 4 不等式解集的表示方法 0.96 3 单选题 4 因式分解 0.96 4 单选题 4 分式的运算 0.97 5 单选题 4 多边形内角和、外角和 0.9 6 单选题 4 分式的基本性质 0.89 7 单选题 4 平行四边形的判定 0.9 8 单选题 4 平移 0.9 9 单选题 4 不等式组的解集 0.68 10 单选题 4 三角形相关概念 0.32 11 填空题 4 分式的意义 0.92 12 填空题 4 正多边形的内角 0.85 13 填空题 4 垂直平分线的性质 0.82 14 填空题 4 角平分线的性质、平行四边形的性质 0.58 15 填空题 4 新定义 0.22 16 解答题 6 分解因式 0.79 17 解答题 6 分式的运算 0.83 18 解答题 8 分式方程 0.73 19 解答题 6 解不等式组 0.62 20 解答题 10 列分式方程解应用题；不等式、一次函数及其最值 0.61 21 解答题 10 平移、旋转 0.85 22 解答题 10 正多边形的内角 0.88 23 解答题 10 平行四边形的性质判定 0.64 24 解答题 12 新定义分式化简 0.33 25 解答题 12 几何变换综合 0.32 $