精品解析：宁夏回族自治区中卫市海原县高崖乡九年一贯制学校2025-2026学年下学期九年级第二次模拟监测数学试卷

高崖九年一贯制学校25-26-2九年级第2次模拟监测 数学试卷 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键． 根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并法则与幂的运算法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】选项A： 与不是同类项，不能合并，故A错误． 选项B：根据同底数幂乘法法则，可得，故B错误． 选项C：根据同底数幂除法法则，可得，计算正确，故C正确． 选项D：根据幂的乘方法则，可得，故D错误． 3. 在技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，据国家数据局发布信息：预计到2026年3月，日均词元调用量已突破140000．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：． 4. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 三种视图都改变 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：图甲和图乙的主视图相同，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形； 左视图相同，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形； 图甲的俯视图底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形； 图乙的俯视图底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形． 所以三视图有改变的是俯视图． 故选：B． 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得出答案． 【详解】因为，，且， 所以， 给不等式两边同时加2，得， 因此的值在和之间． 6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 7. 将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，掌握二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”是解题的关键． 【详解】∵原二次函数解析式为 ， 将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律，得 ， 再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换，得 ， ∴平移后所得图象的解析式为 ． 8. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 分解因式： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式后再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为:． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则有，解得， 则实数x的取值范围是． 11. 解不等式组得_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则，得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 解不等式： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 则原不等式组的解集为． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 13. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与征征和舟舟选到同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有3种情况， ∴征征和舟舟选到同一社团的概率为：． 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 【答案】2＋2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝2， 由勾股定理得：DC＝＝＝2， ∴DB＝DC＝2， ∴AB＝AD＋DB＝2＋2， 故答案为：2＋2． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 16. 某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至B处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，，结果精确到，则该楼的高度是________　　　　 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先在中得到，再根据在中得到，通过换算即可得到答案； 【详解】解：由题意可知∶，，，， ∴， 设为米， 在中，，即， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故该楼的高度是， 故答案为：． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二： 【解析】 【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案； 任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． 第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号． 故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号． 任务二： ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． 19. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：的度数为_________． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可； （2）根据题目叙述画出图形即可； （3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得． 【小问1详解】 在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接,如图； 【小问2详解】 画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C；如上图所示： 【小问3详解】 由（1）作图可得是等腰直角三角形，且， 再根据对称的性质可得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形． 20. 自我县发生疫情后，学校全面做好预防性消毒工作，开学初购进、两种型号的消毒液，购买一桶型号消毒液比购买一桶型号消毒液少花40元，用3200元购买型号消毒液的数量是用2400元购买型号消毒液数量的2倍． （1）求购买一桶型号消毒液需要多少元？ （2）学校准备用不多于7000元的资金购买、两种型号的消毒液共70桶，问最多购买型号消毒液多少桶？ 【答案】（1）购买一桶型号消毒液需要120元； （2）最多购买型号消毒液35桶 【解析】 【分析】（1）设购买一桶型号消毒液需要元，根据“用3200元购买型号消毒液的数量是用2400元购买型号消毒液数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号消毒液桶，根据“不多于7000元的资金购买”列一元一次不等式，取最大正整数解即可． 【小问1详解】 解：设购买一桶型号消毒液需要元，则购买一桶型号消毒液需要元， 又题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：购买一桶型号消毒液需要120元； 【小问2详解】 解：设购买型号消毒液桶，则购买型号消毒液桶， 则， 解得：， 为正整数， 的最大取值为， 最多购买型号消毒液桶． 21. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2），相交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）先证四边形为平行四边形，继而再根据，即可得四边形为菱形； （）由四边形为菱形可得，，，则，在中，求出的长即可得答案． 【小问1详解】 证明：由尺规作的角平分线的过程可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，等角对等边，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 【答案】（1）40，25，4，3 （2）这组数据的平均数是 （3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【小问1详解】 解：； 3小时人数所占的百分比为， ∴； ∵在该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 中位数为排序后的第20位和21位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：40，25，4，3； 【小问2详解】 解：该组数据的平均数为， ∴这组数据的平均数是； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占， 根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有. 估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是； 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， 当时，， ， ； ，， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集． 24. 如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，通过角的转换证明，即可证明是的切线； （2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 过点P作轴于点H，交于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 【小问3详解】 设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴， ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 当时，， 有 解得∶(舍去)，， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度． 26. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）6 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得：，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接，， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高崖九年一贯制学校25-26-2九年级第2次模拟监测 数学试卷 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，据国家数据局发布信息：预计到2026年3月，日均词元调用量已突破140000．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 三种视图都改变 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 7. 将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 分解因式： __________． 10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 11. 解不等式组得_____________． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是______． 14. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 16. 某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至B处，测得仰角为，若学生的身高忽略不计，，结果精确到，则该楼的高度是________　　　　 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 18. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 19. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：的度数为_________． 20. 自我县发生疫情后，学校全面做好预防性消毒工作，开学初购进、两种型号的消毒液，购买一桶型号消毒液比购买一桶型号消毒液少花40元，用3200元购买型号消毒液的数量是用2400元购买型号消毒液数量的2倍． （1）求购买一桶型号消毒液需要多少元？ （2）学校准备用不多于7000元的资金购买、两种型号的消毒液共70桶，问最多购买型号消毒液多少桶？ 21. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2），相交于点，若，，求的长． 22. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 24. 如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积最大？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 26. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $