精品解析：2025年宁夏回族自治区中卫市海原县第四中学九年级数学二模试卷

海原县第四中学2024-2025-2第二次质量监测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ） A. 平移变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 位似变换 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 六盘山养鸡场准备对外出售．从中随机抽取了50只鸡，统计了它们的质量（单位：），并绘制出如下的统计图，则这组数据的众数和中位数是（ ） A. 1.8，1.5 B. 16，14 C. 1.5，1.8 D. 16，11 5. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船．若设有x只大船，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线与x轴有交点，则m取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 7. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 8. 在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：______． 10. 如图在平面直角坐标系中，顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为______． 11. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 12. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是_____． 13. 如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 14. 观察下列各式：，…，第n个等式是_____________________________________． 15. 如图，四边形内接于⊙，延长交⊙于点E，连接．若，，则____． 16. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为________．（参考数据：，，） 三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23，24题每小题8分，25，26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组： 18. 化简求值：，其中． 19. 图①．图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图①中画，使的面积是10； （2）在图②中画四边形，使四边形是轴对称图形； （3）在图③中的线段上找一点P，使． 20. 开展“阅读陪伴成长，书香润泽人生”整本书阅读活动．某学校为了响应这一活动，计划网购甲、乙两种图书，已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． （1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ （2）张明同学为了提高自己的阅读能力，用100元购买了甲、乙两种图书．如果设张明购买甲种图书本、乙种图书本，分别求出、的值． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．求证：．参考小美的思考过程（如下），完成推理． 22. 某社区为更合理配置电动汽车的充电器材及场地，需要了解本社区居民已购买电动汽车的数量，故组织全社区居民做一次问卷调查（每辆电动汽车选一个小区），并制作统计图如图所示． （1）求全社区及B小区拥有电动汽车的数量，并补全条形统计图； （2）根据各小区拥有电动汽车的数量的情况，对该社区提出1条有关电动汽车的充电器材及场地配置的建议． 23. 如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； （2）根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为，求t的取值范围． 24. 如图，AB是⊙的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D， AD与⊙O交于点E． （1）求证：AC平分∠DAP； （2）若AB=10，sin∠CAB=，求DE长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使是等腰三角形，请直接写出G点坐标； （3）如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作交AB于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 26. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海原县第四中学2024-2025-2第二次质量监测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用完全平方公式，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不同类项，无法合并，原计算错误，故此选项不符合题意， B、，计算正确，故此选项符合题意， C、，原计算错误，故此选项不符合题意， D、，原计算错误，故此选项不符合题意， 故选：B． 2. 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ） A. 平移变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 位似变换 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键． 4. 六盘山养鸡场准备对外出售．从中随机抽取了50只鸡，统计了它们的质量（单位：），并绘制出如下的统计图，则这组数据的众数和中位数是（ ） A. 1.8，1.5 B. 16，14 C. 1.5，1.8 D. 16，11 【答案】A 【解析】 【分析】先明确众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时）或中间两个数的平均值（数据个数为偶数时），再据此结合统计图求解．本题主要考查了众数和中位数的定义，熟练掌握众数、中位数的概念及从统计图中获取数据的方法是解题的关键． 【详解】解：从统计图看，质量为的鸡的只数为，是最多的， 众数是． 抽取了只鸡，是偶数，将数据从小到大排列后，中位数是第、个数据的平均数．第、个数据对应的质量是 中位数是． 故选： ． 5. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船．若设有x只大船，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．设有x只大船，则有只小船，根据大船坐的人数加小船坐的人数等于38人，列出方程即可． 【详解】解：设有x只大船，则有只小船，根据题意得： ， 故选：D． 6. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别式求解． 先根据抛物线定义确定，再由抛物线与轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用判别式求解的取值范围，最后取两者交集． 【详解】解：因为是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0， 所以． 抛物线与轴有交点 所以，也就是． 解得． 结合前面和，所以的取值范围是且． 故选：B． 7. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 8. 在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 详解】解：根据题意可得， 小正方形的边长． ∴ 故选：． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系中点的坐标，根据旋转的性质可知，根据全等三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可知点的坐标为． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， 点的坐标是， ，， 由旋转可知，， ，， 在和中，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 11. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 12. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟知平行线的性质与常规三角板套装中三角板的特点是解答此题的关键．过点E作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 14. 观察下列各式：，…，第n个等式是_____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，此类题目通常按照一定的顺序给出一系列式子，要求我们根据这些已知的式子找出一般规律．揭示的规律，常常包含着事物的序列号．所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘．掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．分析前面几个等式对应数据之间的内在联系，再归纳总结即可得到规律． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴第n个等式为：． 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于⊙，延长交⊙于点E，连接．若，，则____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的对角互补这一性质．本题解题关键在于找出直径作对的圆周角是直角（直径对直角），而找到直径的关键是：弦是否经过圆心．先求解，可得，再结合圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故答案为： 16. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为________．（参考数据：，，） 【答案】143 【解析】 【分析】过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故答案为：143． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 三、解答题（本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23，24题每小题8分，25，26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，正确确定出不等式组的解集是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 18. 化简求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，从而化简式子，最后将的值代入化简后的式子求值． 本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、除法运算、因式分解以及二次根式的化简．熟练掌握分式的运算法则、因式分解的方法以及二次根式的化简方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式 ． 19. 图①．图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，故段的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法． （1）在图①中画，使的面积是10； （2）在图②中画四边形，使四边形是轴对称图形； （3）在图③中的线段上找一点P，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）以底，根据面积可确定高，即可求作； （2）以为一边，作出矩形即可； （3）取，，连接交于，即可求作． 【小问1详解】 解：如图，为所求作． 【小问2详解】 解：如图，矩形为所求作． 【小问3详解】 解：如图，取，， 连接交于， ， ， ， 点为所求作． 【点睛】本题考查了根据要求作图，掌握图形特征，找出作法是解题的关键． 20. 开展“阅读陪伴成长，书香润泽人生”整本书阅读活动．某学校为了响应这一活动，计划网购甲、乙两种图书，已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． （1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ （2）张明同学为了提高自己的阅读能力，用100元购买了甲、乙两种图书．如果设张明购买甲种图书本、乙种图书本，分别求出、的值． 【答案】（1）甲种图书每本元，乙种图书每本元． （2）， 【解析】 【分析】（1）通过设乙种图书价格为未知数，根据甲、乙图书价格关系表示出甲种图书价格，再依据“1600元购买甲种图书数量比900元购买乙种图书数量多20本”这一条件列分式方程求解． （2）根据（1）求出的甲、乙图书单价，结合总价100元列出方程，再根据正整数条件确定、的值． 本题主要考查了分式方程与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解应用题的步骤及根据实际意义确定未知数取值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙种图书每本价格为元，则甲种图书每本价格为元．由题意可得， ． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则甲种图书价格为（元）． 答：甲种图书每本元，乙种图书每本元． 【小问2详解】 解：由题意可得， 化简得，即． 、为正整数， 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，不是正整数，舍去； ，． 21. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．求证：．参考小美的思考过程（如下），完成推理． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据菱形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 22. 某社区为更合理配置电动汽车的充电器材及场地，需要了解本社区居民已购买电动汽车的数量，故组织全社区居民做一次问卷调查（每辆电动汽车选一个小区），并制作统计图如图所示． （1）求全社区及B小区拥有电动汽车的数量，并补全条形统计图； （2）根据各小区拥有电动汽车的数量的情况，对该社区提出1条有关电动汽车的充电器材及场地配置的建议． 【答案】（1）全社区拥有电动汽车的数量为300辆；B小区拥有电动汽车的数量为75辆，补全图形见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图所反映数据的特点以及制作方法，理清统计图表中数量之间的关系是解题的关键． （1）根据A小区的电动汽车的数量除以占比得出总数，进而根据总数结合扇形统计即可求得B小区的电动汽车的数量，进而补全统计图； （2）建议该社区为A，B小区多购买充电桩，多安排场地安装充电桩等，言之有理即可． 【小问1详解】 解：全社区拥有电动汽车的数量：（辆）, B小区拥有电动汽车的数量：（辆）， 补全条形统计图，如图所示 ：   【小问2详解】 解：由于A小区拥有电动汽车的数量最多，其次是B小区，建议该社区为A，B小区多购买充电桩，多安排场地安装充电桩等． 23. 如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … （1）求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； （2）根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； （3）设挎带的长度为，求t的取值范围． 【答案】（1），2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当时，求出对应y的值即可； （2）根据列关于x的一元一次方程并求解即可； （3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当时，求出对应x的值，即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格，x增加，y减小， 则， 关于x的函数解析式为， 当时，， 当时，的值为2； 【小问2详解】 解：根据题意，得，即， 解得， 答：此时单层部分的长度是； 【小问3详解】 解：， 当时，得， 解得， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键． 24. 如图，AB是⊙的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D， AD与⊙O交于点E． （1）求证：AC平分∠DAP； （2）若AB=10，sin∠CAB=，求DE长． 【答案】（1）证明见解析；（2）1.6 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质，得；结合题意，根据相似三角形性质，通过证明，得；根据圆心角和圆周角的性质，得，结合角平分线性质，即可完成证明； （2）根据直径所对圆周角的性质，得，结合（1）的结论，通过证明，得，结合三角函数和勾股定理，计算得、；连接，，结合平行线的性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）如图，连接 ∵过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P ∴，即 ∵AD⊥PC，即 ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴AC平分∠DAP； （2）根据（1）的结论，得AC平分∠DAP ∴ ∵AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点 ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∵AB=10，sin∠CAB= ∴sin∠CAB= ∴ ∴ ∴ ∴ 如图，连接， ∵AB是⊙的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆、相似三角形、平行线、勾股定理、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握切线、圆周角、圆心角、相似三角形、勾股定理、角平分线的性质，从而完成求解． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使是等腰三角形，请直接写出G点坐标； （3）如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作交AB于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出，设，由，得到方程，由此可求点G坐标； （3）设与交于点，推导出，则，设，则，，所以，根据求二次函数最值的方法求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， ， 设， 为等腰三角形， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：设与交于点， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得 ∴直线的解析式为， 设，则，， ， ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 26. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形 等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $